极值点偏移[优选材料]

1、极值点偏移问题一、极值点偏移的含义众所周知，函数满足定义域内任意自变量都有，则函数关于直线对称；可以理解为函数在对称轴两侧，函数值变化快慢相同，且若为单峰函数，则必为的极值点. 如二次函数的顶点就是极值点，若的两根的中点为，则刚好有，即极值点在两根的正中间，也就是极值点没有偏移.若相等变为不等，则为极值点偏移：若单峰函数的极值点为，且函数满足定义域内左侧的任意自变量都有或，则函数极值点左右侧变化快慢不同. 故单峰函数定义域内任意不同的实数满足，则与极值点必有确定的大小关系：若，则称为极值点左偏；若，则称为极值点右偏.KS5UKS5UKS5U左快右慢（极值点左偏） 左慢右快（极值点右偏）左快右慢

2、（极值点左偏） 左慢右快（极值点右偏）如函数的极值点刚好在方程的两根中点的左边，我们称之为极值点左偏.二、极值点偏移问题的一般题设形式：1. 若函数存在两个零点且，求证：（为函数的极值点）； 2. 若函数中存在且满足，求证：（为函数的极值点）；3. 若函数存在两个零点且，令，求证：；4. 若函数中存在且满足，令，求证：.5. 三、应对极值点偏移问题的若干思路 思路一: 对称化构造1、方法概述：（1）求出函数的极值点；（2）构造一元差函数；或（3）确定函数的单调性；（4）结合，判断的符号，从而确定、的大小关系.口诀：极值偏离对称轴，构造函数觅行踪；四个步骤环相扣，两次单调紧跟随.2、抽化模型答题

3、模板：若已知函数满足，为函数的极值点，求证：.（1）讨论函数的单调性并求出的极值点； 假设此处在上单调递减，在上单调递增.KS5UKS5U.KS5U（2）构造； 注：此处根据题意需要还可以构造成的形式.KS5UKS5U（对结论，构造），（3）通过求导讨论的单调性，判断出在某段区间上的正负，并得出与的大小关系；假设此处在上单调递增，那么我们便可得出，从而得到：时，.（4）不妨设，通过的单调性，与的大小关系得出结论；接上述情况，由于时，且，故，又因为，且在上单调递减，从而得到，从而得证.（5）若要证明，还需进一步讨论与的大小，得出所在的单调区间，从而得出该处函数导数值的正负，从而结论得证.此处只需

4、继续证明：因为，故，由于在上单调递减，故.【说明】（1）此类试题由于思路固定，所以通常情况下求导比较复杂，计算时须细心；（2）此类题目若试题难度较低，会分解为三问，前两问分别求的单调性、极值点，证明与（或与）的大小关系；若试题难度较大，则直接给出形如或的结论，让你给予证明，此时自己应主动把该小问分解为三问逐步解题.KS5U 口诀为：极值偏离对称轴，构造函数觅行踪；四个步骤环相扣，两次单调紧跟随。例1 解： 例2 已知函数.(1)求函数f(x)的单调区间和极值；(2)若，且f()=f(),证明：+2.例3已知函数， 若，且f()=f(),证明：+4.证明：例4已知函数有两个零点.设是的两个零点，

5、证明：.解:不妨设由题意知.要证不等式成立，只需证当时，原不等式成立即可.令，则，当时，. .即.令，则 ,即.而，且在上递增，故，即.思路二: 、极值点偏移问题的不等式解法我们熟知平均值不等式：即“调和平均数”小于等于“几何平均数”小于等于“算术平均值”小于等于“平方平均值”等号成立的条件是.我们还可以引入另一个平均值：对数平均值：那么上述平均值不等式可变为：对数平均值不等式a0,b0， 以下简单给出证明：不妨设0，设，则原不等式变为：以下只要证明上述函数不等式即可1 ,2. 有时用对数不等式时，既需要。3. 含有需要取对数，可用对数不等式4. 用对数不等式时，需要先证明。以下我们来看看对数

6、不等式的作用.例1：（2015长春四模题）已知函数有两个零点，则下列说法错误的是 A. B. C. D.有极小值点，且【答案】C【解析】函数导函数：有极值点，而极值，A正确.有两个零点：，即：-得：根据对数平均值不等式：，而， B正确，C错误而+得：，即D成立.例2：(2010天津理)已知函数 .如果，且.证明：.【解析】原题目有3问，其中第二问为第三问的解答提供帮助，现在我们利用不等式直接去证明第三问：设，则，两边取对数-得： 根据对数平均值不等式例3：已知函数与直线交于两点.求证：【解析】由，可得：，-得： +得：根据对数平均值不等式利用式可得：由题于与交于不同两点，易得出则上式简化为:例

