专升本高等数学定理及性质集锦

1、专升本高数定理及性质集锦1、数列极限的存在准则定理1（两面夹准则）若数列xn,yn,zn满足以下条件：（1）， （2）， 则定理2 若数列xn单调有界，则它必有极限。2、数列极限的四则运算定理 （1）（2） （3）当时，推论 ：（1） （2） ，（3） 3、当xx0时，函数f（x）的极限等于a的必要充分条件是 这就是说：如果当xx0时，函数f（x）的极限等于a，则必定有左、右极限都等于a。反之，如果左、右极限都等于a，则必有。4、函数极限的定理定理1（惟一性定理）如果存在，则极限值必定惟一。定理2（两面夹定理）设函数在点的某个邻域内（可除外）满足条件：（1），（2），则有。5、无穷小量的基本性

2、质性质1有限个无穷小量的代数和仍是无穷小量；性质2有界函数（变量）与无穷小量的乘积是无穷小量；特别地，常量与无穷小量的乘积是无穷小量。性质3有限个无穷小量的乘积是无穷小量。性质4无穷小量除以极限不为零的变量所得的商是无穷小量。6、等价无穷小量代换定理：如果当时，均为无穷小量，又有且存在，则。7、重要极限 8、重要极限是指下面的公式：9、 （2） （3） 10、函数在一点处连续的性质由于函数的连续性是通过极限来定义的，因而由极限的运算法则，可以得到下列连续函数的性质。定理1（四则运算）设函数f（x），g（x）在x0处均连续，则（1）f（x）g（x） 在x0处连续 ，（2）f（x）g（x）在x0处

3、连续（3）若g（x0）0，则在x0处连续。定理2（复合函数的连续性）设函数u=g（x）在x= x0处连续，y=f（u）在u0=g（x0）处连续，则复合函数y=fg（x）在x= x0处连续。定理3（反函数的连续性）设函数y=f（x）在某区间上连续，且严格单调增加（或严格单调减少），则它的反函数x=f-1（y）也在对应区间上连续，且严格单调增加（或严格单调减少）11、闭区间上连续函数的性质在闭区间a，b上连续的函数f（x），有以下几个基本性质，这些性质以后都要用到。定理1（有界性定理） 如果函数f（x）在闭区间a，b上连续，则f（x）必在a，b上有界。定理2（最大值和最小值定理）如果函数f（x）在

4、闭区间a，b上连续，则在这个区间上一定存在最大值和最小值。定理3（介值定理）如果函数f（x）在闭区间a，b上连续，且其最大值和最小值分别为m和m，则对于介于m和m之间的任何实数c，在a，b上至少存在一个，使得f（）=c.12、零点定理如果函数f（x）在闭区间a，b上连续，且f（a）与f（b）异号，则在a，b内至少存在一个点，使得f（）=0.13、初等函数的连续性定理初等函数在其定义的区间内连续。利用初等函数连续性的结论可知：如果f（x）是初等函数，且x0是定义区间内的点，则f（x）在x0处连续也就是说，求初等函数在定义区间内某点处的极限值，只要算出函数在该点的函数值即可。14、可导与连续的关系

5、定理如果函数y=f（x）在点x0处可导，则它在x0处必定连续。15、由上一个定理可知：若函数f（x）在x0不连续，则f（x）在x0处必定不可导。16、导数的计算a、导数的四则运算法则设u=u（x），v=v（x）均为x的可导函数，则有（1）（uv）=uv（2）（uv）=uv+uv（3）（cu）=cu（4）（5）（6）（uvw）=uvw+uvw+uvwb、复合函数求导法则如果u=（x）在点x处可导，而y=f（u）在相应的点u=（x）处可导，则复合函数y=f（x）在点x处可导，且其导数为 同理，如果y=f（u），u=（v），v=（x），则复合函数y=f（x）的导数为c、反函数求导法则如果x=（y）为

6、单调可导函数，则其反函数y=f（x）的导数17、微分的计算dy=f(x)dx求微分dy只要求出导数f(x)再乘以dx，所以我们前面学过的求导基本公式与求导法则完全适用于微分的计算。于是有下列的微分公式及微分法则：（1）d（c）=0（c为常数）（2）（为任意实数） （6）d（ex）=exdx（7）d（sin x）=cos xdx（8）d（cos x）=-sin xdx （17）d（cu）=cdu 18、微分形式不变性设函数y=f(u)，则不论u是自变量还是中间变量，函数的微分dy总可表示为dy=f(u)du19、常用的换元类型有：被积函数类型所用代换代换名称正弦代换正切代换正割代换根式代换20、

7、定积分的基本性质（1）。（k为常数）。（2）。（3）。（4）如果f（x）在区间a, b上总有f（x）g（x），则。（5）（6）设m和m分别为f（x）在区间a, b上的最大值和最小值，则有（7）积分中值定理如果f（x）在区间a, b上连续，则在区间a, b上至少存在一点，使得21、变上限定积分求导定理1.变上限定积分定义:：定义积分上限x为变量时的定积分称为变上限定积分。变上限定积分是积分上限x的函数，记作，一般有 2.变上限定积分求导定理定理 如果函数f（x）在区间a, b上连续，则有推论，22、计算定积分1.牛顿莱布尼茨公式 如果f(x)在区间a,b上的连续，且，则有推论：(1)若f(x)为

