9知识讲解_常用逻辑用语全章复习与巩固

1、常用逻辑用语全章复习与巩固 【学习目标】 1. 理解命题的概念；了解逻辑联结词或”、且”、非”的含义. 2了解命题“若P，则q”的形式及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相 互关系. 3.理解必要条件、充分条件与充要条件的意义 4.理解全称量词与存在量词的意义；能正确地对含有一个量词的命题进行否定 【知识网络】 Li含有量i司的命题IT 全称命團 存在性命題 的”、“任意一个”、“每一个”、“一切”、“任给”等. 逻辑联结词 充分必要条牡1 必要条件I 丄洗冠件 【要点梳理】 要点一：命题 (1) 命题的概念：可以真假的语句叫做命题 般可以用小写英文字母表示.其中判 断为真的语句叫真

2、命题，判断为假的语句叫假命题 (2) 全称量词与全称命题 .如“所有 全称量词：在指定范围内，表示整体或者全部的含义的量词称为全称量词 全称命题:含有全称量词的命题，叫做全称命题 . 符号表示为 x M ， p(x) 3）存在量词与存在性命题 存在量词:表示个别或一部分的含义的量词称为存在量词 .如“有一个”， 存在一个”, 至少有一个” ,“有的” , “有些”等 . 存在性命题:含有存在量词的命题，叫做存在性命题 . 符号表示为 M ，q(x) . 要点二：基本逻辑联结词 基本逻辑联结词有 或”、“且”、 非”. 1） p q ：用 且”把命题 p 和 q 联结起来，得到的新命题，读作 p

3、且q ”相当 于集合中的交集 . （ 2） p q :用 于集合中的并集 . 或”把命题 p 和 q 联结起来，得到的新命题，读作 p或q ”相当 （3）p :对命题P加以否定，得到的新命题，读作“非P”或 于集合中的补集 . ( 的否定”，相当 要点三：充分条件、必要条件、充要条件 对于“若 p则q”形式的命题: 若 p 若 p 若既有 q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件； q，但q p，则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件； P q，又有q P，记作P q，则P是q的充分必要条件（充要条件） 判断命题充要条件的三种方法 1）定义法: 2）等价法:由于原命题与它的逆否命题等

4、价，否命题与逆命题等价，因此，如果原 命题与逆命题真假不好判断时，还可以转化为逆否命题与否命题来判断即利用 B A ； BA与 A B ； A B 与 BA的等价关系，对于条件或结论是 不等关系（或否定式）的命题，一般运用等价法 （3）利用集合间的包含关系判断，比如A 可判断为 A B; A=B可判断为 A B,且 B A，即 A B. 如图: “A u B ” “ X A x B，且 B X A” X A是X B的充分不 必要条件 . A B” x A x B” A是x B的充分必要条件. 要点诠释: (1) 在判断充分条件与必要条件时，首先要分清哪是条件，哪是结论；然后用条件推 结论，再用

5、结论推条件，最后进行判断 (2) 充要条件即等价条件，也是完成命题转化的理论依据 “当且仅当”.“有且仅有”.“必须且只须” “等价于” “反过来也成立”等均为充 要条件的同义词语. 要点四：四种命题及相互关系 如果用P和q分别表示原命题的条件和结论, q分别表示P和q的否定，则 命题的四种形式为: 原命题：若P则q; 逆命题：若q则 否命题：若 P则 q; 逆否命题：若q则 P. 四种命题的关系 逆命题 若q则P 互 否 逆否命题 若q则P 原命题 逆命题 逆否命题.它们具有相同的真假性，是命题转化的依据和途径之一 否命题，它们之间互为逆否关系，具有相同的真假性，是命题转化的另 依据和途径.

6、 除、之外，四种命题中其它两个命题的真伪无必然联系 要点五：命题真假的判断方法 (1)对于一般的命题，结合所学知识经过推理论证或举反例来判断; (2)对于含有逻辑联结词的命题的真假判断，可参考下表(真值表) 命题的真假判断(利用真值表) P q 非P P或q P且 q 真 真 假 真 真 真 假 假 真 假 假 真 真 真 假 假 真 假 假 假 （3）对于“若P，则q ”型的命题，因为原命题与逆否命题同真或同假，故可以利用 其逆否命题的真假来判断. 要点诠释: 当P、q同时为假时，“ P或q ”为假，其它情况时为真，可简称为“一真必真” 当P、q同时为真时，“ P且q ”为真，其它情况时为假

