待定系数法求数列通项公式

1、待定系数法求数列通项公式例题匚在数列中， = 1.=试求其通顼公弍:分析*显热这不是等差或等比数列F但如果在如為十1的两边冋时A上it整理 为3十1珈十1爲此时，把和码十1看作一个整体，或若换亏令也=AU1 + Ir 那么即如=2吊b=ai+L = 2f因此，数列佃十1或就是以2为首项， 以2为公二匕昭芋二匕数列- + i=2或者%.进一步求出= 2K -1 .启示*在这个问邈札 容易看岀衽左右两边加上1就构成了新的等比数列佃十卜 那 不易看出在左右两边该加几后构成新的等比数列时，该怎么办呢？其实，已知石二加”十1,可变形为十人=2（%-君的形式，然后展幵括号、移 项后再与.】亠1柜比较，利用

2、待定系数法可得2无-2= M = le这样，对于形如卫二戸心乜（其中严q为器叛 且同汕沪、的逵推数列， 先变为：+ 戶9产心尤形式，贋开“移匝 利甬行定.系数注百（去灵二g2=宀P-1即七7+七）p-ip-1疋数列氐+丄腊项为口厂丄抡比为p的等比数兀pljP-1S詡严+因此，形如g =这一类型的数列.都可以孔用待定系数法来求熹那么芝g支为/（）, /（）是关于n非零多项弍时，该怎么办呢？是否也旨淀用待定系数法呢？+（內二0左 =1）型例題Z在数列中，a. =1, a =2q + 3n + l,试求其通项公式。分析，技照例题1的思路，在两边屣妾切上某一常数同时也妾加上n的倍数，才能使新的数列有一

3、致的形式C先变为弘.：+恥十1）一2 = 2（6十刀）十1,畏开比较得2 = 3即%严3(力+1) = 2(务 + 3町+4进一步+ 3(n +1) + 4 = 2(a% 3n + 4)则数列：务-卜3x4是a：十3xl-4 = 8苣坝为兔十3xl + 4 = 8公比为2的等比数列，所以同样.形如為二叫十驴+尸的递推数列.设+ xn+1）+j - p（an + xw + 展开. 移项、整理.比较对应系数相等.列出方程解得x十厂- qrr p-i 9-i)厂“-1 的等比数列，于是就可以进一步求出厲;的通项.即s負（小）乙3十；严sq “ q jp-l (p-0*p-1则数列心严為沽是以吩；广（

4、爲+二为首项以P为公比同理.若订=化广/5)其中/(“)是关于的多顼弍时.也可以构造新的尊比数列. 利用待定系数法求出其通项。比如当/(“)=0,+严时可设j + x(n + 1)2+j(m1) + z = p(a + xn +yn+z)展开根据对应系数分别相尊求够方程即可。/(町为n的三次、四次、五次等多项式时也能冃冋样的思路和方法进行求解。而如果当/(“)是的韦数式.關/(“) = /+广时.送拒公式又捋幻何变形呢?三作昇=pa”+ rg + $ 型(pqr 0.目pwl.g =l.p = q)例题3.在数列dj中，5 = 1, J】 =3a” + 2”，试求其通项q,。分析1：由于产3%

5、 + 2”与例懸1的区别在于21是指数式.可以冃上面的思晤进行变 形，在两边同时加上2x2变为a小+ 2-1 = 3一3x2 1R%： + 2”J = 3(a” 2”)则数列% + 2”是首项为3,公比为3的等比数列十2，=3”贝9分析2：如巣埒击数式先变为家数.两边同除2_1 3 a, 1 9 2 2 就回到了我们的类型一。进一步也可求出a” = 32J例題4.在数列匕中，a = 3, g = 十5 x 2”十4 ,试求g的通项a八分析：若按例题3的思路2在两边同时除以2 虽然产生了竺、冬.但是又增加 2小2”了吕T，与原式并没有丈的变化.所以只能运用邕珞1，在两边同时加上10x2”整理十

