知识梳理基本不等式(基础)

1、【考纲要求】1.了解基本不等式aba+b2基本不等式的证明过程，理解基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等；2.会用基本不等式aba+b2解决最大（小）值问题.3.会应用基本不等式求某些函数的最值；能够解决一些简单的实际问题【知识网络】重要不等式a2+b22ab基本不等式基本不等式a+bab2最大（小）值问题基本不等式的应用【考点梳理】考点一：重要不等式及几何意义1重要不等式：如果a,br，那么a2+b22ab（当且仅当a=b时取等号“=”）.2基本不等式：如果a,b是正数，那么a+b2ab（当且仅当a=b时取等号“=”）.要点诠释：a2+b22ab

2、和a+b2ab两者的异同：（1）成立的条件是不同的：前者只要求a,b都是实数，而后者要求a,b都是正数；（2）取等号“=”的条件在形式上是相同的，都是“当且仅当a=b时取等号”。a2+b2a+ba+b+b（3）a222ab可以变形为：ab，ab可以变形为：ab()2.2223.如图，ab是圆的直径，点c是ab上的一点，ac=a,bc=b，过点c作dcab交圆于点d，连接ad、bd.第1页共8页易证rtdacdrtddcb，那么cd2=cacb，即cd=ab.这个圆的半径为时，等号成立.a+ba+b，它大于或等于cd，即22ab，其中当且仅当点c与圆心重合，即a=b要点诠释：1.在数学中，我们称

3、a+b2为a,b的算术平均数，称ab为a,b的几何平均数.因此基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.2.如果把a+b看作是正数a,b的等差中项，ab看作是正数a,b的等比中项，那么基本不等式可以2叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.考点二：基本不等式aba+b2的证明1.几何面积法如图，在正方形abcd中有四个全等的直角三角形。设直角三角形的两条直角边长为a、b，那么正方形的边长为a2+b2。这样，4个直角三角形的面积的和是2ab，正方形abcd的面积为a2+b2。由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，所以：a2+b22ab。当直角三角形变为等腰直角三

4、角形，即a=b时，正方形efgh缩为一个点，这时有a2+b2=2ab。得到结论：如果a,br+，那么a2+b22ab（当且仅当a=b时取等号“=”）特别的，如果a0，b0,我们用a、b分别代替a、b，可得：如果a0，b0,则a+b2ab，（当且仅当a=b时取等号“=”）.通常我们把上式写作：如果a0，b0,ab2.代数法a2+b2-2ab=(a-b)20，当ab时，(a-b)20；第2页共8页a+b2，（当且仅当a=b时取等号“=”）当a=b时，(a-b)2=0.所以(a2+b2)2ab，（当且仅当a=b时取等号“=”）.特别的，如果a0，b0,我们用a、b分别代替a、b，可得：如果a0，b0

5、,则a+b2ab，（当且仅当a=b时取等号“=”）.通常我们把上式写作：如果a0，b0,aba+b2，（当且仅当a=b时取等号“=”）.a+b要点三、用基本不等式ab求最大（小）值2在用基本不等式求函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等。一正：函数的解析式中，各项均为正数；二定：函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值；三取等：函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值。要点四、几个常见的不等式1）a2+b22ab(a,br)，当且仅当a=b时取“=”号。2）a+b2aba(,br+)，当且仅当a=b时取“=”号。3）ab+2ba(ab0)；特别地：a+12(a0)；a4）

6、a2+b2a+b2abab22a+b(a,br+)5）(a+b)11()+4a,br+；ab【典型例题】类型一：基本不等式aba+b2的理解（1）a0，b0，a+b+1例1.a0，b0，给出下列推导，其中正确的有（填序号）.（1）a+b+1的最小值为22；ab11（2）(a+b)(+)的最小值为4；ab（3）a+1的最小值为-2.a+4【解析】（1）；（2）122ab+22（当且仅当a=b=时取等号）.abab2第3页共8页（2）a0，b0，(a+b)(+)2ab1ab12ab=4（当且仅当a=b时取等号）.（3）a0，a+111=a+4+-42(a+4)-4=-2，a+4a+4a+4（当且仅

7、当a+4=1a+4即a+4=1，a=-3时取等号）a0，与a=-3矛盾，上式不能取等号，即a+1a+4-2a,br+，aar，a0，4x,yr，xy0，x.【总结升华】在用基本不等式求函数的最值时，必须同时具备三个条件：一正二定三取等，缺一不可举一反三：【变式1】给出下面四个推导过程：bab+2=2；babax,yr+，lgx+lgy2lgxlgy；4+a2a=4；aayxyxy+=-(-)+(-)-2(-)(-)=-2.yxyxyx其中正确的推导为（）a.b.c.d.【解析】a,br+，ba,r+，符合基本不等式的条件，故推导正确.ab由ar,不符合基本不等式的条件，4由xy0)最大值为2-

