2005年大连理工大攻读硕士研究生入学考试高等代数试题及参考解答

1、20GG年大连理工大攻读硕士研究生入学考试高等代数试题及参考解答、填空题(每小题4分)1.设f (x)是有理数域上的不可约多项式，为f (x)在复数域内的一个根则的重数为12.n阶行列式3.设、21III13HIIllIII川11HI11inn 1二1、n!.zk二=E -1.3B均为n维列向量:出戶=2，贝nA1 E+gB可逆,A-j -3r4. 设向量组a 1,2,川,线性无关,.十馬=% +並+川+匕JHIIIIIIIIIIIIIIIIINIIIII则-1, -2dH, 1线性相关.3 7 +。2 + 川 +arJL1 二 1*2r5. 设A是n阶矩阵，秩A二r，非齐次线性方程组 Ax

2、- -有解，则Ax - -的解向 量组的秩为n -r 1.6. 设a、b均为实数，二次型f (X1,X2,M,Xn)=(ax1bx2)2(ax2bx?)2小(ax.bx.)2(ax.bxj2a、b满足条件an (-fo时，f为正定二次型.其中7. 设V是由矩阵A的全体实系数多项式组成的线性空间00，其中灼=则V的一组基是E, A, A2.0 02丿8. 设V是数域P上的一维线性空间，写出V上的所有线性变换：取定V的一个 非零向量，则V =L()的全部线性变换形如fa：xTa(x),其中a是P中任一 取定的数.9. 正交矩阵的实特征值为 “.10. 设G为群,H、N分别是G的子群,H、N的阶分别

3、是m、n ,且m、n互素，令H N，则元素的阶为1.二、(10分)设f(x),g(x)是数域P上的多项式,证明：在数域P上,若 f3(x)|g3(x),则 f(x)|g(x).参考解答：若f(x),g(x)中有一个是零多项式或零次多项式，则结论显然成立.下设：:f(x) 0,；:g(x) 0，且g(x) =ap1ri(x)p2r2(x)|)| psrs (x)是g(x)的标准分解式，其中P1(x), P2(x), |(, Ps(x)是互不相同的最高次项系数为 1 的不可约多项式，1,2,|)(忑都是正整数 任取f (x)的一个不可约因式q(x),由于333q(x)| f (x), f (x)

4、| f (x), f (x)|g (x)利用多项式整除的传递性，得q(x) | g3(x).由于q(x)是不可约多项式，故q(x) | g(x), 进一步可知，q(x)=cpi(x),对某个 1_i_s 及 c P .于是我们可以设f(X)计&)卩2&川 | Pstx),其中叩21(怎是非负整数.从f3(x)|g3(x)知,存在多项式h(x) Px,使得 g3(x) =f 3(x) |h(x)，即apixbJx) |l(ps3rs(x) =b3p13t1(x)p23t2(x)川 ps3ts(x)h(x).由此推出 3ri -g3fx)即 ri ti,i =1,2jl|,s .因此二bp(x)

5、pj (x) |l|psts (xpa p/1 4 (x) P2r22 (x川 I Psjx)b由多项式整除x$定义知卞閔&2怡阙川ps2(x)b三、(15分)设A为n级矩阵，且秩A二秩A2,证明:对任意自然数k,有秩Ak =秩A.参考解答：对k作数学归纳法.当k M,2时结论显然成立.假设k-1时结论成 立，即 ranA A =ranA Ak.令V 二X Pn | AX =0,i =1,2川1那么显然有 U 乂 V 11( 从 ranA A =ranA Ak 知k Adim y= n - ranA A = n - ranA A dim Vk于是V = Vk丄.kk 1任取Xk ,即A X。=

6、0 ,亦即A ( AXe)= 0,那么AXEV.于是A2Xo = 0 .进一步有 AkXAk-(A2XoHO,这表明 X Vkj ,从而 乂 .因 此,Vk =Vk“于是kranA A 二 n - dim Vi= n - dim Vk=n - dim Vk = ranA A .四、(15分)证明:一个实二次型可以分解成两个实系数的一次齐次多项式的乘积的充分必要条件是，它的秩等于2和符- 号差等于 0,或者秩等于1.参考解答：充分性.若f (Xi,X2,|l( ,Xn)的秩为1,则可经非退化线性替换使f (Xi,X2,|l|, Xn) =kyi，其中 yi =aiXi a?X2 |l( a.Xn

7、,故2 f(Xi,X2,Xn) =k(aiXi a?X2a.Xn).若f(Xi,X2,|l(,Xn)的秩为2,符号差为0,则可经非退化线性替换使2 2f(Xi,X2,|(,Xn) =yi y2 =(yi y2)(yi -丫2),其中yi, y2均为Xi,X2,|l(,Xn的一次多项式，即yaiXi a?X2 III anXny2 二 bXi b2X2 Hl bnXn故f(Xi,X2l|,Xn)可表为两个两个实系数一次齐次多项式的乘积.必要性.设实二次型f(Xi,X2l,Xn)可以分解成两个实系数一次齐次多项式的乘积f (Xi,X2，屮 Xn)=(aiXi a?X2 小 anXn)(biXi b

8、2X bnXn)若两个一次多项式的系数成ty例印谓阳2兔曲n)，不妨设aO,令 “2=乂2mu*2则 f (Xi,X2,|l|,Xn)二 kyi，即二次型n F(X*, X2l( ,Xn)的秩为 i.若两个一次多项式系数不成比例，不妨设引=电,令bib2则 f (Xi,X2,|(,Xn)二yi y2 .再令则f (捲必川|,Xn)UsefUhDocame nts anXny2 =bxi +b2X2 + 川 +bnXny3 =X3HUH 0=乙+乙2lyn =Xnyz3故二次型f(Xi,X2,|(,Xn)的秩为2,符号差为零.M = Zn五、(15分)设；n是数域P上的n维线性空间V的一组基,W

