高中数学空间向量的直角坐标运算题库

1、22 222 2 2 2 23.1.4空间向量的直角坐标运算学习目标1. 了解空间向量坐标的定义 .2. 掌握空间向量运算的坐标表示 .3. 能够利用坐标运算来求空间向量的长度与夹角知识点一 空间向量的坐标表示1空间直角坐标系及空间向量的坐标建立空间直角坐标系 oxyz，分别沿 x 轴，y 轴，z 轴的正方向引单位向量 i，j，k，这三个互 相垂直的单位向量构成空间向量的一个基底i，j，k，这个基底叫做单位正交基底单位向 量 i，j，k 都叫做坐标向量2空间向量的坐标在空间直角坐标系中，已知任一向量 a，根据空间向量分解定理，存在唯一实数组(a ，a ，1 2a )，使 aa ia ja k，

2、a i，a j，a k 分别为向量 a 在 i，j，k 方向上的分向量，有序实数 3 1 2 3 1 2 3组(a ，a ，a )叫做向量 a 在此直角坐标系中的坐标上式可简记作 a(a ，a ，a ) 1 2 3 1 2 3知识点二 空间向量的坐标运算空间向量 a，b，其坐标形式为 a(a ，a ，a )，b(b ，b ，b ).1 2 3 1 2 3向量运算加法减法数乘数量积向量表示ababaa b坐标表示 (a b ，a b ，a b )1 1 2 2 3 3 (a b ，a b ，a b )1 1 2 2 3 3 (a ，a ，a )1 2 3a b a b a b1 1 2 2 3

3、3知识点三 空间向量的平行、垂直及模、夹角 设 a(a ，a ，a )，b(b ，b ，b )，则1 2 3 1 2 3名称向量表示形式满足条件坐标表示形式ababab(r) a b0a b ，a b ，a b (r) 1 1 2 2 3 3a b a b a b 01 1 2 2 3 3模|a| a a|a| aa a1 2 3夹角a bcosa，b|a|b |cosa，ba b a b a b1 1 2 2 3 3a a a b b b 1 2 3 1 2 31 1 1 1 1 1 1 22 1 1 21 2 1 1 1 1 1 222 1 1 221若 axe ye ze ，则 a 的坐

4、标是(x，y，z)( )1 2 32若向量ab(x，y，z)，则点 b 的坐标是(x，y，z)( )3若点 a 的坐标为(x，y，z)，则oa(x，y，z)( )x y z4设 a(x ，y ，z )，b(x ，y ，z )且 b0，则 ab .( )1 1 1 2 2 2 x y z2 2 2 5四边形 abcd 是平行四边形，则向量ab与dc的坐标相同( )题型一 空间向量的坐标表示与运算命题角度 1 空间向量的坐标表示例 1 如图，在棱长为 1 的正方体 abcdabcd中，e，f，g 分别为棱 dd，dc， bc 的中点，以ab，ad，aa为基底，求下列向量的坐标 (1)ae，ag，a

5、f； (2)ef，eg，dg.解(1)aeadde ad ddad aa 0，1， ，agabbg ab ad2 2 211， ，0 ，afaaaddfaaad ab ，1，1 .2(2)efafae aaad ab ad aa aa ab ，0， ，2 2egagae ab ad ad aa 1 1 1 12 2 1 1 2 1 121agabbgdc da1 1 2 1 1 1 1 2 2ab ad aa 1， ， ，2 2 1 dgagadab adad2ab ad 1， ，0 .2引申探究 本例中，若以da，dc，dd为基底，试写出ae，ag，ef的坐标 解 aeaddeda dd 1

6、，0， ，2 2 dadc ，1，0 ，2ef dd dc 0， ， .2 2反思感悟 用坐标表示空间向量的步骤跟踪训练 1 设正四棱锥 s-p p p p 的所有棱长均为 2，建立适当的空间直角坐标系，求sp ，1 2 3 4 1p p 的坐标2 3解如图所示，建立空间直角坐标系，其中 o 为底面正方形的中心，p p y 轴，p p x1 2 1 4轴，so 在 z 轴上|p p |2，而 p ，p ，p ，p 均在 xoy 平面上， 1 2 1 2 3 4p (1,1,0)，p (1,1,0)1 2在 xoy 平面内，p 与 p 关于原点 o 对称，p 与 p 关于原点 o 对称，p (1

7、，1,0)，p (1，3 1 4 2 3 41,0)又|sp |2，|op | 2，1 1在 sop 中，|so| 2，s(0,0， 2)1 sp op os(1,1， 2)，1 1 p p op op (0，2,0)2 3 3 2命题角度 2 空间向量的坐标运算例 2 已知 a(1，2,1)，ab(1,2，1)，则 b 等于( )a(2，4,2) c(2,0，2)b(2,4，2) d(2,1，3)答案 a解析 依题意，得 ba(1,2，1)a(1，2,1)2(1，2,1)(2，4,2)反思感悟 关于空间向量坐标运算的两类问题(1)直接计算问题首先将空间向量用坐标表示出来，然后准确运用空间向量