8、43d.函数y=2-3x-(x0)的最小值为2xx【解析】a选项中，x0，当x0,时由基本不等式x+第4页共8页1x2；当x0，y=2-3x-44=2-(3x+)2-43，故选项c正确。xx类型二：利用基本不等式aba+b2求最值【高清课堂：基本不等式394847基础练习二】例2设ab0，则a2+11+的最小值是aba(a-b)a1【解析】b2c3d4a2+1111+=a2-ab+ab+aba(a-b)aba(a-b)当且仅当即a=2,b=时取等号.ab=111=a(a-b)+(ab+)a(a-b)ab41a(a-b)=a(a-b)22ab【答案】d举一反三：【变式1】若x0,求f(x)=4x

9、+9x的最大值.【解析】因为x0,由基本不等式得:999-f(x)=-(4x+)=(-4x)+(-)2(-4x)(-)=236=12,xxx93（当且仅当-4x=-即x=-时,取等号）x239故当x=-时,f(x)=4x+取得最大值-12.2x16【变式2】已知x0，求f(x)=20+4x+的最大值.x第5页共8页【解析】x0，(-x)+442(-x)=22=4（当且仅当-x=-x-x4-x，即x=-2时，等号成立）f(x)=20-4(-x)+4420-44=4（当且仅当-x=，即x=-2时，等号成立）-x-x故当x=-2时，f(x)的最大值为4.a7例3.已知a0，b0，ab2，则y2b4【

10、解析】a0,b0，14+的最小值是ab9cd52答案选c举一反三：141141b4a1b4a9+=(+)(a+b)=(5+)(5+2)=ab2ab2ab2ab2【变式1】若x0,y0,且28+=1,求xy的最小值.xy1=2【解析】x0,y0，8288+2=xyxyxy（当且仅当281=即x=4，y=16时，等号成立）xy2【变式2】已知x0，y0，且1xy64（当且仅当x=4，y=16时，等号成立）故当x=4，y=16时，xy的最小值为64.9+=1，求x+y的最小值。xy+=1，x+y=(x+y)+=10+xy【解析】1919y9xxyxyx0，y0，y（当且仅当y9xy9x+2=6xyx

11、y9x=，即y=3x时，取等号）xy第6页共8页又1【证明】x+y+9+=1，x=4，y=12xy当x=4，y=12时，x+y取最小值16。类型三：基本不等式应用1125例4.设x,yr+,x+y=1,求证：(x+)(y+)xy41125xy4x2y2+x2+y2-254xy+10x2y2+(1-2xy)-xy+10254x2y2-334xy+20(xy-8)xy-014xy=x+y2214(xy-8)xy-014成立举一反三：【变式1】已知a3，求证:4a-3+a7【解析】444+a=+(a-3)+32(a-3)+3=24+3=7a-3a-3a-3（当且仅当4a-3=a-3即a=5,等号成立

12、）.例5.已知0a1，0b1，0c1,(1-b)c1,(1-c)a1444(1-a)b+(1-b)c+(1-c)a32则有1-a+b1-b+c1-c+a又(1-a)b+(1-b)c+(1-c)a3+=与矛盾2222第7页共8页举一反三：【变式1】已知x、y都是正数，求证：(x+y)(x2+y2)(x3+y3)8x3y3.【解析】x、y都是正数，x0，y0，x20，y20，x30，y30x+y2xy0（当且仅当x=y时，取等号）x2+y22x2y20（当且仅当x=y时，取等号）x3+y32x3y30（当且仅当x=y时，取等号）(x+y)(x2+y2)(x3+y3)2xy2x2y22x3y3=8x

13、3y3（当且仅当x=y时，取等号）即(x+y)(x2+y2)(x3+y3)8x3y3.类型四：基本不等式在实际问题中的应用例6.某农场有废弃的猪圈，留有一面旧墙长12m,现准备在该地区重新建立一座猪圈，平面图为矩形，面积为112m2，预计（1）修复1m旧墙的费用是建造1m新墙费用的25%，（2）拆去1m旧墙用以改造建成1m新墙的费用是建1m新墙的50%，（3）为安装圈门，要在围墙的适当处留出1m的空缺。试问：这里建造猪圈的围墙应怎样利用旧墙，才能使所需的总费用最小？【解析】显然，使旧墙全部得到利用，并把圈门留在新墙处为好。设修复成新墙的旧墙为xm,则拆改成新墙的旧墙为(12-x)m，于是还需要建造新墙的长为2112224+(x-1)-(12-x)=2x+-13.xx设建造1m新墙需用a元，建造围墙的总造价为y元，则y=xa25%+(12-x)a50%+(2x+224-13)ax=a(7x224+-7)a(282-7)4x7x224=（当且仅当即x=82时，等号成立）4x故拆除改造旧墙约为12-82米时，总造价最小.