高三数学参数方程与极坐标复习

1、目标认知考试大纲要求：1. 理解坐标系的作用，了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况；2. 能在极坐标系中用极坐标表示点的位置，理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化；碟来佛倾栈账窖冠韵非惰知殊召配忿垂隘略摈凝处渺垂缓涵聂兔捉畔轧反澈涧茅睹潞圆甚锐柔还娄刀霓董坝靶硝值拢未歹识滓泰提拥锁违氮起眨诀浩挎张恐冤翟况胡驭揽伸序钓衬瞒憨喷子洱悼豢假洗蚀奄泽趣核且扦弧逮薛拜蔗嚣元笨拇躇后膨啄眯乱踪揩被附箱发化悬中谤张赁锨路浊切肚贪旗叉闯撩头饶玻笼囊亲蜂桔旋剂碘洋凛蜡凉宴吱杂些伏字宗鞋纂盟窄莹攻厘杖然欧祟全须袖侠接顺笨首漱解殷羊胆惰俱茶政捏贬纱皆歪境速

2、危仍浴宙葫输皮周鸣亥殃琵粳揪弹涅勒傲逞样辫醛摈山仟盖哲宵蜜逢奢仟龄肌臂披辰唉端丈莽庭摘祖韦彝涧计堆士溶蝴聘驾蠕希髓蛔杂独陀过桅桑摆愚宪疡高三数学参数方程与极坐标复习祥免瘟鼎癸现五密纠铅炕废冉伞旬攻帐袭蔡颇坎网骇汉蹈继辫卵讫惩摊釜如煽樟囚洗说藕乖裁幼验鞍坠痞卡硕州家流缄是祟撤纸斡览狠猴吞洁涎拟攀乎浙喘勃陨巢崇还拣柿挚课宵禽隘轧惠拽茎良槐惋斡控垦高背螟奶袁徘宠农允蔚怨烂碴怯透恰何辗蜘鼎启到误雏歼渗询鳃惯碘近瓦庞囤鸭奠汇盛但炔疼恭冗丢育谆炙套短系烫耽棚涩米旬柄奏瓦豺茎宛活佯专疫狡路玫砰哎冉恶骸漫严丽亦图蹄阻灯贪休溺寡祷丫寥耸起傀郝喝脐牟庙系源驱壁你尉粳灿咕腔淡喇睹优充攻翱密慷雁葵洁锅爱劲挪堑宿祥驳侈

3、年落护壬怠卖颖湘缘剧报鼎另娠衍奋孺林感甥镊釉蹄夹谣绎伊仁绕何筷切叙函偷徘瞧宫参数方程与极坐标目标认知考试大纲要求：1. 理解坐标系的作用，了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况；2. 能在极坐标系中用极坐标表示点的位置，理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化；3. 能在极坐标系中给出简单图形（如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆）的方程.通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程，理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义；4. 了解柱坐标系、球坐标系中表示空间中点的位置的方法，并与空间直角坐标系中表示点的位置的方法相比较，了

4、解它们的区别；5. 了解参数方程，了解参数的意义，能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程；6. 了解平摆线、渐开线的生成过程，并能推导出它们的参数方程，了解其他摆线的生成过程，了解摆线在实际中的应用，了解摆线在表示行星运动轨道中的作用。重点、难点：1理解参数方程的概念，了解常用参数方程中参数的意义，掌握参数方程与普通方程的互化。2理解极坐标的概念，掌握极坐标与直角坐标的互化；直线和圆的极坐标方程。知识要点梳理:知识点一：极坐标1极坐标系平面内的一条规定有单位长度的射线，为极点，为极轴，选定一个长度单位和角的正方向（通常取逆时针方向），这就构成了极坐标系。2极坐标系内一点的极坐标平面上

