课时作业(14-3)导数与不等式

1、课时作业 (十四 )第 14 讲第 3 课时导数与不等式基础热身1. ( 12 分 ) 2017 海口模拟 已知函数 f (x)=2lnx- 3x2- 11x.(1)求曲线 y=f (x)在点 (1,f (1)处的切线方程;(2)若关于 x 的不等式f (x) (a- 3)x2+(2a- 13)x- 2 恒成立 ,求整数 a 的最小值 .2. ( 12 分 ) 2017 西安长安一中质检设函数 f ( x)=ax2-x lnx- (2a- 1)x+a-1(a R).(1)当 a=0 时 ,求曲线 y=f (x)在点 P(e,f (e) 处的切线方程 ;(2)若对任意的 x 1,+ ),函数 f

2、 ( x)0 恒成立 ,求实数 a 的取值范围 .能力提升3. ( 12 分 ) 2017 唐山二模 已知函数 f (x)=lnx+ - 1 的图像与 x 轴相切 .-(1)求证 :f (x);(2)若 1x- .4. ( 12 分 ) 2017 济南平阴一中月考已知函数f (x)=ln (x- 1)-k (x- 1)+1.(1)求函数 f (x)的单调区间 ;(2)若 f (x) 0恒成立 ,试确定实数 k 的取值范围 ;(3)证明: +-*.+1)5. ( 12 分 ) 2017 南充一模 设函数 f (x)=a(x+1) 2ln (x+1) +bx( x- 1),曲线 y=f ( x)过

3、点2(e- 1,e - e+1),且在点 (0,0)处的切线方程为y=0.(1)求 a,b 的值 ;(2)证明 :当 x 0 时 ,f (x) x2;2(3)若当 x 0 时 ,f (x) mx 恒成立 ,求实数 m的取值范围 .难点突破6. ( 12 分 ) 2017 哈尔滨师范大学附属中学三模 已知 f (x)=e2x+ln (x+a).(1)当 a=1 时 ,求曲线 y=f (x)在点 (0,f (0)处的切线方程 ;当 x 0 时 ,求证 :f (x) (x+1)2+x.000成立 ,求实数 a 的取值范围 .(2)若存在 x 0,+ ),使得 f(x )0).x-ax - ax+x+

4、xh x= -ax-a+ =当 a 0 时 ,h (x)0 恒成立 ,h(x)在 ( 0,+ )上单调递增 ,且当 x + 时,h(x) + ,不符合题意 .当 a0 时 ,若 x0,则 h (x)0,若 x,+ ,则 h (x)0,g(2)= - 2ln 2 0,当 a2 时 ,g(a)0 恒成立 .整数 a 的最小值为 2.2解 :(1)当0时, ()=-xlnx+x-1,.a=fx由 f (x)=-lnx,得 f(e) =-1,f (e)=- 1,曲线 y=f (x)在点 P(e,f (e) 处的切线方程为y+1=-(x- e),即 x+y+1- e=0.(2) f (x)=2ax- 1

5、- ln x- (2a- 1)=2a(x- 1)- ln x,易知当 x 1,+ )时 ,lnx x- 1,则 f (x) 2a(x- 1)- (x- 1)=(2a- 1)(x- 1).当 2a- 1 0,即 a 时 ,由 x 1,+ )得 f (x) 0 恒成立 ,f (x)在 1,+) 上单调递增 ,f (x) f (1)=0,符合题意 .当 a 0 时 ,由 x 1,+ )得 f (x) 0 恒成立 ,f (x)在 1,+ )上单调递减 ,f (x) f (1)=0,显然不合题意 ,a 0 舍去 .当 0a 时 ,由 lnx x- 1,得 ln - 1,即 lnx 1- ,则 f (x)

