二项式定理.版块四.二项式定理的应用1证明整除或求余数.学生版

1、知识内容 2 1. 二项式定理 二项式定理 (a +b ) =C0aCn1an+Cn2ab2 +. +C：bn (nN*) 这个公式表示的定理叫做二项式定理. 二项式系数、二项式的通项 C：an + C；anf+C2an&2 +. + Qb叫做（a+b ）的二项展开式，其中的系数 C； （r =0, 1, 2, ., n ）叫做二项式系数，式中的C；abr叫做二项展开式的通项，用半表示, 即通项为展开式的第r +1项：Tr+=C；aZbr. 二项式展开式的各项幕指数 二项式（a +b n的展开式项数为n +1项，各项的幕指数状况是 各项的次数都等于二项式的幕指数 n . n逐项减1直到零，字母

2、b按升幕排列，从 r +1 项，这里 r =0, 1, 2,., n . 字母a的按降幕排列，从第一项开始，次数由 第一项起，次数由零逐项增 1直到n . 几点注意 通项Tr+=C：a2br是（a+b j的展开式的第 二项式（a+b）的r+1项和（b+a n的展开式的第r+1项C；bar是有区别的，应用二项式 定理时，其中的a和b是不能随便交换的. 注意二项式系数（cn）与展开式中对应项的系数不一定相等，二项式系数一定为正，而 项的系数有时可为负. 通项公式是(a + b )这个标准形式下而言的，如(a - b j的二项展开式的通项公式是 Tr十=(1)cnanfr (只须把看成b代入二项式定

3、理) 这与TyhCnaPf是不同的，在这 里对应项的二项式系数是相等的都是C；，但项的系数一个是(_1 j cn，一个是C；，可看出, 二项式系数与项的系数是不同的概念. 设 a =1, b =x，则得公式：（1 +x ） =1 +。乂 +Cr2x2 +.+. +xn . 通项是丰=C；anbr (r =0, 1, 2, ., n )中含有T, a, b, n, r五个元素, 只要知道其中四个即可求第五个元素. 当n不是很大，IX比较小时可以用展开式的前几项求(1+x)n的近似值. 2. 二项式系数的性质 杨辉三角形： 二项式系数也可 对于n是较小的正整数时， 可以直接写出各项系数而不去套用二

4、项式定理， 以直接用杨辉三角计算. 杨辉三角有如下规律：“左、右两边斜行各数都是 1 其余各数都等于它肩上两个数字的和.” 二项式系数的性质： (a+bj展开式的二项式系数是：C；, C；, ci, ., Cnn，从函数的角度看 cn可以看成是r为自 变量的函数f(r )，其定义域是：o, 1,2, 3,，n. 当n =6时，f (r )的图象为下图: 20 1 16 14 JO L 3呑9F 这样我们利用“杨辉三角”和n=6时f(r )的图象的直观来帮助我们研究二项式系数的性质. 对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等. 事实上，这一性质可直接由公式 cT得到. 增减性与最大值 如

5、果二项式的幕指数是偶数，中间一项的二项式系数最大； 如果二项式的幕指数是奇数，中间两项的二项式系数相等并且最大. 由于展开式各项的二项式系数顺次是 Cn Cn3 1 n c2 n(n 1 ) =1, Cn =, Cn = 1 1 2 n(n _1_2 ) 1 2 3 Cn n(n -1-2 ).(n -k +2 ) k 1 2 3 . k 1 ) n(n-1 jn-2 卜.(n k+2 n- k+1 -12 3. “(k -1 )k cn =1 3 其中，后一个二项式系数的分子是前一个二项式系数的分子乘以逐次减小1的数（如 n, n1, n-2,.），分母是乘以逐次增大的数（如1, 2, 3，

6、）因为，一个自然数乘以 一个大于1的数则变大，而乘以一个小于1的数则变小，从而当 k依次取1, 2, 3,等值 时，cn的值转化为不递增而递减了又因为与首末两端“等距离”的两项的式系数相等, n+1项，所以展开式有中间一项，并且这一项的 所以二项式系数增大到某一项时就逐渐减小，且二项式系数最大的项必在中间. 当n是偶数时，n +1是奇数，展开式共有 n 二项式系数最大，最大为 cn2 当n是奇数时，n +1是偶数，展开式共有 这两项的二项式系数相等并且最大，最大为 n+1项，所以有中间两项. n4n + C； =cF. 二项式系数的和为2n，即c； +cn +c2 +.+cn +. .+C： =2n. 奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，即 cn0+C2+C4+.+c；+c；+.,2n 常见题型有： 求展开式的某些特定项、项数、系数，二项式定理的逆用，赋值用，简单的组合数式问题. 左典例分析 二项式定理的应用1证明整除或者求余数 【例11利用二项式定理证明：32n七-8n -9是64的倍数. 【例2】 若N *，证明：32n*_24n+37能被64整除. 6 【例31 证明: (1 +73)2n +(1 妁2n(n亡N*)能被2仔整除 【例41 证明: （1 A/3）2n+（i-73）2n+（n