用几何画板动态展示圆滚动周数的问题

1、用几何画板动态展示圆滚动周数的问题【摘要】在数学中考题和教科书中我们常常会遇到与圆滚动周数有关的问题，由于滚动是一种复合运动，包括滚动圆本身的自转及其沿着另一个几何图形的平移或旋转，故此类问题灵活性强，易被表面现象所迷惑，解题时易出现错误几何画板是动态教学软件，它能动态展现几何图形各个元素的内在联系，特别是一些动态的生成过程（如轨迹问题）本文针对动圆与定圆外切、内切的两种情况，先给出了一个简洁明快的分析过程，再介绍利用几何画板动态展示圆滚动的周数的问题【关键词】几何画板；圆滚动的周数；外切；内切我们常常会遇到一类与圆的滚动有关的问题，由于此类问题灵活性较强，且易被表面现象所迷惑，解题时极易出现

2、错误，有些同学感到难以理解，教师不知道如何解释。本文针对动圆与定圆外切、内切的两种情况，首先给出了一个简洁明快的分析过程，再介绍利用几何画板动态展示圆滚动的周数的问题。我们先引入概念：（1）动圆自转一周；（2）滚动。动圆自转一周，是指圆心移动的同时，圆的任一半径绕圆心旋转了，半径终止时的状态与起始时的状态成同向平行（从圆心出发指着同一方向）。滚动，是指一个物体（多为球形或圆柱形）在另一个物体上接触面不断改变的移动。滚动其实是一种复合运动，包括两种运动：一是滚动圆本身的自转；另外还有滚动圆沿着另一个几何图形的平移或旋转。由于在滚动过程中滚动圆除圆心外，其余各点相对于另一个几何图形的运动轨迹是变化

3、的，很难把握其规律，而圆心相对于另一个几何图形的运动轨迹很容易确定，故解决圆的滚动问题，只要知道圆心轨迹的长度和滚圆的半径, 就可以按公式/求出滚圆自身滚动的圈数。1. 动圆与定圆外切的情况设半径为r的动圆d与半径为r的定圆a外切且作无滑动的滚动,当动圆绕定圆滚了一圈回到原处时,求动圆自转的周数。图1分析 如右图1：当动圆自转1周，动圆从初始位置点d滚动圆，半径pd旋到，且，记，显然= 由于+ ，得 + 即得= 这表明动圆自转1周时，它的圆心描出的弧长恰好是动圆的周长，由此推出动圆自转的周数。当动圆绕定圆滚了一圈回到原处时，动圆圆心的运动轨迹是以定圆的圆心为圆心,两圆半径之和为半径的圆，其路程

4、是，此时自转的周期。操作步骤（以定圆的半径r是动圆的半径 r的3倍为例）（1）新建画板，用【圆】工具在上绘制一个定圆a，作圆上一点c，依次选择点a、c，作射线ac，连接线段ac，并用【度量】|【长度】量出ac的长。（2）【数据】|【新建参数】设置参数，【数据】|【计算】出ac/t的值。（3）用【构造】|【以圆心和半径绘圆】作以点c为圆心、线段ac/t为半径的圆c，圆c与射线ac的外侧交点d；选中圆c，【显示】|【隐藏圆】将圆c隐藏，以同样的方法作以点d为圆心、线段ac/t为半径的动圆d。（4）在圆a上任取一点e,依次选择点a、e，作水平线上的射线ae，确定动圆d的初始位置；拖动点c时，将圆d标

5、签改为圆d1；选中点d1及射线ae，【构造】|【平行线】，所得平行线与圆d1左交点为f，连接线段d1f。 （5）依次选择点c、e和定圆a，用【构造】|【圆上的弧】作圆弧ce，【度量】|【弧长】量出ce的弧长；用【数据】|【计算】计算（ce的弧长/(ac/t)的长）1弧度，并将计算结果标记角度；以点d1为中心，标记角度为旋转角，将点c旋转到点e1，作弧ce1。（6）选依次选择点f、 e1和圆d1，用【构造】|【圆上的弧】作圆弧fe1；选中点c、d，【构造】|【轨迹】得圆d的圆心轨迹。（7）选择点c，【编辑】|【操作类按钮】|【动画】制作出动圆d运动的按钮，点击此按钮就可以欣赏到动圆是如何旋转4圈