7、，可简称为“一假必假” “ P ”与P的真假相反. 要点六：量词与全称命题、特称命题 全称量词与存在量词 （1）全称量词及表示：表示全体的量词称为全称量词。表示形式为 所有”、任意”、每 一个”等，通常用符号“ ”表示，读作 对任意”。 含有全称量词的命题，叫做全称命题。 全称命题“对 M中任意一个X，有P（X）成立”可表示为“X M , p（x） ”，其中M为 给定的集合，P（X）是关于X的命题. （2）存在量词及表示：表示部分的量称为存在量词。表示形式为 有一个”，存在一个”， “至少有一个”，有点”，有些”等，通常用符号 “ ”表示，读作存在”。 含有存在量词的命题，叫做特称命题。 特称

8、命题“存在 M中的一个x，使P（X）成立” 可表示为“x M,p（X）”，其中M为 给定的集合，p（x）是关于X的命题. 对含有一个量词的命题进行否定 （1）对含有一个量词的全称命题的否定 全称命题P： X M , p（x），他的否定 P : X M , p（x）。全称命题的否定 是特称命题。 （2）对含有一个量词的特称命题的否定 特称命题P: X M,p（x），他的否定 P :X M, P（X）。特称命题的否 定是全称命题。 要点诠释： 定一次），而命题的否命题则需要对命题的条件和结论同时进行否定（否定二次） （1）命题的否定与命题的否命题是不同的.命题的否定只对命题的结论进行否定（否 止面

9、词 等于 大于 小于 是 都是 曰 定是 至少一个 至多一个 否定词 不等 于 不大 于 不小 于 不是 不都是 疋不疋 一个也没有 至少两个 O （2） 些常见的词的否定: 【典型例题】 类型一：命题的四种形式 例1.写出命题已知a, b是实数，若ab=O,贝U a=0或b=0”的逆命题，否命题，逆否 命题，并判断其真假。 【思路点拨】找准条件和结论，根据定义写出命题，再利用知识进行判断 【解析】逆命题：已知 a,b是实数，若a=0或b=0,则ab=0,真命题; 否命题：已知a, b是实数，若abM 0，贝U a 0且b丰0，真命题; 逆否命题：已知a,b是实数，若aM 0且b丰0,则abM

10、0，真命题。 【总结升华】 1“已知a,b是实数”为命题的大前提，写命题时不应该忽略; 2. 互为逆否命题的两个命题同真假; 3. 注意区分命题的否定和否命题 举一反三： 【变式1】“已知a b、C、d是实数，若a c, b d ,则a b cd ”，写出下 面相应的命题，并判断真假 上述命题的逆命题为: 上述命题的否命题为: 逆命题: 已知 a、 b、 c、 d是实数，若a b c d，则 a c, b d ；假命题。 否命题： 已知 a、 b、 c、 d是实数，若a c或b d，则a b c d ；假命题。 命题的否定： 已知 a b、 c、d是实数，若 a c, b d , 则a b c

11、 d 假命题。 【答案】 并判断其真假。 上述命题的否定为: 【变式2】写出下列命题的逆命题，否命题，逆否命题, (1) 若q1，则方程x2+2x+q=0有实根； (2) 若x2+y2=0,则x,y全为零。 【答案】 (1) 逆命题：若方程 x2+2x+q=0有实根，则q 1，则方程x2+2x+q=0无实根，假命题； 逆否命题：若方程 x2+2x+q=0无实根，则q1，真命题。 (2) 逆命题：若x,y全为零，则x2+y2=0,真命题； 否命题：若x2+y2M 0,则x,y不全为零，真命题； 逆否命题：若x,y不全为零，则X2+y2 0，真命题。 【高清课堂：常用逻辑用语综合395487例11

12、 例2.写出下列命题的否命题: (1)若abc=O，贝U a, b, c中至少有一个为 0; (2)若 x2+y2=0，则 x，y 全是 0. 【解析】 (1)若abc 0,则a，b，c都不为0； (2)若 x2 y20,则x，y不都为0. 【总结升华】 注意否命题的结构和含有逻辑量词的命题的否定 举一反三: 【变式】写出下列命题的逆命题，否命题，逆否命题，并判断其真假。 (1) 若q1，则方程x2+2x+q=0有实根; (2) 若x2+y2=0,则x,y全为零。 【答案1 (1) 逆命题：若方程 x2+2x+q=0有实根，则q 1，则方程x2+2x+q=0无实根，假命题； 逆否命题：若方程

13、x2+2x+q=0无实根，则q1，真命题。 (2) 逆命题：若x,y全为零，则x2+y2=0,真命题； 否命题：若x2+y2M 0,则x,y不全为零，真命题； 逆否命题：若x,y不全为零，则x2+y20，真命题。 类型二：充分、必要条件，充要条件的判断 例3.填空(在“充分而不必要条件” “必要而不充分条件” “充要条件” “既不充分也 (1)已知: 不必要条件”中选一种)。 m 0有实根.贝y P是q的 件; (2)已知: P： |X 1| 4 ； q : 5x 条件. 【思路点拨】 运用二次方程有无实根，解绝对值不等式及一元二次不等式进行判断 【解析】 (1)方法一: 定义法 m 0 方程

