23变换的复合与矩阵的乘法.

1、本文由chenjiweihua贡献doc文档可能在 WAP端浏览体验不佳。建议您优先 选择TXT ,或下载源文件到本机查看。高中数学湘教版选修4-2教案2.3变换的复合与矩阵的乘法教学目标 : 教学目标 : 一、知识与技能：通过变换的实例，了 解矩阵与矩阵的乘法的意义；掌握二阶矩阵的乘法法则 ,并能运用几何图形变 换,说明矩阵乘法不满足交换律 二、方法与过程借助实例的探究,引入复合变 换,寻求二阶矩阵的乘法法则,发现矩阵乘法不满足交换律；通 过具体情境的观 察、类比、探索、交流和反思等数学活动,培养学生的创新意识,使学生掌握研究 问题的方法,从而学会学习体会从具体到抽象再到具体的思想方法。 三

2、、情感、 态度与价值观新旧知识的联结,潷学生的求知欲及进一点探索的乐趣。 教学重点: 教学重点 :二阶矩阵乘法法则及运用 教学难点：教学难点：说明矩阵乘法不满足交 换律难点教学过程一、复习引入：复习引入：1基本概念?a b? (1) 二阶矩 阵：由四个数 a , b , c , d 排成的正方形数表 ? ? c d ?称为二阶矩阵。特别 地, ? ? ?称二阶矩阵 ? ? 0 0? ?1 0? ?为零矩阵,简记为 0。称二阶矩阵 ? ? ? 0 1 ? 为二阶单位矩阵，记为 E 2。? ? 0 0? ? ? ? x? ? y?( 2)向量：(x , y )向量是 一对有序数对, x , y 叫

3、做它的两个分量,且称 ? ? 为列向量, x , y )( ? ? 为行 向量。同时，向量、点以及有序实数对三者不加区别。2、几类特殊线性变换及其二阶矩阵(1)线性变换 在平面直角坐标系中，把形如 ？ x = ax + by (其中a , b , c , d为常数)的几何变换叫做线性y = cx + dy ?变换。(2)旋转变换 福 建省霞浦第六中学 郑卿第1页高中数学湘教版选修4 2教案x 二x cos a ? y sin a ? cos坐标公式为？ ，变换对应的矩阵为 ？ ？ sin a ? ? y = x sin( 3)y cosa反射变换 关于x的反射变换坐标公式为？ Sin a ?

4、? cos a ? ? x = x对应的二 阶矩阵为 ? ? 0 ?1?； ? ? ? ?y = ?y ?x = ?x ? ?1 0?对应的二阶矩阵为 ? ? 0 1?； ? ? ? ?y =y关于y的反射变换坐标公式为？ x = y ?0 1?关于y = x的反射变换 坐标公式为？ 对应的二阶矩阵为？ ?1 0?; ? ? ? ?y = x (4)伸缩变换 坐标公式为？ x = k1 x ? k1 对应的二阶矩阵为 ? ?0 ? ? y = k2 y 0? ?； k2 ? ? (5)投影变换 x = x ?1 0?对应的二阶矩阵为 ? 投影在 x 上的变换坐标公式为 ? ? 0 0?； ?

5、? ? ?y = 0 投影在 y 上的变换坐标公式为 ? x = 0 ? 0 0?对应的二阶矩阵为 ? ?0 1? ? ? ? ?y = y (6)切变变换 x = x + sy ? 1s ? ?1 0?对应的二阶矩阵为 ? 平行于 x 轴的切变变换坐标公式为 ? ? 0 1? ? s1 ? ? ? ? ? ? ? y二平行于y轴的切变变换坐标公式为 ？ X = x ?1 0?对应的二 阶矩阵为? ? s 1? ? y = sx + y ? ? ? x1 ? ? x2 ? ?a b? 3定理 1 设 A = ? ? c d ?, X 1 = ? y ? ， X 2 = ? y ? ， t ，