8、坐标运算公式计算(2)由条件求向量或点的坐标首先把向量坐标形式设出来，然后通过建立方程组，解方程求出其坐标跟踪训练 2 若向量 a(1,1，x)，b(1,2,1)，c(1,1,1)，且满足条件(ca)(2b)2，则 x _.答案 2解析 由题意，得 ca(0,0,1x)，2b(2,4,2)，故(ca)(2b)2(1x)2，解得 x2.题型二 空间向量平行、垂直的坐标表示 例 3 已知空间三点 a(2,0,2)，b(1,1,2)，c(3,0,4)，设 aab，bac.(1) 若|c |3，cbc，求 c；(2) 若 kab 与 ka2b 互相垂直，求 k.解 (1)因为bc(2，1,2)，且 c

9、bc，22222所以设 cbc(2，2)，得|c |(2)()(2)3|3，解得 1.即 c(2，1,2)或 c(2,1，2) (2)因为 aab(1,1,0)，bac(1,0,2)，所以 kab(k1，k,2)，ka2b(k2，k，4)又因为(kab)(ka2b)，所以(kab)(ka2b)0.即(k1，k,2)(k2，k，4)2k k100.5 5解得 k2 或 k ，故所求 k 的值为 2 或 .2 2引申探究若将本例(2)中改为“若 kab 与 ka2b 互相垂直”，求 k 的值解由题意知 kab(k1，k，2)，ka2b(k2，k,4)，(kab)(ka2b)，(kab)(ka2b)

10、0，5即(k1)(k2)k 80，解得 k2 或 k ，25故所求 k 的值为2 或 .2反思感悟 (1)平行与垂直的判断1 应用向量的方法判定两直线平行，只需判断两直线的方向向量是否共线2 判断两直线是否垂直，关键是判断两直线的方向向量是否垂直，即判断两向量的数量积是 否为 0.(2)平行与垂直的应用1 适当引入参数(比如向量 a，b 平行，可设 ab)，建立关于参数的方程2 选择坐标形式，以达到简化运算的目的跟踪训练 3 正方体 abcda b c d 中，e 是棱 d d 的中点，p，q 分别为线段 b d ，bd1 1 1 1 1 1 1 上的点，且 3b ppd ，若 pqae，bd

11、dq，求 的值1 123 3 4 44 4244 4 4 44考点 空间向量运算的坐标表示 题点 空间向量的坐标运算解如图所示，以 d 为坐标原点，da，dc，dd 所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴，建立空11间直角坐标系 dxyz，设正方体棱长为 1，则 a(1,0,0)，e 0，0， ，b(1,1,0)，b (1,1,1)，d (0,0,1)，1 1由题意，可设点 p 的坐标为(a，a,1)， 因为 3b ppd ，1 1所以 3(a1，a1,0)(a，a，0)，3所以 3a3a，解得 a ，4所以点 p 的坐标为 ， ，1 .由题意可设点 q 的坐标为(b，b,0)， 因为 pqa

12、e，所以pq ae0，3 3所以 b ，b ，1 11，0， 0，3 1即 b 0，21 1 1解得 b ，所以点 q 的坐标为 ， ，0 . 4因为bddq，所以(1，1,0)1 1， ，0 ，所以 1，故 4.题型三 空间向量的夹角与长度的计算例 4 棱长为 1 的正方体 abcd-a b c d 中，e，f，g 分别是 dd ，bd，bb 的中点1 1 1 1 1 1(1)求证：efcf； (2) 求ef与cg所成角的余弦值；(3) 求 ce 的长 2 2 22 1 1 1 1 1 1 1 2 222222 1 1 1 1 1 22 1 1 1 1 12 2 222 2|ef|cg|22

13、2解1建立如图所示的空间直角坐标系 dxyz，则 d(0,0,0)，e 0，0， ，c(0,1,0)，f1 1 1 ， ，0 ，g 1，1， .所以ef ， ， ，cf ， ，0 ，cg 1，0， ，ce 0，1， .(1)证明 因为ef cf 00，所以efcf，即 efcf.2 2 2(2)解 因为ef cg 1 0 ，2 2 2 4|ef|cg|1 1 1 3 2 2 2 ，2 2 2 21 51 0 ，1 ef cg 4 15 所以 cosef，cg . 3 5 15 2 2(3)解 |ce|ce|02(1)1 5 .2反思感悟 通过分析几何体的结构特征，建立适当的坐标系，使尽可能多的

