曲边梯形的面积与定积分

1、.,1,曲边梯形的面积与定积分,1.4.1,.,3,了解：几个常用求和公式,.,4,1.曲边梯形：在直角坐标系中，由连续曲线y=f(x)，直线x=a、x=b及x轴所围成的图形叫做曲边梯形。,O,x,y,y=f (x),一. 曲边梯形的定义,x=a,x=b,曲边梯形的特点 、只有一边是曲线 、其他三边是特殊直线,.,5,问题1,圆的面积公式是如何推导的？,.,6,曲边梯形的面积,将圆分成若干等份,无限分割！,y = f(x),用一个矩形的面积A1近似代替曲边梯形的面积A， 得,用两个矩形的面积 近似代替曲边梯形 的面积A，得,A A1+ A2+ A3+ A4,用四个矩形的面积 近似代替曲边梯形

2、的面积A， 得,A A1+ A2 + + An,将曲边梯形分成 n个小曲边梯形，并用小矩阵形的面积代替小曲边梯形的面积， 于是曲边梯形的面积A近似为, 以直代曲,无限逼近,（1）分割,把区间0，1等分成n个小区间：,过各区间端点作x轴的垂线，从而得到n个小曲边梯形，他们的面积分别记作,例1.求抛物线y=x2、直线x=1和x轴所围成的 曲边梯形的面积。,（2） 近似代替,(不足近似值),.,13,（3）求和,（4）取极限,.,15,小结:求由连续曲线y=f(x)对应的曲边梯形面积的方法,（1）分割,（2）近似代替 （3）求面积的和,（4）取极限,不足近似值！,(过剩近似值),(过剩近似值),.,

3、18,.,19,求曲边梯形面积： (1)思想：以直代曲 (2)步骤：分割近似代替求和取极限 (3)关键：近似代替 (4)结果：分割越细，面积越精确,1、在“近似代替”中，函数f(x)在区间 上的近似值等于（ ） A.只能是左端点的函数值 B.只能是右端点的函数值 C.可以是该区间内任一点的函数值 D.以上答案均不正确,C,练 习,.,21,二.定积分定义,设函数f（x）在a，b上连续，在a，b中任意插入n-1个分点：,把区间a,b等分成n个小区间，,则，这个常数A称为f(x)在a，b上的定积分(简称积分) 记作,.,22,积分上限,积分下限,.,23,曲边梯形的面积,曲边梯形的面积的负值,说明

4、（1）定积分是特殊和式极限,它是一个定数;(2)定积分的大小仅与区间a,b和被积函数f(x)有关,.,24,1、如果函数f（x）在a，b上连续且f（x）0时，那么： 定积分 就表示以y=f（x）为曲边的曲边梯形面积。,2、定积分 的数值在几何上都可以用曲边梯形面积的代数和来表示。,定积分的几何意义是什么？,.,25,.,26,【错因分析】在应用定积分的几何意义求定积分时，错解中没有考虑在x轴下方的面积取负号，x轴上方的面积取正号，导致错误,解：,错解！,.,27,.,28,定积分的简单性质,.,29,题型1：定积分的简单性质的应用,.,30,题型2：定积分的几何意义的应用,8,问题1：你能求出

5、下列格式的值吗？不妨试试。,.,31,理解练习,见学案例1；例2；例3,.,32,微积分基本定理,.,33,微积分基本定理：,设函数f(x)在区间a,b上连续，并且F(x)f（x)，则，,这个结论叫微积分基本定理（fundamental theorem of calculus)，又叫牛顿莱布尼茨公式（Newton-Leibniz Formula).,.,34,说明： 牛顿莱布尼茨公式提供了计算定积分的简便的基本方法，即求定积分的值，只要求出被积函数 f(x)的一个原函数F(x)，然后计算原函数在区间a,b上的增量F(b)F(a)即可.该公式把计算定积分归结为求原函数的问题。,.,35,解（）,

6、例1 计算下列定积分,.,36,练习1:,.,37,例计算定积分,解:,.,38,达标练习：,初等函数,.,39,微积分基本定理,三、小结,.,40,定积分公式,.,41,牛顿,牛顿，是英国伟大的数学家、物理学家、天文学家和自然哲学家。1642年12月25日生于英格兰林肯郡格兰瑟姆附近的沃尔索普村,1727年3月20日在伦敦病逝。 牛顿1661年入英国剑桥大学三一学院，1665年获文学士学位。随后两年在家乡躲避瘟疫。这两年里，他制定了一生大多数重要科学创造的蓝图。1667年回剑桥后当选为三一学院院委，次年获硕士学位。1669年任卢卡斯教授直到1701年。1696年任皇家造币厂监督，并移居伦敦。

7、1703年任英国皇家学会会长。1706年受女王安娜封爵。他晚年潜心于自然哲学与神学。 牛顿在科学上最卓越的贡献是微积分和经典力学的创建。,返回,.,42,莱布尼兹,莱布尼兹，德国数学家、哲学家，和牛顿 同为微积分的创始人；1646年7月1日生于 莱比锡，1716年11月14日卒于德国的汉诺 威。他父亲是莱比锡大学伦理学教授，家 庭丰富的藏书引起他广泛的兴趣。1661年 入莱比锡大学学习法律，又曾到耶拿大学 学习几何，1666年在纽伦堡阿尔特多夫取得法学博士学位。他当时写的论文论组合的技巧已含有数理逻 辑的早期思想，后来的工作使他成为数理逻辑的创始人。 1667年他投身外交界，曾到欧洲各国游历。1676年到汉 诺威，任腓特烈