14、x2 x m 0有实根, 且方程x2 x m 0有实根 01 4m 0 所以P是q的充分而不必要条件。 方法二： 从集合的观点入手 P : m A m | m 0 q : m B m|方程 2 x x m 0有实根 m | m 4 因为A u B，所以p是q的充分而不必要条件. (2) p: | X 1| 45x3; q: x25x 6 x2 5x 602 x 3. 1 -52 3 由图知：q p但p? q,故q是p的充分不必要条件，故 p是 件. -o -5 23 q的充分不必要条 【总结升华】1.处理充分、必要条件问题时，首先要分清条件与结论; 2.正确使用判定充要条件的三种方法，要重视等

15、价关系转换，特别是 p与 q关系. 举一反三: 【变式1】指出下列各组命题中,A是 B的什么条件 (1) A: IP 2, p R ; B：方程 x2 Px P 30有实根; (2) A: |2x 3 1 ； B: 1 2 x (3)A: 圆x2 y2 r2与直线 ax by c 2 2 0相切；B： c (a b2)r2. (3)非P：若x2，则x N且x 0，假命题; 【答案】 (1)必要非充分条件. 方程x2 px 0有实根 12 4( P 3)0 A p|p 2B P| P 2，即 x 住 x B . 所以A是B的必要非充分条件. (2)必要非充分条件 2x 3 1 x 1 或x 2;

16、 所以A推不出B,但B可以推出 2 x A, 故A是B的必要非充分条件. (3)充要条件 r c(a2 b2)r2. 所以A是B的充要条件. 【高清课堂：常用逻辑用语综合 395487例2】 【变式2设a R,则a1是a 11的( ) (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】根据幕函数 x 1的性质，a1时a 11成立；但当a 0时a 1 1也成立, 设a R贝y a1是a 11的充分不必要条件. “m/ 3 是 “a 【变式3 (2015 北京)设a, 3是两个不同的平面，m是直线且m? / 3 的 ( A .充分而不必要条件

17、 B .必要而不充分条件 C.充分必要条件 D既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 因为 是两个不同的平面，m是直线且m?.若 m / ” 则平面 可能 相交也可能平行，不能推出 /，反过来若/,m ，则有 m /，则 m /” 是“ /”的必要而不充分条件. 类型三：命题真假的判断 例4. 已知下列各组命题，写出满足条件的新的形式命题，并判断真假 2是方程x2 5x 60的根，q : x 5是方程x2 5x 60的根; P或q, 是有理数；P且q, 2，则x 【解析】 (1) P 或 q： 5是方程x2 5x 60的根，真命题; (2) P 且 是大于3的有理数，假命题; 2.条件“

18、x N或x 0 ”是“或”的关系，否定时要注意 【总结升华】 1. 判断复合命题的真假的步骤: 确定复合命题的构成形式; 判断其中简单命题 P和q的真假; 判断复合命题的真假 根据规定(或真假表) 举一反三: 【变式1】若命题P： x AU B，则命题“非卩”是() A. x A且 x B B . x A或 x B C . x AI B D . x AI B 【答案】A ; B,.非P : x即不属于 【解析】因为命题 P可陈述为：x属于集合A或x属于集合 集合A且也不属于集合 B,即非P : x A且x B，故选A. 【高清课堂：常用逻辑用语综合 395487例3】 【变式2】例4若命题pV

19、 q是真命题，？p是真命题，则( (A) P和q都是真命题 (B) (C) (D) P和q都是假命题 P是真命题， P是假命题， q是假命题 q是真命题 【答案】D 【变式3】满足“P (1) P：在 ABC中，若 cos2A= C0S2B，则 A= B; 或q”为真，“非P”为真的是 (填序号) q:y = sinx在第一象限是增函数 (2) P： a b 2/ab(a,b R) ； q:不等式x x的解集为 ,0 (3) p:圆 x 1 (y 2)2 1的面积被直线x x2 1平分；q :椭圆一 4 2 1的一条 3 准线方程是x 4. 【答案】 【解析】 除；选项 p假、命题q真.选项(1)中，命题P真而命题q假，排 中命题P假、命题q真；选项中，命题P和命题q都为真，排除；故填(2). 由已知条件, 知命题 类型四: 全称命题与存在性命题真假的判断 例5.判断下列命题的真假: (1) x N, x41 ； (2) X