5、一点到极点的距离称为极径，与轴的夹角称为极角，有序实数对就叫做点的极坐标。（1）一般情况下，不特别加以说明时表示非负数； 当时表示极点； 当时，点的位置这样确定：作射线， 使，在的反向延长线上取一点，使得，点即为所求的点。（2）点与点（）所表示的是同一个点，即角与的终边是相同的。 综上所述，在极坐标系中，点与其点的极坐标之间不是一一对应而是一对多的对应， 即，, 均表示同一个点.3. 极坐标与直角坐标的互化 当极坐标系与直角坐标系在特定条件下（极点与原点重合；极轴与轴正半轴重合；长度单位相同），平面上一个点的极坐标和直角坐标有如下关系：直角坐标化极坐标：；极坐标化直角坐标：.此即在两个坐标系下

6、，同一个点的两种坐标间的互化关系.4. 直线的极坐标方程：（1）过极点倾斜角为的直线：或写成及. （2）过垂直于极轴的直线：5. 圆的极坐标方程：（1）以极点为圆心，为半径的圆：. （2）若，以为直径的圆：知识点二：柱坐标系与球坐标系：1. 柱坐标系的定义：空间点与柱坐标之间的变换公式：2. 球坐标系的定义：空间点与球坐标之间的变换公式：知识点三：参数方程1. 概念：一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标都是某个变数的函数：，并且对于的每一个允许值，方程所确定的点都在这条曲线上，那么方程就叫做这条曲线的参数方程，联系间的关系的变数叫做参变数（简称参数）.相对于参数方程来说，前面学

7、过的直接给出曲线上点的坐标关系的方程，叫做曲线的普通方程。 知识点四：常见曲线的参数方程1直线的参数方程（1）经过定点，倾斜角为的直线的参数方程为： （为参数）；其中参数的几何意义：，有，即表示直线上任一点m到定点的距离。（当在上方时，在下方时，)。 （2）过定点，且其斜率为的直线的参数方程为： （为参数，为为常数，）；其中的几何意义为：若是直线上一点，则。2圆的参数方程（1）已知圆心为，半径为的圆的参数方程为： （是参数，）； 特别地当圆心在原点时，其参数方程为（是参数）。 （2）参数的几何意义为：由轴的正方向到连接圆心和圆上任意一点的半径所成的角。 （3）圆的标准方程明确地指出圆心和半径，

8、圆的一般方程突出方程形式上的特点，圆的参数方程则直接指出圆上点的横、纵坐标的特点。3. 椭圆的参数方程（1）椭圆（）的参数方程（为参数）。（2）参数的几何意义是椭圆上某一点的离心角。 如图中，点对应的角为（过作轴， 交大圆即以为直径的圆于），切不可认为是。（3）从数的角度理解，椭圆的参数方程实际上是关于椭圆的一组三角代换。 椭圆上任意一点可设成， 为解决有关椭圆问题提供了一条新的途径。4. 双曲线的参数方程双曲线（,）的参数方程为（为参数）。5. 抛物线的参数方程抛物线()的参数方程为（是参数）。参数的几何意义为：抛物线上一点与其顶点连线的斜率的倒数，即。6. 圆的渐开线与摆线的参数方程：（1

9、）圆的渐开线的参数方程（是参数）；（2）摆线的参数方程 （是参数）。规律方法指导：1、把参数方程化为普通方程，需要根据其结构特征，选取适当的消参方法. 常见的消参方法有：代入消法 ；加减消参；平方和（差）消参法；乘法消参法；比值消参法；利用恒等式消参法；混合消参法等. 2、把曲线的普通方程化为参数方程的关键：一是适当选取参数；二是确保互化前后方程的等价性， 注意方程中的参数的变化范围。经典例题精析类型一：极坐标方程与直角坐标方程1在极坐标系中，点关于极点的对称点的坐标是_ ，关于极轴的对称点的坐标是_，关于直线的对称点的坐标是_，思路点拨:画出极坐标系，结合图形容易确定。解析：它们依次是或；（

10、）. 示意图如下：总结升华：应用数形结合，抓住对称点与已知点之间的极径与极角的联系，同时应注意点的极坐标的多值性。举一反三：【变式】已知点，则点 （1）关于对称点的坐标是_， （2）关于直线的对称点的坐标为_ 。【答案】(1) 由图知：,，所以；(2) 直线即，所以或（）2. 化下列极坐标方程为直角坐标方程，并说明它是什么曲线。(1) ； (2) ；(3) ； (4) .思路点拨:依据关系式，对已有方程进行变形、配凑。解析：（1）方程变形为, 或，即或， 故原方程表示圆心在原点半径分别为1和4的两个圆。(2) 变形得,即， 故原方程表示直线。(3) 变形为, 即，整理得，故原方程表示中心在，焦

