1990考研数一真题解析

1、1990年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、填空题(本题共5个小题，每小题3分,满分15分.)(x = -t+2过点M ( 1厂2且与直线y =3t -4垂直的平面方程是z=t -1 G-3 y-z+4=0.e2a设a为非零常数，则lim(3)x =x a1 lxl1,42221- e-4积分0 dxe dy的值等于-_已知向量组 1 =(1,2,3,4),2 =(2,3, 4,5)3 =(345,6),= (4,5,6,7)，则该向量的秩是2 二、选择题(本题共5个小题，每小题3分,满分15分.)c xe(1)设f(x)是连续函数 且F(x)= ( f(t)dt,则Fx)等于(A)(A

2、) -ef (e)- f (x)(B) -ef (ef(x)(C)ef(e)- f (x)(D) ef (e) f(x)已知函数f(x)具有任意阶导数，且f (x) =f(x)2,则当n为大于2的正整数时,f (x)的n阶导数f (n)(x)是(A)(A) n! f(x)n1 (B) nf(x)n d(C)f(x)2n(D) n!f(x)2n sin n设为常数,则级数n仝 n(A)绝对收敛(B)条件收敛(C)发散(D)收敛性与:的取值有关已知f (x)在x = 0的某个领域内连续，且f (0) = 0,lim匕L二2，则在点x = 0T 1 -COSx处f(x) (D)(A)不可导(B)可导

3、，且f (0) =0(C)取得极大值(D)取得极小值已知】、-2是非齐次线性方程组 Ax=b的两个不同的解，冷 :2是对应齐次线性方程组Ax = 0的基础解系，ki,k2为任意常数，则方程组Ax二b的通解(一般解)必是(B)- P2为 + P2(A) K4 k2( ：“ ： 2) 一 (B) kv- kzC：” 7-2) -2 2(C)“1 k2(r j) _l(D)k1：1 k2(】2)三、(本题满分15分,每小题5分.)1 ln(1 - x) (1)求一 dx.0 (2 -x)21ln(1+ x) - ? ：dx 几 。(1+ x)(2 - x)卄tj,l n (1+ x)11解:蝌話/d

4、x= oln (1+x)d亍 =ln 2- 1 j|+ 丄宅x=1ln23 桫一-x 1+ x3z 设z二f(2x-y,ysin x),其中f (u,v)具有连续的二阶偏导数，求- cxdy 抖zf? f解：斤=2+ ycosx .抖xu?v./、抖h2f?f丄、2 + (2si nx- ycosx)+ ysinxcosx + cos x .抖ju抖/v?v_2xe抖2 z _2求微分方程y：4yr4y =的通解(一般解).抖ry=-2解：特征方程为r2+ 4r+ 4= 0的跟为n, = - 2 .对应齐次方程的通解为Y = (G +C2x)e-2x，其G,C2中为任意常数.设原方程的特解为y

5、(x) = Ax2e2x,代入原方程得A= 1 .22因此，原方程的通解为y(x)= Y + y* = (C1+ C2X)e 2x+ 2x四、(本题满分6分.)qQ求幕级数x (2n 1)xn的收敛域,并求其和函数.n =0an+ 1an2n+ 32n+ 1=1,所以 R= 1 = 1.P解：因为P= limn显然幕级数？(2n+ 1)xn在x= ?1时发散，故此幕级数的收敛域为(-1,)又 S(x)=邋(2n+1)xn=2 nxn + 邋xn = 2x| x迄 宀2x11+ x=一 +=一,- 1 x 0.对于 f(c) ：f(a)情形，类似地c - a沪可证得此结果.七、(本题满分6分)设

6、四阶矩阵1-100 2134、01-100213B =001-1,C =0021且矩阵A满足关系式A(E - C0JB )T(C T，其中逍为四阶单位矩阵，C表示C的逆矩阵,CT表示C的转置矩阵.将上述关系式化简并求矩阵 A.1 AQC(E解：因 A(C4B)TCT-1因此 A|(C-B)T =八、(本题满分8分)234二A(C - B)t，故-211-22=0, A- ?E=由 A- ?E =-2 桫224-入-4-4 珑14-一 珑-与P1正交的另一特征向量冷；2 2将上述相互正交的特彳 珑1 故在正交变换珑2对于入=9, A- ?E=九、(本题满分8分珑In1123_21 - 123 一

7、2-219), A的特征值为入=?2= 0, =9.二-2002骣亠0，从而可取特征向量P =昜11及0桫士单位化,得二骣骣1=2 下,桫32323骣量2P3 =3；,% =* 1n- 2支3壬 I2 E1 :3 +质点P沿着以AB为直径的半圆周，从点A(1,2)运动到点B(3, 4)的过程中受变力F作用(见图).F的大小等于点P与原点O之间的距离，其方向垂直于线段OP且与y轴正向的夹角小于尹变力F对质点P所作的功.y*B(3,4)=-y i+Gj.圆弧AB的参数方程是拿=2+ cos9y = 3+ 72 sin 9nW= 蝌Ab解：由题意，变力变力F3 +2 sin 0)sin 9+2 (2

8、 + . 2 cos 9)cos 9d 9= 2( n-1).十、填填空题(本题满分6分,每小题2分.)1(1)已知随机变量X的概率密度函数f (x) =-e*|,A X ,则X的概率分布函数F(X)(2)设随机事件 ex,x 0,2-1e- x,x? 0,_、B及其和事件aUb的概率分别是0.4、0.3和0.6,若B表示B的对立事件，那么积事件AB的概率P(AB)=_0.3(3)已知离散型随机变量X服从参数为2的泊松(Poisson)分布，即k 2PX 二 kl 二,k =0,1,2川I,则随机变量Z=3X2的数学期望E(Z)=_4.1、(本题满分6分.)设二维随机变量(X,Y)在区域D : 0 ： x ： 1,| y |： x内服从均匀分布，求关于X的边缘概率密度函数及随机变量 Z =2X 1的方差D(Z).0 V x V 1解：(X, Y)的联合概率密度函数是f(x，y)=0其他因此