44知识梳理不等式的解法

1、不等式的解法【考纲要求】1.通过函数图像了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系,2. 会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图,3. 掌握一次不等式、分式不等式、高次、指对不等式等的解法，4. 培养数形结合的能力，培养分类讨论的思想方法，培养抽象概括能力和逻辑思维能力。 【知识网络】【考点梳理】要点一、一元二次不等式的解法元二次不等式 ax +bx+c0 （或0的解，图象在x轴下方部分对应的 x值为不等式ax2+bx+c0 (其中 x1, x2,xn是互不相等的实常数)叫做一元n次不等式(n N).要点诠释：作出相应函数的图象草图.具体步骤如下：(a)明

2、确标出曲线与 X轴的交点，(b)分析在每一个开区间上 函数的那段曲线是在 X轴的上方还是下方(除此之外，对草图不必做更细致的要求) .然后根据图象草图, 写出满足不等式的解集.要点三、无理不等式的解法无理不等式：如果函数要点诠释：f(x)是关于x的无理式，那么f(x)0或f(x)Jg(x)f(x) g(x) f(x)g(x)g(x)f(x)g(x)Jf(X)g(x)f(x) g(x) f(x)0g2(x)f(x)g(x)g(x)f(x)：2(X)或f(x) 0g(x) 0要点四、指对不等式的解法f(x) g(x) f(x)0g2(x)【高清课堂：不等式的解法394838知识要点】解法指导：化超

3、越不等式为代数不等式，依据是指数函数和对数函数的单调性 要点诠释：(1)m(3)logaf(x)ag(x) (a x)2+n - (a x)+k0.令 ax=t(t0), af(x)log ag(x) (a0, a0(a0,a 丰 1).当 0a1 时，f(x)1 时，f(x)g(x).转化为mt2+nt+k0，先求t的取值范围，再确定 x的集合.丰1).f(x)当 0a1 时，g(x)f(x)g(x) m (loga f (x)2令 log af(x)=t(t R),【典型例题】类型一：一元二次不等式例1.不等式x2 mx【解析】由题意可知方程由韦达定理有- m 9,. 2nx mx(4x

4、1)(5x1)故不等式nx2g(x)f(x)g(x)k 0.loga f (x)转化为mt2+nt+k0，先求t的取值范围，再确定 x的集合.n 0的解集为x (4,5),2x mx n 0的两根为5 m , 4 200化为20 x210，解得 -49xmx 10的解集为求关于x的不等式2即 20x2 9x 1nx2mx10的解集。1 0 , 1 5 1 1 -,-).45【总结升华】二次方程的根是二次函数的零点，也是相应的不等式的解集的端点 端点恰为相应的方程的根，我们可以利用韦达定理，找到不等式的解集与其系数之间的关系, 此类题的关键。举一反三：根据不等式的解集的 这一点是解【变式1】已知

5、ax2 2x0的解为【解析】由韦达定理有:1x -,试求a、212代入不等式2cx2x20得2x2x 12c,并解不等式12, c 2.即 x2 x 60 , (x 3)(x2)0,解得 2 x2cx 2x a 0.故不等式 cx2 2x0的解集为：(2,3).【变式2】已知关于x的不等式X2ax b0的解集为(1,2)，求关于X的不等式bx2ax 1 0的解集.【解析】由韦达定理有:，解得b 1 2代入不等式bx2 ax 10得22x2 3x 10,即(2x 1)(x1)0，解得1,-)U(1,2例2.已知关于X的不等式(m2+4m-5)x2-4(m-1)x+30对一切实数x恒成立，求实数

6、m的取值范围。【解析】(1)当m+4m-5=0时，m=1或m=-5若m=1,则不等式化为30,对一切实数X成立，符合题意。若m=-5,则不等式为24x+30,不满足对一切实数 x均成立，所以 m=-5舍去。(2)当 nf+4m-5M 0 即 nrrl 且 m -5 时，由此一元二次不等式的解集为R知，抛物线y=(m+4m-5)x -4(m-1)x+3开口向上，且与 x轴无交点,2m 4m 5所以二 bx2 ax0的解集为：().16(m 1)212(m2 4m 5)0m 1或m即1 m 195,二 1m19。综上所述，实数 m的取值范围是m|1 m0;(2)(x-5x-6)(1-x)0.【解析

7、】(1)做出函数y=(x-2)(x+2)(x-1)(x+1) 的图象的草图(图1).ZV-K(2,+ 8).所以不等式的解集为(-8 ,-2)(-1,1)(2)先把原不等式化成与它等价的：(x+1)(x-6)(x-1)0.【解析】此例中y=(x+2)(x+1) 2(x-1) 3(x-3)出现了重因式，当x值从大于-1变化到小于 y值符号没有发生变化，而x值从大于1到小于1时(不含1), y值符号发生了变化，如图的草图(图2),y在最右边 如果不是正数，-1时(不含-1 ),3,故解集为(-2,-1)(-1,1)(3,+ 8).【总结升华】本题可以先对不等式化简再解。原不等式等价于(X2)(x

8、1)(x 3)0类型三：无理不等式例4.解不等式J2X1 5.所以原不等式的解集为5 , +).解法二：设、qx1 =t (t 0).则t21x=2所以原不等式化为t 3.t 3,所以 x 5.所以 12-2t-3 0,因为t 0,所以解法3:令y1=J2x 1, y 2=x-2,从而原不等式的解集就是使函数 在同一坐标系中分别作出两个函数的图象(图4).y1y2的x的取值范围.设它们交点的横坐标是 X0,则=X0-20.解之，得X0=5或X0=1 （舍）.所以原不等式解集为5 , +7 .【总结升华】解法1是通法，要求必须熟练掌握，解法 2是换元法，由于不等式两边次数恰是倍数关 系，故换元后

9、变为二次不等式，但最终还要解 x的方程.解法3是数形结合法，用图象解题，一般比较简 捷、形象、直观，但要注意作图的正确和表达的清晰和完整.举一反三：【变式】解不等式（X 1）Jx 20【解析】1）Vx0或0所以原不等式的解集是类型四：(x121,+指对不等式例 5.(2015洛阳一模）若(x 1)坂-2.20或(X 1)Jx 200x1 或 x=1 或 x=-2.1A. 2 3,1B.0210,2 3,均有9Xlogax(a0且a 1）则实数a的取值范围是（）C.12,3【答案】【解析】a 0,1 U 1,-时屈数2y 9x的图像如下图所示：*AillQ对任意的0 x2，总有9X loga X

10、恒成立1故选A.ACB,则不等式f x log2 x 1的解集是【答案】CB. x| 1 x 1 C. x| 11 D. x| 1 x 2由已知f X的图象，在此坐标系内做出log2x 1的图象,如图【解析】21的x范围是1所以不等式f x log2 x1的解集是若不等式9x log ax恒成立，则y log a x的图像恒在y 9x的图象的上方Q y logax的图象与y 9x的图象交于点,32故所求的y logaX的图象对应的底数 a应满足2举一反三:【变式】（2015 北京高考）如图屈数f x的图象为折线x| 1 x 1 故选 C.例6 .解不等式lOg2（x1)【解析】原不等式可化为:1）2log 0.25 (xlog4(x 1)21)log4(2x 1)log 4(2x1) log4(x 1)lOg4(xlog4(2x 1)(x 1)x所以2