9、是V的非平凡子空间，r,|l(,r是W的一组基，证明：在；i,|(,；n中可以找到n-r个向量；il|，；inr，使：ljlh：-r，si 山；inr 为 的一组基.参考解答：因为W是V的非平凡子空间，故W=V.于是r ： n.对n-r作数学归纳法.首先,；1,；n不能都在W中.否则,W = ,出现矛盾.设5是；1, ；2,|1( , ；n中不属于W的一个向量，那么1,r, ；1线性无关.令Wi =L(：1,： 2川|,： r, ；i)则dim W, = r 1 .由归纳假设,在；仆辽1(, ；n中可以找到n -(r 1)个向量n_r_:1, ：2 川，：，S I?,川，；in 丄是V的一组基

10、.六、(10分)设3阶矩阵A满足A2 -3A 2E =0,写出A的若当(Jordan)标准 型的所有可能形式.参考解答：因为A2 -3A 2E =0,故f(x) =x2 -3x 2是A的一个零化多项式. 设m(x)是A的最小多项式，则m(x)|f(x).由于f (x) = (x- 1)(x 2没有重根,故 m(x)没有重根.因此A可以对角化.从A2-3A，2E=0知,A的特征根为1或2.于 是A的Jordan标准型的可能形式为1白 勺 2、1,1 , 2,2. 七、（10分）设V是一个n维欧氏空间/jlZn是V的一个标准正交基,A是 V的一个线性变换，A = （aj）n n是 A 关于这个基的

11、矩阵，证 明:aji =（A（：i）, ： j）,i,j =1,2, IH, n.（其中（,）表示内积）二為冷-a/2 川9nrn .参考解答：由所给条件知（A % ,Aai2）,Ac（n ）= 1 ,C（2,C（n）A.于是1丄戸、51，严2,，二n/Y v戸 *內圧丄枣能八必=內（1,二）PiCjfj） III VniC n,j）二引八,（25分）设A是数域P上的n维线性空间V的一个线性变换，f （x）是A的 aji最小多项式，在Px中，f（x）二f1（x）f2（x）, f1（x）、f2（x）均为首项系数为1的多项式,且f1（x）与f2（x）互素，令VP V | f1（A）C ）=0,V2

12、 =： V | f2（A）C ） = 0.证明：（1）（5分）V1和V2都是A的不变子空间；（2）（10 分）V 二V1 二 V2 ；（3）（10分）A h的最小多项式是f1（x） ,A |v2的最小多项式是f2（x）.参考解答：（1）注意f1（A）, f2（A）都是A的多项式，故A f1 （A）= f1（A）A,A f2（A）= f2（A）A.任取V,，则f1（A）（）=0.由于f1（A）（A（： ）=（ f1（A）A）（： ）=（A f1（A）（： ）=A（佃（：）=A（0）=0.故A（ ） y.由不变子空间的定义知 V是A的不变子空间.类似地可证,V2也是A 的不变子空间.（2）因为fx

13、）与f2（x）互素，存在u（x）,v（x） Px使得U（x）f1（x） V（x）f2（x） =1.将X二A代入上式，得u(A) fi(A)+v(A) f2(A)=；(:为恒等变换).(G)任取* eV，则:u (A) h (A)( j )+ v(A) f2 (A)( ： ).(GG)由于f (x)是A的最小多项式，故f (A)= fi (A) f2(A)= 0 .于是f2 (A)(u (A) f1(A)( ： )=( u (A) f (A) f2 (A)C )= u (A)( f (A)(： )= u(A)(0)=0 类似地,f (A)(v(A) f2 (A)( ： )=0.因此u (A) f

14、 (A)(： ) V2，v(A) f2 (A)(： ) V1.于是从(GG)知V y .注意VV2都是V的子空间，故vv2.设V1 - V2,则 f1(A)( )= 0, f2 (A)( - )= 0 .由(G)知一 c)= (u (A) 0)(1 )+( v(A) f2(A) )=0,故V1 V2 =0.因此 V 二M 二 V2 .(3)由于对任V，有f (A)( ： ) = 0,故f (A)作为V上的线性变换是零变换，即 f1 (A) V =0,亦即f1(x)是A V的零化多项式.设g1(x)是A|v的最小多项式，则 g1(x) | f1(x),从而有 p1(x)1(x).类似地，设g2(

15、x)是A |v2的最小多项式，则g2(x) | f2(X)，且p2(X)_ 一讦2(X).取g(x)二 g1(x)g2(x)，那么 g(x) | f (x)，故 9(x) -:f (x).任-V，由知v=y二V2,可设春二；V1 2,Vi.于是g(A)( )= g1 (A) g2 (A)( 1)+ g1(A)g2(A)( 2)= g2(A)gMA)( 1)+gA) g? (A)( 2)= 0 0 = 0这表明g(x)是A的零化多项式，故f (x) | g(x).从而有(x) - -：g(x).于是f (x)二 4(x)二-g(x)32(x).f (x) = -：fi(x) ；：f2(x) ,；：gi(x) _ _：fi(x), ；：g2(x) _ (x)知；g(x) _ fi(x).由于gi(x)是最高次项系数为1的多项式，且gi(x) | (x)知 gi(x) =fi(x).九、(10 分)设R是有1的交换环,P是R的素理想，Ii,l2,|l(,ln是R的极大理 想，如果P包含Ii,l2,|比In的交集，证明P必为极大理想.参考解答：已知P二I1T2山In.现在我们证明：存在