14、点落在坐标轴上，以便写点的坐标时便捷建立坐标系后，写出相关点的坐标，然后再写出相应向量的坐标表 示，把向量坐标化，然后再利用向量的坐标运算求解夹角和距离问题跟踪训练 4 如图，在四棱锥 p-abcd 中，底面是边长为 2 的菱形，dab60，对角线 ac 与 bd 相交于点 o，po平面 abcd，pb 与平面 abcd 所成的角为 60.(1) 求四棱锥 pabcd 的体积；(2) 若 e 是 pb 的中点，求异面直线 de 与 pa 所成角的余弦值解(1)四边形 abcd 是边长为 2 的菱形，且dab60， 3 3 ( )|de|pa|1oaoc 3，bood1，s 22 32 3.菱形

15、 abcd 2在 pob 中，pbo60，poobtan 60 3.1 1v s po 2 3 32.p abcd 3 菱形 abcd 3(2)如图，以 o 为原点，ob，oc，op 所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系 oxyz，则 b(1,0,0)，c(0， 3，0)，d(1,0,0)，a(0， 3，0)，p(0,0， 3)1 3e ，0， ，2 2de ，0， ，pa 0， 3， 3 . 2 2 3 3de pa00 ( 3) ，2 2 |de| 3，|pa| 6.3 de pa 2 2 cosde，pa . 3 6 4异面直线所成的角为锐角或直角，异面直线 de 与

16、 pa 所成角的余弦值为24.空间向量在平行与垂直中的应用典例 如图，已知正方形 abcd 和矩形 acef 所在的平面互相垂直，ab 2，af1，m 是 线段 ef 的中点(2， 2，0 ， ，1 ，求证：(1)am平面 bde；(2)am平面 bdf.考点 空间向量运算的坐标表示 题点 空间向量在立体几何中的应用证明(1)平面 abcd平面 acef，平面 abcd平面 acefac，ecac，所以 ec平面 abcd，又 bcdc，如图，建立空间直角坐标系，设 acbdn，连接 ne， 2 2 则点 n，e 的坐标分别为 ， ，0 ，(0,0,1)2 2 2 2 ne ， ，1 .2 2

17、又点 a，m 的坐标分别是) 2 2 2 2 2 2 am ， ，1 .2 2 neam.又 ne 与 am 不共线，neam.又ne平面 bde，am平面 bde， am平面 bde. 2 2 (2)由(1)知am ， ，1 .2 2d( 2，0,0)，f( 2， 2，1)， df(0， 2，1)，am df0， amdf.4 2ab222 同理，ambf.又 dfbff，且 df平面 bdf，bf平面 bdf， am平面 bdf. 素养评析解决本题的关键是建立正确、恰当的空间直角坐标系，把几何问题转化为代数问题通过向量的运算，来实现平行与垂直的判定.1已知向量 a(3，2,1)，b(2,4

18、,0)，则 4a2b 等于( )a(16,0,4)c(8,16,4)b(8，16,4) d(8,0,4)答案 d解析 4a2b4(3，2,1)2(2,4,0)(12，8,4)(4,8,0)(8,0,4)2已知向量 a(0,2,1)，b(1,1，2)，则 a 与 b 的夹角为( ) a0 b. c. d答案 c22解析 cosa，b 0，|a|b| 5 6a，b0，a，b .3若 a(2，3,1)，b(2,0,3)，c(0,2,2)，则 a(bc)的值为( )a4 b15 c3 d7答案 c解析 bc(2,2,5)，a(bc)4653.4已知向量 a(1,1,0)，b(1,0,2)，且 kab

19、与 2ab 互相垂直，则 k 的值是( )1 3 7a1 b. c. d.5 5 5答案 d解析 依题意得(kab)(2ab)0，所以 2k|a | ka b2a b|b| 0，222222而|a|2， |b |75，a b1，所以 4kk250，解得 k .5 5已知 a(2，5,1)，b(2，2,4)，c(1，4,1)，则向量ab与ac的夹角为_答案3 解析 ab(0,3,3)，ac(1,1,0)， |ab|3 2，|ac| 2， ab ac0(1)31303， ab ac 1cosab，ac ， 2|ab|ac| 又ab，ac0， ab，ac .31 在空间直角坐标系中，已知点 a(x

20、，y ，z )，b(x ，y ，z )，则 ab(x x ，y y ，z1 1 1 2 2 2 2 1 2 1 2z )一个向量在空间直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去它 1的起点坐标2两点间的距离公式：若 a(x ，y ，z )，b(x ，y ，z )，1 1 1 2 2 2 则|ab|ab|ab (xx )(yy )(zz ). 2 1 2 1 2 13空间向量的数量积和夹角有关，经常以空间向量数量积为工具，解决立体几何中与夹角相关的问题，把空间两条直线所成角的问题转化为两条直线对应向量的夹角问题，但要注意空 间两条直线所成的角与对应向量的夹角的取值范围一、选择题1

