数学模型数学论文指导初等模型分配问题[一类教资]

1、初等数学模型,问题一：公平的席位分配问题 公平的席位分配是人类社会中相当普遍的一类权益分配问题，这个问题来源于美国众议院议员在各州的名额分配问题。,1,苍柏课资,席位分配问题,某校有200名学生，甲系100名，乙系60名， 丙系40名，若学生代表会议设20个席位，问三系各 有多少个席位？,按惯例分配席位方案，即按人数比例分配原则,表示某单位的席位数,表示某单位的人数,表示总人数,表示总席位数,1 问题的提出,2,苍柏课资,20个席位的分配结果,现丙系有6名学生分别转到甲、乙系各3名。,10,6,4,10,6,4,现象1 丙系虽少了6人，但席位仍为4个。（不公平！）,3,苍柏课资,为了在表决提案

2、时可能出现10：10的平局，再设一个席位。,21个席位的分配结果,11,7,3,现象2 总席位增加一席，丙系反而减少一席。（不公平！）,惯例分配方法：按比例分配完取整数的名额后，剩下的名额 按惯例分给小数部分较大者。 存在不公平现象，能否给出更公平的分配席位的方案？,4,苍柏课资,2 建模分析,目标：建立公平的分配方案。 反映公平分配的数量指标可用每席位代表的人数来衡量。,5,苍柏课资,一般地，,当,席位分配公平,6,苍柏课资,但通常不一定相等，席位分配的不公平程度用以下标准来判断。,此值越小分配越趋于公平，但这并不是一个好的衡量标准。,C,D的不公平程度大为改善！,7,苍柏课资,2） 相对不

3、公平,表示每个席位代表的人数，总人数一定时，此值 越大，代表的人数就越多，分配的席位就越少。,则A吃亏,或对A 是不公平的。,定义“相对不公平”,对A 的相对不公 平值；,同理，可定义对B 的相对不公平值为：,8,苍柏课资,对B 的相对不公 平值；,建立了衡量分配不公平程度的数量指标,制定席位分配方案的原则是使它们的尽可能的小。,3 建模 模型1,若A、B两方已占有席位数为,用相对不公平值,讨论当席位增加1 个时，应该给A 还是B 方。,不失一般性，,有下面三种情形。,9,苍柏课资,情形1,说明即使给A 单位增加1席，仍对A 不公平，所增这一席必须给A单位。,情形2,说明当对A 不公平时，给A

4、 单 位增加1席，对B 又不公平。,计算对B 的相对不公平值,情形3,说明当对A 不公平时，给B 单 位增加1席，对A 不公平。,计算对A 的相对不公平值,10,苍柏课资,则这一席位给A 单位，否则给B 单位。,结论：当（*）成立时，增加的一个席位应分配给A 单位， 反之，应分配给 B 单位。,11,苍柏课资,记,则增加的一个席位应分配给Q值 较大的一方。,这样的分配席位的方法称为Q值方法。,若A、B两方已占有席位数为,4 推广 有m 方分配席位的情况,设,方人数为,，已占有,个席位，,当总席位增加1 席时，计算,则1 席应分给Q值最大的一方。从,开始，即每方,至少应得到以1 席，（如果有一方

5、1 席也分不到，则把它排除在外。）,12,苍柏课资,设有k个部门，每个部门的人数分别 为 ,总人数N，待分配的席位为m，理想化的席位分配结果为 , 记 显然，若全为整数时，应有 当不全为整数时，需要确定同时满足下列公理的公平分配方案：,模型2,13,苍柏课资,公理1、 ，即 取 ，其中 ， ， 表示 的整数部分。 公理2、 ，即总席位增加时，各个部门的席位数不会减少。 公理1显然满足Young公理的公理IV（公平分摊性），公理2显然满足Young公理的公理I（人口单调性）和公理III（名额单调性）,14,苍柏课资,设总人数为n，总席位数为m，第,个部门的人数为,，令,称其为对第,个部门的绝对不

6、公平值。令,称其为对第,个部门的相对不公平值，或称为相对尾数。,15,苍柏课资,由于人口数是整数，为使分配公平，需所有的 越小越好，所以公平的分配方案应该是最大的 达到最小，亦即所有的达到最小。 为方便起见，首先考虑只有两个部门的情况，并且 ， 和 不全是整数（实际上，它们同为整数或小数）。,记,，即,为,的小数部分。,16,苍柏课资,定理 、满足公理1、2的分配方案为： (1) 若 ，且 ，则取 ， （即“比例加惯例”的方法）。 (2) 若 ，则取得结果同上. (3) 若 ，则取,17,苍柏课资,按照定理，对三个部门，设全不为零（若有一个为零，实则按两个部门进行分配），可以做以下公平的分配,

7、18,苍柏课资,当 时；按比例取整后，多余的席位分配给小数部分较大的部门（比例加惯例的方法）。 当 时；按比例取整后，若多余一个席位，则分配给第一个部门，若多余两个席位，则分配给第一个部门及第二、三部门中小数部分较大的部门。,19,苍柏课资,当时 ；按比例取整后，若多余一个席位，则分配给第一、二部门中小数部分较大的部门，若多余两个席位，则分配给第一部门和第二部门。 当时 ；按比例取整后，若多余一个席位，则分配给第一部门；若多余两个席位，则分配给第一部门和第二部门。,20,苍柏课资,一般地，对 个部门，设 不全为零，且 ，则当 时，将剩余的 个席位分配给第一至第 个部门，当 时，将剩余的 个席位分配给第一至第 -1个部门及 ( 较大的一个部门。,21,苍柏课资,X-表示相对尾数法分配结果，B-表示比例加惯例分配结果，Q-表示Q-值法分配结果，H-表示dHondt法（文1）分配结果,22,苍柏课资,5 举例,甲、乙、丙三系各有人数103，63，34，有21个席位，如何分配？,按Q值方法：,23,苍柏课资,练习,学校共1000学生，235人住在A楼，333人住 在B楼，432住在C楼。学生要组织一个10人 委员会，试用惯例分配方法， dHondt方法和 Q值方法分配各楼的委员数，并比较结果。,24,苍柏课资,dHondt方法,