6、5x2 =3(a” + 5x2*) + 4进一步则数列仏+ 5x2十2是首项为10,公比为3的等比数更dK+5x2n-t-2-15x3K_1-5x3n即a” = 5(3”-2)-2启示$己知数列厲的首项,%】=parqnspqr # 0比丰l,q八q丰p)1)当0,即=由例題3知，有两种恿路斑行变按，利用待定系数法构适首项和公比己知或可求的尋比数列。思洛一：在两边同时除以qR,将不含和兔的项变为常数，即rtlnq q q qr为前面的类型一，再弓类型一的芍定系数法思整可得数列.3十丄，最终求解岀% q 1q的通项。思路二：在两边叵盯柯上/为倍数昜终能交形为口小= p(a.txqn)对应系数用等

7、得(jj-q)x = r ,即.兀=p-q%+=p_q+q )p_q求岀数列的通靦进一步求岀厲的通项p.q2)当jmOE孔口小=“”_厂加+，生例4可知只能在选择思路二，两边既妾协/的倍数.也妾切莒数.最终能变形为九1+X广+尹=况务+如+刃比较得X, y的方程组f(p-g)x(DyP-1于是匕,宀SP-1求岀数列% + y. q” +右的通项，进一步求岀%的通项四；3 =皿7-外*（力型（已知弘血其中门1）可以为窜数、n的多项弍或指数式） 以/w=o为例。71例鎳5在数列%中.a =l,cr2 = 2,02 = . +訐兀试求久的通项。wJ分析：这是三项之间速推数列.根据前直的思昭.可以把J

8、看做毎数过行处珪.可变 为- an- = _ （an-l ar） 1 先求岀数列%1 - at 的通项然后利用累加法即可进一步求出0的通项久e对于形如= “归十？递推数刃，可以设a十xj=丿（J十xa”）畏开，利用 对应系数相等.列方fs（xy=/，I xy 二 q于是数列就是以色亠“为首项，y为公比的等比数列，不难求岀 他丿+耳的通项进一步利月用关即可求岀厲。叵理，.2*%】+晦+ /何 当/何为非零多项式或巻是指数式时，也可结台前 百的匡路进行处理。问题的关謎在于先变形a ”2 十 XJ = )(a_十/ () 然后拦+看做一个整体就变为了前面的类型。五：p= 1且p w RS厂=0h1)

9、型a“：为正项数歹【.例题6.在数列%中.a】=l,a“.： = 2aJ试求其通项an。分析：此题和貳面的几和类型没有相冋之处，左边是一次式，而右边是二次式，关铤右 于適过变形,便两边次数相同，由于务0 ,所以可联想到对数的相关性员，对备=2。 两边取对数，即k i= U(2a/) = lg2 + lgan2=2 lg an -+lg2就是繭面的类型一了，即Ig%i*lg2 = 2(lgd”+lg2)Igfl1|+lg2 = (lg2)x2-l = lg 2广；变形得6=227对于类似严卩心9工1且以用，心0,“1)的递貳数列.由于两边次数不一致. 又是正项数宛.所以可次利爭对数性质.两为同时

10、取对数.得然后戏是前面芜类型一 了 就可以利冃待定炙数法进一步构港数列化:警为己知首项和公比旳等比数列了 c求出、；lg %】-:晨终就可以得出的通项。同样,如果将且牛丈，中的p换为指数式?”时,同样 町以利用相同的方法。即：dp：H I且fhO：fh1)两边取对数lg=lg( an +所以数列宀T是首项为邑曰，公比为也的等比数刃。进一步求岀4。七；araPd + q(p齐 0. p = 2r.q2 十ds 0)型例题9在数列q中，q =二？试求其涌项厲2a”+ 2分析，本題属于分式菲线性邁推式与类至五又有相似之处，祈以我们可次结合类型壬、六的思路，逬行变按；两边同时加上某个常数，设最奖变为：心b与原式比较.对应系数相筈，得解方程得= 1* X-) = 3即有，2%+2“1 = 32%+ 2对单个式子进行处理,无从下手，两式相比得%:十3 =匕并十3然后，两边取对数得：则数列JlgG是首项为lgl3 = g5 ,公比为2的尊比数列。 1J5 -1进一步锌得显然按照例题9的恩絶，形如庄竺匚王3尸丘切这类型的参数壮$必pg+q犯活定一定的条件.所得方程应有两个卜菇苇側实很:现在来採讨应该丫育足哪些条件?念十+ “叫2二即,Pn +?P 宀 Q所以+xpa科 + 冈 + $ ra + Zrxa + rx对旺系載相等得p = 2).rx2 j = 0f? c gx 3 二 0禅足 A