2020_2021学年高中数学第三章三角恒等变换3.2简单的三角恒等变换一课件新人教A版必修420210305115

1、3.2简单的三角恒等变换(一),必备知识自主学习,半角公式:,【思考】 (1)半角公式是由以前学习过的哪些公式推导来的?如何推导的? 提示:二倍角的余弦公式.推导如下:在二倍角公式cos 2=1-2sin2 =2cos2-1中,以代替2,以 代替, 即得:cos =1-2sin2 =2cos2 -1. 所以sin2 = ,cos2 = , tan2 = .开方可得半角公式.,(2)半角公式中的正负号能否去掉?该如何选择? 提示:不能.若没有给出决定符号的条件,则在根号前保留正负两个符号; 若给出的具体范围(即某一区间)时,则先求 所在范围, 然后根据 所在范围选用符号.,(3)半角公式对R都成

2、立吗? 提示:公式 对R都成立,但公式 要求(2k+1)(kZ).,【基础小测】 1.辨析记忆(对的打“”,错的打“”) (1) () (2)存在R,使得cos cos . () (3)对于任意R,sin sin 都不成立. () (4)若是第一象限角,则tan . (),提示:(1).只有当 (kZ), 即-+4k+4k(kZ)时, (2).当cos =- +1时,上式成立,但一般情况下不成立. (3).当=2k(kZ)时,上式成立,但一般情况下不成立. (4).若是第一象限角,则 是第一、三象限角,此时tan = 成立.,2.(教材二次开发:例题改编)已知cos = , , 则sin 等于

3、() 【解析】选A.由题知,3.已知24,且sin =- ,cos 0,则tan 的值等于_. 【解析】由sin =- ,cos 0得cos =- , 所以 答案:-3,关键能力合作学习,类型一利用半角公式求值(数学运算、直观想象) 角度1给角求值 【典例】求值:(1)sin =_.(2)tan =_. 【思路导引】利用半角公式求解.,【解析】(1) (2)tan 答案:(1) (2) -1,【变式探究】 设a= cos 6- sin 6,b= ,c= 则有() A.abcB.abc C.acb D.bca 【解析】选C.a=sin 30cos 6-cos 30sin 6=sin 24, b=

4、sin 26,c=sin 25,所以acb.,角度2给值求值 【典例】已知sin =- , ,求 的值. 【思路导引】利用半角公式求解. 【解析】因为 ,sin =- , 所以cos =- ,且 ,所以,【解题策略】 利用半角公式求值的思路 (1)看角:若已知三角函数式中的角是待求三角函数式中角的两倍,则求解时常常借助半角公式求解. (2)明范围:由于半角公式求值常涉及符号问题,因此求解时务必依据角的范围,求出相应半角的范围.,(3)选公式:涉及半角公式的正切值时,常用tan = ,其优点 是计算时可避免因开方带来的求角的范围问题;涉及半角公式的正、余弦值时, 常先利用sin2 ,cos2 计

5、算. (4)下结论:结合(2)求值.,【题组训练】 1.求值: =() A.1B.2C. D. 【解析】选C.原式=,2.(2020聊城高一检测) 若 ,则 等于() A.cos -sin B.cos +sin C.-cos +sin D.-cos -sin 【解析】选D.因为 ,所以sin 0, cos 0,则 =|cos |-|sin |=-cos -sin .,3.设2,cos =a,求: (1)sin 的值;(2)cos 的值;(3)sin2 的值. 【解析】(1)因为2,所以 .又因为cos =a, 所以sin = 所以sin =2sin cos =2a (2)cos =2cos2

6、-1=2a2-1. (3)sin2,类型二三角函数式的化简(直观想象、数学运算) 【典例】1.设56,cos =a,则sin 等于() 2.化简: =_. 3.已知 ,化简:,【思路导引】注意分析角之间的关系,利用半角、倍角及两角差的正弦公式化简求值.,【解析】1.选D.因为56,所以 所以 2.原式= 答案:2 cos ,3.原式= 因为0, 所以原式=,【解题策略】 化简问题中的“三变” (1)变角:三角变换时通常先寻找式子中各角之间的联系,通过拆、凑等手段消除角之间的差异,合理选择联系它们的公式. (2)变名:观察三角函数种类的差异,尽量统一函数的名称,如统一为弦或统一为切. (3)变式

7、:观察式子的结构形式的差异,选择适当的变形途径,如升幂、降幂、配方、开方等.,【跟踪训练】 1.化简: =_. 【解析】原式= 答案: cos 2x,2.(2020本溪高一检测)化简:,【解析】原式= 又因为180360,所以90 180,所以cos 0, 所以原式= =cos .,类型三三角恒等式的证明(数学建模、逻辑推理) 【典例】证明 【思路导引】方法一:从右边入手,切化弦,推导出左边. 方法二:从左边入手,分子分母运用二倍角公式的变形,降倍升幂,弦化切,得到右边.,【证明】方法一:右边= 由左右两边的角之间的关系,想到分子分母同乘以cos +sin , 得 =左边.所以原等式成立.,方

8、法二: 左边= 由两边三角函数的种类差异,想到弦化切,即分子分母同除以cos , 得 =右边.所以原等式成立.,【解题策略】 关于证明三角恒等式的原则 (1)由繁到简:一般由式子较复杂的一边向较简单的一边化简证明. (2)两边夹:对于式子两边都比较复杂的式子,则采取两边同时化简,找到一个共同的“第三者”从而证明等式成立. (3)变角:观察角的关系是由“单”到“倍”,还是由“倍”到“单”,或是需消去一个角,从而采取不同的变换. (4)变名:观察函数名称的关系,采用弦切互化,降幂等方法,实现三角函数名称的变换.,【跟踪训练】 求证: 【证明】左边= 所以原等式成立.,【延伸拓展】 积化和差公式 s

9、in cos = cos sin = sin(+)-sin(-); cos cos = cos(+)+cos(-); sin sin =- cos(+)-cos(-).,和差化积公式 sin +sin =2sin cos , sin -sin =2cos sin , cos +cos =2cos cos , cos -cos =-2sin sin .,已知sin(+)= ,sin(-)= ,则sin cos =_. 【解析】sin cos = sin(+)+ sin(-)= 答案:,1.(教材二次开发:例题改编)已知180360,则cos 等于() 【解析】选C.因为180360,所以90 1

10、80,cos 0, 又cos2 = ,所以cos =,课堂检测素养达标,2.已知(,2),则 等于() A.sin B.cos C.-sin D.-cos 【解析】选D.因为(,2), 所以 所以,3.化简: =_. 【解析】原式= 因为 0, 故原式=sin . 答案:sin,4.在ABC中,4sin A+3cos B=5,4cos A+3sin B=2 ,求角C.,【解析】由4sin A+3cos B=5,可得16sin2A+9cos2B+ 24sin Acos B=25., 由4cos A+3sin B=2 , 可得16cos2A+9sin2B+24sin Bcos A=12., 用+可得25+24(sin Acos B+sin Bcos A)=37,因为sin Aco