知识梳理四种命题、充要条件高三理科

1、数学高考总复习：四种命题、充要条件【考纲要求】1、理解命题的概念.2、了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系。3、理解必要条件、充分条件与充要条件的意义.【知识网络】四种命题互为逆否关系的命题等价四种命题、充要条件及其关系充要条件充分、必要、充要、既不充分也不必要【考点梳理】一、命题：可以判断真假的语句。二、四种命题原命题：若p则q；原命题的逆命题：若q则p；原命题的否命题：若p，则q；原命题的逆否命题：若q，则p三、四种命题的相互关系及其等价性1、四种命题的相互关系原命题互逆逆命题若p则q互互为逆否若q则p互否互为逆否否否命题若p则q逆否命题互逆若

2、q则p2、互为逆否关系的命题同真同假，即原命题与逆否命题的真假性相同，原命题的逆命题和否命题的真假性相同。所以，如果某些命题（特别是含有否定概念的命题）的真假性难以判断，一般可以判断它的逆否命题的真假性。四、充分条件、必要条件和充要条件1、判断充要条件，首先必须分清谁是条件，谁是结论，然后利用定义法、转换法和集合法来判断。如：命题p是命题q成立的条件，则命题p是条件，命题q是结论。又如：命题p成立的条件是命题q，则命题q是条件，命题p是结论。又如：记条件p,q对应的集合分别为a,b则ab,则p是q的充分不必要条件；ab,则p是q的必要不充分条件。2、“”读作“推出”、“等价于”。pq，即p成立

3、，则q一定成立。3、充要条件(2)xq，x2x1是有理数；(2)的否定是“xq，x2x1不是有理数”.假命题.已知命题p是条件，命题q是结论（1）充分条件：若pq，则p是q充分条件.所谓“充分”，意思是说，只要这个条件就够了，就很充分了，不要其它条件了。如：x3是x0；1132(3)、r，使sin()sinsin；(4)x，yz，使3x2y10.【解析】(1)的否定是“xr，x2x10”.假命题.1132(3)的否定是“，r，使sin()sinsin”.假命题.(4)的否定是“x，yz，使3x2y10”.假命题.类型二：充要条件的判断2.(2015湖北高考)设a1，a2，anr，n3.若p：a

4、1，a2，an成等比数列；q:(a2+a2+12+a2)(a2+a2+n-123+a2)=(aa+aa+n1223+aa)2，则（）n-1n试题分析：对命题p：a1，a2，an成等比数列，则公比q=aap是q的充分条件，但不是q的必要条件bp是q的必要条件，但不是q的充分条件cp是q的充分必要条件dp既不是q的充分条件，也不是q的必要条件【答案】a解析：ann-1(n3)且an0；2对命题q，当an=0时，(a1+a2+a2)(a2+a2+n-123+a2)=(aa+aa+n1223+aa)2成立；n-1n2当an0时，根据柯西不等式，等式(a1+a2+a2)(a2+a2+n-123+a2)=

5、(aa+aa+n1223+aa)2成n-1n立，2=n-1，所以a，a，a成等比数列，所以p是q的充分条件，但不是q的必要条a则a1=a2aa3na12n件.故选a点评：1.处理充分、必要条件问题时，首先要分清条件与结论；2.正确使用判定充要条件的三种方法，要重视等价关系转换.举一反三：【变式】（2015天津高考）设xr，则“x-20”的（a）充分而不必要条件（b）必要而不充分条件（c）充要条件（d）既不充分也不必要条件【答案】a解析：|x-2|0的解集为(-,-2)|(1,+，故|x-20的充分不必要条件。故选：a.例3.(2016丰台二模)已知直线m,n和平面a，若na，则“ma”是“nm

6、”的（a）充分而不必要条件（b）必要而不充分条件（c）充分必要条件（d）既不充分也不必要条件【答案】a【解析】若，则垂直于内所有直线，所以若，则；反过来，若n垂直于内的一条直线，n不一定垂直于，故不成立。所以“”是“”的充分而不必要条件。由已知，得f(x)3x22mxm0的判别式4m212(m)4m212m160，故答案为：a【变式】(2016石景山文一模)设数列a是首项大于零的等比数列，则“aa”是“数列a是递增n12n数列”的()a充分而不必要条件b必要而不充分条件c充分必要条件d既不充分也不必要条件【答案】c【解析】因为数列是首项大于零的等比数列是大前提，数列是递增数列所以，充分必要条件

7、故答案为：c类型三：求参数的取值范围例4.已知mr，设p：x1和x2是方程x2ax20的两个根，不等式|m5|x14x2|对任意实数a1,2恒成立；q：函数f(x)3x22mxm3有两个不同的零点.求使“p且q”为真命题的实数m的取值范围.解析：由题设x1x2a，x1x22，|x1x2|(x1x2)24x1x2a28.当a1,2时，a28的最小值为3.要使|m5|x1x2|对任意实数a1,2恒成立，只须|m5|3，即2m8.4343得m4.综上，要使“pq”为真命题，只需p真q真，即m42m8,解得实数m的取值范围是(4,8.点评：从认知已知条件切入，将四种命题或充要条件问题向集合问题转化，是解决这类问题的基本策略。举一反三：【变式】设命题p:4x-31；命题q:x2-(2a+1)x+a(a+1)0，若p是q的必要而不充分条件，求实数a的取值范围.【答案】由题意知：命题：若p是q的必要而不充分条件的等价命题即逆否命题为：p是q的充分不必