6、k 是实数。则以下公式成立： ? ? ? ? ? ? ? ? 1? ? 2?(1) A ( t X 1 ) = t (A X 1 )(2) A X 1 + A X 2 = A ( X 1 + X 2 )(3)A ( t X1 + kX2)= tAX 1 + k A X 24、定理2可逆的线性变换具有如下性 质： (1)直线仍变成直线；福建省霞浦第六中学郑卿第 2页高中数学湘教版选 修 42 教案(2)将线段仍变成线段(3)将平行四边形变成平行四边形 二、新 课讲解新课讲解例 1 设平面上建立了直角坐标系。如图所示，交每个点 P( x , y )先绕原点？逆时针方向旋转角a到P ( x , y

7、),再从P ( x , y )绕原 点？逆时针旋转角B到P ( x , y )。写出由(x , y )计算(x , y )的关系式。由 P ( x , y )到 P ( x ， y )的变换能否用矩阵表示？如果 能,写出表示这个变换的矩阵。解法一：由旋转变换可知 x = x cos a ? y sin a ? ? y = x sin a + y cos a ? x 二 x cosB ? y sin B ? 将= xsin入(2)，经过整理得？( 1)(2) x 二 x cos( a + B ? y sin( a + B ? y = x sin(B + y cos(a +因此,从P ( x ,

8、y )到P ( x , y )的变换矩阵可以用？ ？sin( a + B ? cos( a + B ?来表示,a cos0 a + B它就是绕原点沿逆时针 方向旋转角a +的变换解法二：先绕原点沿逆时针方向旋转角，再绕原点沿逆时 针方向旋转角B,总的效果是直接将 每个点P (x , y )绕原点沿逆时针方向旋转 角a + 到 P ( x , y )，由旋转变换可知，这个变 换可以用矩阵？ ？ cos( a + B ? Sin( a +来表示? ? sin(a + B cos(一殳地,B A ,是平面上的两个变换,设 B 将平面上每个点 P 先用变换 A 变到 P ,再用变换 B 将 P 变到

9、P , 则从 P 到 P 也是平面上的一个变换,称为 A,B 的复合变换,也称为 B 与 A 的 乘积，记作BA。 (注意：为里先施行变换A,后施行变换B,但它们的复合 变换要记作BA。原因是：P = A P )将福建省霞浦第六中学 郑卿第3页高中数 学湘教版选修4 2教案代入P = B ( P )得到P = B (A ( P )，因此，写为P =BA ( P )较为合理，A在B的右边，)首先接触 P ，它先作用于 P 得到 A( P )之后再用 B 从左边作用于 A( P ) 得到BA ( P )例2、设平面上建立了直角坐标系，变换 A, B可分别用A = ? ? al ? cl bl ?

10、?a ?和 B= ? 2 ? ?c di ? ? 2 b2 ?表 d2 ? ? ，再用变 换 B 将 P ( x ， y )变到 P ( x ，示将每个点 P ( x , y )先用变换 A 变到 P( x ， y ) y )。复合变换 BA 是否能用矩阵表示？如果能，写出变换 BA 的矩阵 x = a1 x + b1 y ? x = a 2 x + b2 y 解：将 ? 代入 ? 经过整理得： ? y = c1 x + d1 y ? y = c2 x + d 2 y ? x = (a1 a 2 + b2 c1 x + (a 2 b1 + b2 d1 y ? ? y = (c 2 a1 + d

11、 2 c1 x + (c 2 b1 + d 2 d1 y 所以从 P ( x , y )到 P ( x ， y )的变换矩阵 BA 可以用矩阵 ? ? a1 a 2 + b2 c1 ? c 2 a1 + d 2 c1 a 2 b1 + b2 d1 ?表? c 2 b1 + d 2 di ? ?示 x ? ? al 将变换写成矩阵式? ? = ? ? y ? ?c ? ? ?得? ? bi ? ? di ? ?x? ? ? ? y? ? ? x? ? ? ? y? ? ? x ? ? a 2 ?当? ? y ? ?c ? ? ? 2 b2 ? ? x ? ? ? d2 ? ? y ? ? ? x

12、 ? ? a 2 ? ? ? ? ? y ? ? c2 b2 ? ? ai ? d 2 ? ? ci ? bi ? ? di ? ? x ? ? ai a 2 + b2 ci ? ?= ? ? y ? ?c a + d c 2 i ? ? ? 2 由此得? ? a 2 bi + b2 di ? ? c 2 bi + d 2 di ? ? x? ? ? ? y? ? ? a2 ? c2 b2 ? ? ai ? d 2 ? ? ci ? bi ? ? ai a 2 + b2弋？ ? di ? ? c 2 ai + d 2 ci ? ? ? ai ? ci a 2 bi + b2 di ? ? c