21、在空间直角坐标系 oxyz 中，已知点 a 的坐标为(1,2,1)，点 b 的坐标为(1,3,4)，则( )a.ab(1,2,1) c.ab(2,1,3)b.ab(1,3,4)d.ab(2，1，3)21 22 2 22答案 c 解析 aboboa(2,1,3)2设 a(3,3,1)，b(1,0,5)，c(0,1,0)，则 ab 的中点 m 到 c 的距离|cm|的值为( )a.53 53 53 13b. c. d.4 2 2 2答案 c3解析 ab 的中点 m 2， ，3 ，又 c(0,1,0)，所以cm 2， ，3 ，故 m 到 c 的距离为 |cm|cm|1 53 2 3 .23已知 a(

22、1,5，2)，b(m,2，m2)，若 ab，则 m 的值为( )a0 b6 c6 d6答案 b解析 ab，1m522(m2)0，解得 m6.4已知 a(1,0,1)，b(2，1,1)，c(3,1,0)，则|ab2c|等于( )a3 10 b2 10 c. 10 d5答案 a解析 ab2c(9,3,0)，|ab2c|3 10 .5若abc 的三个顶点坐标分别为 a(1，2,1)，b(4,2,3)，c(6，1,4)， abc 的形状是 ( )a锐角三角形 c钝角三角形b直角三角形 d等边三角形答案 a 解析 ab(3,4,2)，ac(5,1,3)，bc(2，3,1) 由ab ac0，得 a 为锐角

23、； 由ca cb0，得 c 为锐角； 由ba bc0，得 b 为锐角所以abc 为锐角三角形6已知向量 a(2x,1,3)，b(1，2y,9)，若 a 与 b 为共线向量，则( )2y22 2222 22 2 2a b4ax1，y11 3 cx ，y6 21 1 bx ，y2 21 3 dx ，y6 2答案 c解析 a(2x,1,3)与 b(1，2y,9)共线，2x 1 3 (y0)，1 91 3x ，y .6 2 7设ab(cos sin ，0，sin )，bc(0，cos ，0)，则|ac|的最大值为( ) a3 b. 3 c2 3 d3 3答案 b 解析 acabbc(cos sin ，

24、cos ，sin )，|ac| (cos sin ) cos (sin )2sin 23，|ac|的最大值为 3.8已知向量 a(2，1,2)，b(2,2,1)，则以 a，b 为邻边的平行四边形的面积为( )a.652b. 65 c4 d8答案 b解析 |a|2 (1)2 3，|b |2 2 1 3，422cosa，b ，|a|b | 33 9sina，b659，s|a|b|sina，b 65.二、填空题9若 a(m1，n1,3)，b(2m，n，m2n)，c(m3，n3,9)三点共线，则 mn_. 答案 0 解析 因为ab(m1,1，m2n3)，ac(2，2,6)，1262321 由题意得ab

25、ac，m1 m2n3所以 ，2所以 m0，n0，所以 mn0. 10已知空间三点 a(1,1,1)，b(1,0,4)，c(2，2,3)，则ab与ca的夹角 的大小是_答案2 2 解析 ab(2，1,3)，ca(1,3，2)， ab ca7，|ab| 14，|ca| 14 ，cos 714 141 ，2又0， .11已知点 a(1,0,0)，b(0,1,0)，c(0,0,2)，则满足 dbac，dcab 的点 d 的坐标为_答案(1,1,2)解析 设点 d(x，y，z)， 则db(x,1y，z)，ac(1,0,2)， dc(x，y,2z)，ab(1,1,0)， 因为 dbac，dcab，所以db

26、ac，dcab，则x z ，11y0，x y ，12z0，x1， 解得y1，z2，所以 d(1,1,2)三、解答题12已知向量 a(x,4,1)，b(2，y，1)，c(3，2，z)，且 ab，bc. (1)求向量 a，b，c；(2)求向量 ac 与向量 bc 所成角的余弦值y219s s21 21 3 1 2 4 31 2 3b. ， ，4 4 8c. ， ，4 4 7 3 3 3考点 空间向量运算的坐标表示 题点 空间向量的坐标运算解x 4 1(1)因为 ab，所以 ，且 y0，2 1解得 x2，y4，此时 a(2,4,1)，b(2，4，1)又由 bc 得 b c0，故(2，4，1)(3，2，z)68z0，得 z2，此时 c(3，2,2)(2)由(1)得，ac(5,2,3)，bc(1，6,1)，因此向量 ac 与向量 bc 所成角 的余弦值为(ac)(bc) 5123cos .|ac|bc| 38 3813已知直线 l 的一个方向向量为 s (1,0,1)，直线 l 的