6、的了。（8）度量弧ce、cf和dd1的弧长，并计算度量弧ce与弧cf之和，制成对应观察表；隐藏不需要的对象，美化界面如图2所示。图22.动圆与定圆内切的情况设半径为r的动圆与半径为r(rr)的定圆内切且作无滑动的滚动，当动圆滚动了一周回到原处时，求动圆自转的周数。图3分析 如右图3：当动圆自转1周，动圆从初始位置点d滚动圆，半径de旋到，且，记由- ，得即得= 这表明动圆自转1周时，它的圆心描出的弧长恰好是 动圆的周长，由此知动圆自转的周数。当动圆绕定圆滚了一圈回到原处时，动圆圆心的运动轨迹是以定圆的圆心为圆心,两圆半径之差为半径的圆，其路程是，此时自转的周期。操作步骤（以定圆的半径r是动圆的

7、半径 r的3倍为例）（1）新建画板，用【圆】工具在上绘制一个定圆a，作圆上一点c，依次选择点a、c，作射线ac，连接线段ac，并用【度量】|【长度】量出ac的长。（2）【数据】|【新建参数】设置参数，【数据】|【计算】出ac/t的值。（3）用【构造】|【以圆心和半径绘圆】作以点c为圆心、线段ac/t为半径的圆c，圆c与射线ac的内侧交点d；选中圆c，【显示】|【隐藏圆】将圆c隐藏，以同样的方法作以点d为圆心、线段ac/t为半径的动圆d。（4）在圆a上任取一点e,依次选择点a、e，作水平线上的射线ae，确定动圆d的初始位置；拖动点c时，将圆d标签改为圆d1；选中点d1及射线ae，【构造】|【平行

8、线】，所得平行线与圆d1右交点为f，连接线段d1f。 （5）依次选择点c、e和定圆a，用【构造】|【圆上的弧】作圆弧ce，【度量】|【弧长】量出ce的弧长；用【数据】|【计算】计算（ce的弧长/(ac/t)的长）1弧度，并将计算结果标记角度；以点d1为中心，标记角度为旋转角，将点c旋转到点e1，作弧ce1。（6）选依次选择点f、 e1和圆d1，用【构造】|【圆上的弧】作圆弧fe1；选中点c、d，【构造】|【轨迹】得圆d的圆心轨迹。（7）选择点c，【编辑】|【操作类按钮】|【动画】制作出动圆d运动的按钮，点击此按钮就可以欣赏到动圆是如何旋转2圈的了。（8）度量弧ce、cf和dd1的弧长，并计算度

9、量弧ce与弧cf之和，制成对应观察表；隐藏不需要的对象，美化界面如图4所示。图4结论综上所述可得结论，圆滚动时，圆心移动的路程恰好等于圆上某个确定的点绕圆心转过的弧长，因此动圆自转的周数。当动圆与定圆外切时，动圆绕定圆滚了一圈回到原处时，动圆圆心的运动轨迹是以定圆的圆心为圆心,两圆半径之和为半径的圆，其路程是，此时自转的周期。当动圆与定圆内切时，动圆绕定圆滚了一圈回到原处时，动圆圆心的运动轨迹是以定圆的圆心为圆心,两圆半径之差为半径的圆，其路程是，此时自转的周期。说明 （1）解决圆的滚动问题关键之处是，知道圆心轨迹的长度s和滚圆的半径r, 就能按公式求出圆滚动的圈数。（2）圆的滚动问题还可以继续延伸，比如圆沿多边形四周滚动、多边形在直线上滚动等等，这些都可以借助几何画板来解决。【参考文献】1 胡卫华.基于的数学探究式教学模式