7、4：（2011辽宁理）已知函数.若函数的图像与轴交于两点，线段中点的横坐标为，证明：【解析】原题目有3问，其中第二问为第三问的解答提供帮助，现在我们利用不等式直接去证明第三问：设，则， -得：，化简得： 而根据对数平均值不等式：等式代换到上述不等式根据：（由得出）式变为： ，在函数单减区间中，即：例5：（2014江苏南通市二模）设函数 ，其图象与轴交于两点，且.证明：（为函数的导函数）.【解析】根据题意：，移项取对数得：-得：，即： 根据对数平均值不等式：，+得：根据均值不等式：函数在单调递减练习1（天一大联考 20192020）21. (12 分）设函数.(I)讨论函数的单调性；(II)设函

8、数的图象与直线y =m交于两点，且，求证：.思路三: 、齐次化构造解极值点偏移在极值点偏移问题中，证明与有关的不等式中，常常设进行齐次化构造。构造一个关于t的函数。.1. 换元一定要注t的范围。2. 构造出关于t的函数，重新求导求解。例1已知函数在上有两个零点为.（1）求实数的取值范围；（2）求证：.【答案】（1）;（2）见解析.KS5UKS5UKS5U【解析】试题分析：（1）在上有两个零点等价于方程有两个根，即与有两个交点，研究函数 单调性，结合数形结合可得结果；（2）， ，两式相除可得，设，只需证明即可.试题解析：（1）在上有两个零点，方程，则，于是时， ，即在上单调递减；当时， ，即在

9、【方法点睛】本题主要考查利用导数研究函数单调性进而求最值、不等式恒成立问题以及不等式证明问题，属于难题.对于求不等式恒成立时的参数范围问题，在可能的情况下把参数分离出来，使不等式一端是含有参数的不等式，另一端是一个区间上具体的函数, 这样就把问题转化为一端是函数, 另一端是参数的不等式，便于问题的解决. 但要注意分离参数法不是万能的, 如果分离参数后,得出的函数解析式较为复杂, 性质很难研究, 就不要使用分离参数法.例2已知函数有两个不同的零点 求的最值；证明： 【答案】（1），无最小值 （2）见解析 【方法点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性及不等式的证明，属于难题.不等式证明问题是近

10、年高考命题的热点，命题主要是和导数、绝对值不等式及柯西不等式相结合，导数部分一旦出该类型题往往难度较大，要准确解答首先观察不等式特点，结合已解答的问题把要证的不等式变形，并运用已证结论先行放缩，然后再化简或者进一步构造函数利用导数证明.例3、已知，若有两个极值点，且，求证：（为自然对数的底数）解法一：齐次构造通解偏移套路于是又，设，则因此，要证，即证：， 即：当时，有设函数，则，所以，为上的增函数注意到，因此， 于是，当时，有所以，有成立， 解法二 变换函数能妙解证法2：欲证，需证若有两个极值点，即函数有两个零点又，所以，是方程的两个不同实根显然，否则，函数为单调函数，不符合题意由，解法三 构

11、造函数现实力证法3：由，是方程的两个不同实根得，令，由于，因此，在， 设，需证明，只需证明，只需证明，即，即，即，故在，故，即令，则，因为，在，所以，即 解法四 巧引变量（一）证法4：设，则由得，设，则，欲证，解法五 巧引变量（二）证法5：设，则由得，设，则，欲证，需证，即只需证明，即，设，故在，因此，命题得证 例3、已知函数，若方程有两个不相等的实数根，求证：.欲证：，结合的单调性，即证：等价于证明：令，构造函数，求导由单调性易得原不等式成立，略.法二：接后续解:由得：构造函数，求导由单调性易得在恒成立，又因为，故成立.法三：接后续解：视为主元，设则在上单调递增，故，再结合，故成立.法四：构

12、造函数， 则，从而在上单调递增，故，即对恒成立，从而，则，由，且在单调递增， 故，即，从而成立. 思路四 、极值点偏移问题的构造二次函数解法所谓的极值点偏移的问题。就在偏移两个字，只要分析出便偏移这个事实，就能解决这一类问题。首先我们知道对于我们求解这类函数无法直接取得X1+ X2的值，而有一些函数是能求得够求X1 + X2的值，而轴对称函数。如绝对值函数，二次函数，高中二次函数比较熟悉和我们，那我们就选这个二次函数来比一比。怎样构造呢？泰列展开公式：二次构造的方法步骤：（1）求出函数的极值点；（2）求并求（3）构造二次函数（4） .构造函数(5)通过求导讨论的单调性，判断出在某段区间上的正负，并得出的大小关系；(6) 如图，由时，,由时，可得，,所以：例1(2016全国1理21）、已知函数有两个零点.（I）求a的取值范围；（II）设x1，x2是的两个零点，证明：+x22.解法1二次构造：由于（1）可知，函数的极值点为,所以：设所以：在R上恒增