-向量组的线性相关性

1、第四章向量组地线性相关性 1 .设 Vi = (1, 1, 0) ,v2 = (0, 1, 1) ,V3 = (3, 4, 0),求 Vi V2 及 3vi 2v2 V3. 解 V1 _V2 =(1, 1, 0)T -(0, 1, 1)T =(10, 1-1, 01)T =(1, 0, -1)T 3V1 2v2-V3 =3(1,1, 0)T 2(0,1,1)T -(3, 4,0)T =(3 12 0-3, 312 1 -4, 302 1 - 0)T = (0,1, 2)T 2.设 3(q -a) 2(a2 a) =5(asa)其中 a(2,5,1,3)T, a2 = (10,1,5,10)T,

2、 a3 =(4,1,-1,1)丁,求 a. 解由 3( -a) 2(a2a) =5(a3 - a)整理得 a =；(3印2a2 -5a3)= ；3(2,5,1,3)T2(10,1,5,10)T -5(4,1,-1,1)T 6 6 二(1,2,3,4)t 3 设 j*2,、2=：2-3, -3 ：3-4,： 1,证明向量组：1, 23, ：4 线 性相关 证明设有x1,x2,x3, x4使得 Xi 1X2 2X3 3 X4 4 = 0 贝U Xi(： 1 ： 2) X2C 2 ： 3)X3C 3 ： 4) X4C 4 ： 1)= 0 (Xi X4)1 (X1 X2)： 2 (X2 X3)： 3

3、(X3 X4)： 4 = 0 (1若：1,：2,：3,：4线性相关,则存在不全为零地数 k1,k2,k3,k4, k2 二捲x2。k3 = x2x3。 k4 = x3X4。 由k1, k2,k3, k4不全为零，知X1,X2,X3,X4不全为零,即：1厂2厂3厂4线性相关 (2若a1,a2,a3,a4线性无关,则 X +x4 =0 1 0 0 r X1 +X2 = 0 = 110 0 X2 X2 + X3 = 0 0 110 X3 N +X4 =0 ,0 0 11 N .丿 -0 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 1 二0知此齐次方程存在非零解.则1, -2, -3,

4、 -4线性相关. 综合得证. 心2,|朴，八1心2儿，且向量组a1,a2,，a-线性无关，证 明向量组,|, 线性无关. 证明设Kb - k2b2亠亠krbr =0则 (K III kr)： 1 (k2 川 kr)： 2 III (kp 川 kr)： p II) “ r = 0 因向量组：1,： 2,IH, ： r线性无关，故 k + k2 + + kr = 0 广1厶 1) 3 k2 + +kr =0 0 1 1 k2 0 2ru - :1 9 = i匕=0 ! 0 1丿 .线性相关；(2. a -2b =0 ； (3.线性相关; 9. 求下列向量组地秩，并求一个最大无关组： (3,0, ,

5、0)T线性相 2,-1, 4$ ,-：-2 9, j 100, 10, 4) (4.线性无关 2, -8$. 解- 2a1 P二a1,a3线性相关. 1 2 9100 -1 10 4 4 一8丿 1 0 0 2 82 0 -1 19 0 4 -32 0 秩为2,组最大线性无关组为 25 31 17 43 75 94 53 132 75 94 54 134 0 32 20 48 ai, a2 . 10.利用初等变换求矩阵 地列向量组地一个最大无关组，并把不属于 125 31 17 43、 2-3片 25 31 17 43、 勺5 31 17 43 75 94 53 132 0 1 2 3 r -

6、r 43 0 1 2 3 75 94 54 134 3 - 31 0 1 3 5 3 -2 0 0 1 3 5 32 20 48 4 匚 0 1 3 5 最大无关组地列向量用最大无关组线性表示 .b5E2RGbCAP 解 所以第 -2 人2打=匕+ k2 k? = 3 人/-2 -1 + -2 = k 飞2 = 3入一人2 上式中，把k1, k2看成已知数，把1, 2看成未知数 20 D = 2 H 0 = *-1,入2 有唯一解 -11 V1V2 1 1 同理可证：vv,(=D2 = 0鼻故y =v2 ? 14.验证 a 4 = (1, -1, T 0),J=(2, 1, TrT3 3) ,

7、 。3 =(3, 1, 2)为 R3 地一 个基，并把Vi =(5, 0, 7人 T V2 = (- 9, -8, _13)t用这个基表示. 1 2 3 解由于 a1 , a2, a3 -1 1 1 =6 式0 3 2 即矩阵(印占2占3)地秩为3.故a,a2,a3线性无关，则为R3地一个基. 设 w = k,a,k2a2 - k3a3，则 k +2k2 +3k3 =5 k = 2 一 k, + k2 + k3 = nk2 = 3 3k2 2k7k31 故 v, = 2a, 3a2 - a3 设 V 1 a( ./：2&2 ,3&3，则 打 +2-2 *3-3 = -9k 3 丿一打+毎+人3

8、 = -8二k2 = -3 322-313k -2 故线性表示为 v2 = 3耳-3a2 -2a3 15.求下面齐次线性方程组地基础解系与通解 Xi -8X2 +10X3 +2X4 =0 * 2xq +4x2 +5x3 _x4 =0 Si +8x2 +6x3 -2x4 =0 q 解(1 A = 2 -8 1 45 8 6 2初等行变换 -1 -2 1 4 3 4 所以原方程组等价于 X = -4X3 取 x3 =1,% - -3得 - -4, x2 =0。 取 x3 = 0, x4 = 4 得 x 0, x2 = 1. 因此基础解系为 0 1 X2 0 1 上2 = ,通解为 =Ci + c2

9、 1 0 X3 1 0 1-3 宀 ，求一个4 2矩阵 16.设 A = -5 B,使 AB = 0，且 R(B)二 2. 解 由于R（B） = 2 ,所以可设 X2 X4丿 则由 AB 二 -2 卫 -5 0 11 性方程组可得唯一解 一2 ) X2 X4 17.设四元非齐次线性方程组地系数矩阵地秩为 3,已知 T 3是它地三个解向量，且 r 3 孑+孑- ,23 2 4 3 - 1 _ ，求该方程组地通解. 解由于矩阵地秩为3, n- r=4-3=1, 维故其对应地齐次线性方程组地基础解系含 有一个向量，且由于 1, 2, 3均为方程组地解，由非齐次线性方程组解地结构性质得 DXDiTa9E3d 2 1 -（ 23）=（ 1 -2）（1-2“ （齐次解）（齐次解） 3 4 5 =齐次解 为其基础解系向量，故此方程组地通解: x ,(k R) 18. 求下列非齐次方程组地通解 % -5x2 +2x3 -3X4 =11 “ 5X