6、2a(x- 1)- 1- = - (2ax- 1),0a1.当 x 1, 时,f (x) 0 恒成立 ,f(x)在1,上单调递减 ,当1,f (x)f (1) =0,0a. x时舍去显然不合题意综上可得 a,+ .3. 证明 :(1)f (x)= -,设 f (x) 的图像与 x 轴相切于点 (x0,0),-则即解得 a=x0=1,-所以 f (x)=lnx+ - 1.f (x)-等价于 lnx x- 1,设 h(x) =ln x-x+ 1,则 h (x)= - 1.当 0x0,h(x)单调递增 ;当 x1 时 ,h ( x) 1 时 ,ln x1;以 代换 x 可得 ln - ,即 - 1

7、时 ,有 1t.当 1x0,g(x)单调递增 ;当 tx 时 ,g (x)0,即( b- 1)log bx- .-,4. 解 :(1)f(x)=ln (x- 1)-k(x- 1)+1,f (x)=-k ,x1.-当k 0 时 ,f(x)=-k 0,f (x)在 (1,+ )上是增函数;-当 k0 时 ,令 f (x)0,得 1x1+ ,令 f (x) 1+ ,f(x)在1,1+上是增函数 ,在1+ ,+ 上是减函数 .(2)f(x) 0 恒成立 ,? x1,ln (x- 1)-k (x- 1) +1 0,? x1,ln (x- 1) k(x- 1)- 1, k0.max1+=- ln k 0,

8、由( 1)知 ,当 k0 时,f (x) =f解得 k 1.故实数 k 的取值范围是 1,+ ).(3)证明 :令 k=1,则由 (2)知 ,ln (x- 1) x- 2 对任意 x (1,+ )恒成立 ,即 lnx x- 1 对任意 x (0,+ )恒成立 .22取 x=n ,则 2lnn n - 1,即 - ,n 2,+1).5. 解 :(1)f (x) =2a(x+1)ln (x+1)+a(x+1)+b,f222(0)=a+b=0,f (e- 1) =ae+b(e- 1)=a(e- e+1)=e - e+1, a=1,b=-1.(2)证明 :f (x)=(x+1)2ln (x+1)-x

9、,2-x-x2设 g(x) =(x+1) ln (x+1)(x 0),则 g (x)=2( x+1)ln (x+1)-x.令 (x)=2( x+1)ln (x+1)-x ,则 (x)=2ln (x+1)+10, (x)在 0,+ )上单调递增 , (x) (0)=0,g(x)在 0,+) 上单调递增 ,g(x)g(0)=0,f(x) x2.(3)设 h(x)=(x+1)2ln (x+1)-x-mx 2,h (x)=2(x+1)ln (x+1)+x- 2mx,由( 2)可知 (x+1)2ln (x+1) x2+x=x(x+1),( x+1)ln (x+1) x,h (x) 3x- 2mx.当 3

10、- 2m 0,即 m 时 ,h (x) 0,h(x)在 0,+)上单调递增 ,h(x) h(0)=0,满足题意 .当 3- 2m时 ,令 u(x)=h (x) =2(x+1)ln (x+1)+( 1- 2m)x,则 u (x)=2ln ( x+1)+3- 2m,-令 u (x0) =0,得x0=- 10,当 x 0,x0)时 ,u(x) u(0)=0,h(x) 在0,x0)上单调递减 ,h(x)h(0)=0,不满足题意 .综上 ,m .6. 解 :(1)当 a=1 时,f (x)=e2x +ln (x+1),f (x)=2e2x +.f(0)=1,f (0)=2+ =3,曲线 y=f (x)在

11、 (0,f (0)处的切线方程为3x-y+ 1=0.证明 :设 F(x)=e2 x+ln (x+1)- (x+1)2 -x (x 0),则 F (x)=2e2x + - 2(x+1)- 1.令 ( )(),则(2x- 2=2x-2x2x0,=FxG) 4ee+2(e- 1) +eGxx =G(x)在 0,+)上单调递增 ,G(x) G(0)=0,F(x)在 0,+)上单调递增 ,F(x) F(0)=0,故得证 .(2)原问题等价于存在x0 0,使得- ln (x0+a)- 0, (x)在0,+ )上单调递增 , (x) (0) =2- .当 a 时 , (0)=2- 0,u(x)在 0,+)上单调递增 ,u(x)min=u(0)=1