13、2 bi + d 2 di ? ? b2,?我们规 定它们的乘积d2 ? ?对任意两个2送矩阵A = ? ? bi ? ?a ?和B= ? 2 ? ?c di ? ? 2 BA = ? ? ai a 2 + b2 ci ? c 2 ai + d 2 ci a 2 bi + b2 di ? ? c 2 bi + d 2 di 按照这规 定，假如变换B, A的矩阵分别是B, A，则复合变换BA的矩阵是两变换矩阵的 乘积BA。要理解和记忆公式所表示的矩阵乘法法则，先学会行向量(a, b )与列向量 ? ?的乘法法则： ? ? c? ?d ?福建省霞浦第六中学郑卿第 4页高中数学湘教 版选修4 2教案

14、(a, b ) ? ? = ac + bd ? ?这个规则就是：将行向量的两个数与 列向量的两个数分别对应相乘，再将所得的乘积相加。再来看两个2忽矩阵的乘法规则：将矩阵B= ? ? c? ?d ? a2 ? c2 b2 ? ?a0的第i行i = i，与矩阵A = ? i(2) ? ?c d2 ? ? i bi ? ? di ?的第j列(j = i，2)、相乘得到一个数，得到的 就是矩阵 BA 的第 i 行第 j 列的数。练习：例 3、平面上建立了直角坐标系，直线 li，l 2经过原点0倾斜角分别是a， B，设变换A，B (i)变换A，B的复合 变换 BA 的矩阵；(2)变换 B，A 的分别表示

15、关于直线 li ， l 2 的反射变换，求：复合变换 AB 的矩阵； （3）根据矩阵说明 BA，AB 是什么变换，这两个变换是否相同。 解：（1）设A, B的矩阵分别是A = ? ? cos 2 a ? sin 2 a ? cos 2a ? ? cB ? sin 2 B si n 2 a ? ? ccB=2 ? ? $in?2B ? cos 2 a ? ? ? sin 2 B? ? cos 22 B ? ? sin 2 a ? sin 2 B ? ? ? cos ? ? si nB ? a BA ? ? cos 2= ? 2cos?2（ B ?a ? sin 2（ B ? a ? ? ? ?

16、sin 2（ B这表示绕原点沿递时针旋转角 2（ B ? asin 2（2）AB= ? ? cos 2 a ? sin 2 a sin 2 a ? ? ? cos 2 a ? ? cos 2 B ? ? sin 2 B 2（ a ? B ? sin 2（ a ? Bc?2 B ? ? sin 2（ a ? B cos这表示绕原点沿? ? ? 逆时针旋转角2（ a ? 03）变换BA与变换AB的旋转角2（ B ?与a2（ a ?正子相 反，当2（ B ? a时，这两个 旋转是不相同的，也就是说 AB丰BA这说明：变换 的乘法与矩阵的乘法都不满足交换律 练习：计算三、课堂练习 ? 1 2 ? ?

17、1 ? 1? 1、 计算（1） ? ?3 4? ?0 4 ? ? ? ? ?福? 建省霞浦第六中学郑卿（2） ? ? 0 ? ?0 1? ?3 ? ? ? ? 2 ? 3? ? ? 2 4? ?第? 5页高中数学湘教版选修 42 教案 2、在直角坐标系内，分别求下列向量先经过旋转变换逆时针转 30 ，再经过矩阵 ? ? 0 1 2? ?对应 的 ? ?0 1?切变变换所得的结果。（1） ? ? ? ? 1? ?0?（2） ? ? ? ? x? ? y? 、3 已知 M1= ? 1 ?0 ? 0? ?1 0 ? 1 ?，试求 M1 M2 ，并对其几何意义给予解释。1 ? 和 M2= ? ?0 ? ? 2? 3? ?四、小结 1、设 A，B 是平面上的两个变换，将平面上每个点 P 先用变换A变到P ，再用变换B将P 变到P，则从P到P也是平面上的一个变 换，称为A，B的复合变换，也称为B与A的乘积，记作BA。 al 2、A= ? ?