8、奇函数，则 (2)若f(x)为偶函数，则2、定积分的分部积分法23、定积分的应用1.计算平面图形的面积(1)x型：曲线y=f(x)，y=g(x)(f(x)g(x)和直线x=a,x=b(ab)所围成的平面图形的面积a为。(2)y型：曲线和直线y=c,y=d(cd)，所围成的平面图形的面积a为。2.旋转体的体积(1)x型 由连续曲线y=f(x)(f(x)0)和直线x=a,x=b(ab)及x轴所围成的平面图形绕x轴旋转一周所形成的旋转体的体积(2)y型 由连续曲线和直线y=c,y=d(cd)及y轴所围成的平面图形绕y轴旋转一周所形成的旋转体的体积24、全微分 25、二元隐函数设三元方程f(x,y,z

9、)=0确定隐函数z=z(x,y)，如果f(x,y,z)对x,y,z存在连续偏导数，且，则z对x、y的偏导数为。我的大学爱情观目录：1、 大学概念2、 分析爱情健康观3、 爱情观要三思4、 大学需要对爱情要认识和理解5、 总结1、什么是大学爱情：大学是一个相对宽松，时间自由，自己支配的环境，也正因为这样，培植爱情之花最肥沃的土地。大学生恋爱一直是大学校园的热门话题，恋爱和学业也就自然成为了大学生在校期间面对的两个主要问题。恋爱关系处理得好、正确，健康，可以成为学习和事业的催化剂，使人学习努力、成绩上升；恋爱关系处理的不当，不健康，可能分散精力、浪费时间、情绪波动、成绩下降。因此，大学生的恋爱观必

10、须树立在健康之上，并且树立正确的恋爱观是十分有必要的。因此我从下面几方面谈谈自己的对大学爱情观。2、什么是健康的爱情：1) 尊重对方，不显示对爱情的占有欲，不把爱情放第一位，不痴情过分；2) 理解对方，互相关心，互相支持，互相鼓励，并以对方的幸福为自己的满足; 3) 是彼此独立的前提下结合；3、什么是不健康的爱情：1)盲目的约会，忽视了学业;2)过于痴情，一味地要求对方表露爱的情怀，这种爱情常有病态的夸张;3)缺乏体贴怜爱之心，只表现自己强烈的占有欲;4)偏重于外表的追求;4、大学生处理两人的在爱情观需要三思：1. 不影响学习：大学恋爱可以说是一种必要的经历，学习是大学的基本和主要任务，这两者

11、之间有错综复杂的关系，有的学生因为爱情，过分的忽视了学习，把感情放在第一位；学习的时候就认真的去学，不要去想爱情中的事，谈恋爱的时候用心去谈，也可以交流下学习，互相鼓励，共同进步。2. 有足够的精力：大学生活，说忙也会很忙，但说轻松也是相对会轻松的！大学生恋爱必须合理安排自身的精力，忙于学习的同时不能因为感情的事情分心，不能在学习期间，放弃学习而去谈感情，把握合理的精力，分配好学习和感情。3、 有合理的时间；大学时间可以分为学习和生活时间，合理把握好学习时间和生活时间的“度”很重要；学习的时候，不能分配学习时间去安排两人的在一起的事情，应该以学习为第一；生活时间，两人可以相互谈谈恋爱，用心去谈

12、，也可以交流下学习，互相鼓励，共同进步。5、大学生对爱情需要认识与理解，主要涉及到以下几个方面：（1） 明确学生的主要任务“放弃时间的人，时间也会放弃他。”大学时代是吸纳知识、增长才干的时期。作为当代大学生，要认识到现在的任务是学习学习做人、学习知识、学习为人民服务的本领。在校大学生要集中精力，投入到学习和社会实践中，而不是因把过多的精力、时间用于谈情说爱浪费宝贵的青春年华。因此，明确自己的目标，规划自己的学习道路，合理分配好学习和恋爱的地位。（2） 树林正确的恋爱观提倡志同道合、有默契、相互喜欢的爱情：在恋人的选择上最重要的条件应该是志同道合，思想品德、事业理想和生活情趣等大体一致。摆正爱情

13、与学习、事业的关系：大学生应该把学习、事业放在首位，摆正爱情与学习、事业的关系，不能把宝贵的大学时间，锻炼自身的时间都用于谈情说有爱而放松了学习。 相互理解、相互信任，是一份责任和奉献。爱情是奉献而不时索取，是拥有而不是占有。身边的人与事时刻为我们敲响警钟，不再让悲剧重演。生命只有一次，不会重来，大学生一定要树立正确的爱情观。（3） 发展健康的恋爱行为 在当今大学校园，情侣成双入对已司空见惯。抑制大学生恋爱是不实际的，大学生一定要发展健康的恋爱行为。与恋人多谈谈学习与工作，把恋爱行为限制在社会规范内，不致越轨，要使爱情沿着健康的道路发展。正如马克思所说：“在我看来，真正的爱情是表现在恋人对他的

14、偶像采取含蓄、谦恭甚至羞涩的态度，而绝不是表现在随意流露热情和过早的亲昵。”（4） 爱情不是一件跟风的事儿。很多大学生的爱情实际上是跟风的结果，是看到别人有了爱情，看到别人幸福的样子（注意，只是看上去很美），产生了羊群心理，也就花了大把的时间和精力去寻找爱情（5） 距离才是保持爱情之花常开不败的法宝。爱情到底需要花多少时间，这是一个很大的问题。有的大学生爱情失败，不是因为男女双方在一起的时间太少，而是因为他们在一起的时间太多。相反，很多大学生恋爱成功，不是因为男女双方在一起的时间太少，而是因为他们准确地把握了在一起的时间的多少程度。（6） 爱情不是自我封闭的二人世界。很多人过分的活在两人世界，对身边的同学，身边好友渐渐的失去联系，失去了对话，生活中只有彼此两人；班级活动也不参加，社外活动也不参加，每天除了对方还是对方，这样不利于大学生健康发展，不仅