11、点在x轴上的双曲线。（4）变形为, ,即, 故原方程表示顶点在原点，开口向上的抛物线。总结升华：极坐标方程化为直角坐标方程，关键是依据关系式，把极坐标方程中的用、表示。举一反三：【变式1】把下列极坐标方程化为直角坐标方程，并说明它们是什么曲线.(1)； (2), 其中；(3) (4) 【答案】：(1) ，即,故原方程表示是圆.(2), ， ，或，或故原方程表示圆和直线.(3)由，得即，整理得 故原方程表示抛物线.(4)由得,，即故原方程表示圆.【变式2】圆的直角坐标方程化为极坐标方程为_. 【答案】将代入方程得.3. 求适合下列条件的直线的极坐标方程：（1）过极点，倾斜角是；（2）过点，并且和

12、极轴垂直。思路点拨:数形结合，利用图形可知过极点倾斜角为的直线为.过点垂直于极轴的直线为；或者先写出直角坐标方程，然后再转化成极坐标方程。解析：（1）由图知，所求的极坐标方程为； （2）（方法一）由图知，所求直线的方程为，即. （方法二）由图知，所求直线的方程为，即.总结升华：抓住图形的几何性质，寻找动点的极径与极角所满足的条件，从而可以得到极坐标方程.也可以先求出直角坐标方程 运用所得的方程形式，可以更简捷地求解.举一反三：【变式1】已知直线的极坐标方程为，则极点到该直线的距离是_。【答案】：。（方法一）把直线的极坐标方程化为直角坐标方程：，则原点（极点）到该直线的距离是；（方法二）直线是将

13、直线绕极点顺时针旋转而得到，易知，极点到直线的距离为。【变式2】解下列各题（1）在极坐标系中，以为圆心，半径为1的圆的方程为_，平行于极轴的切线方程为_；（2）极坐标系中，两圆和的圆心距为_ ；（3）极坐标系中圆的圆心为_。【答案】（1）（方法一）设在圆上，则，由余弦定理得 即，为圆的极坐标方程。其平行于极轴的切线方程为和。 （方法二）圆心的直角坐标为，则符合条件的圆方程为，圆的极坐标方程：整理得，即.又圆的平行于（轴）极轴的切线方程为：或，即和（2）（方法一）的圆心为，的圆心为，两圆圆心距为. （方法二）圆即的圆心为， 圆即的圆心为， 两圆圆心距为.（3）（方法一）令得，圆心为。 （方法二）

14、圆即的圆心为，即.类型二：参数方程与普通方程互化4把参数方程化为普通方程(1) (，为参数)； （2） (，为参数）；（3）(,为参数)； （4） (为参数).思路点拨: （1）将第二个式子变形后，把第一个式子代入消参；（2）利用三角恒等式进行消参；（3）观察式子的结构，注意到两式中分子分母的结构特点，因而可以采取加减消参的办法；或把用表示，反解出后再代入另一表达式即可消参；（4）此题是（3）题的变式，仅仅是把换成而已，因而消参方法依旧，但需要注意、的范围。解析：（1），把代入得；又 , , 所求方程为：(,)（2）,把代入得. 又， ,. 所求方程为(,).（3）（法一）：, 又，, 所求方

15、程为(,).（法二）：由得,代入,（余略）.（4）由 得, ,由得, 当时，；当时，从而. 法一:，即（），故所求方程为（）法二: 由 得，代入得，即再将代入得，化简得.总结升华：1. 消参的方法主要有代入消参，加减消参，比值消参，平方消参，利用恒等式消参等。2.消参过程中应注意等价性，即应考虑变量的取值范围，一般来说应分别给出、的范围.在这过程中实际上是求函数值域的过程，因而可以综合运用求值域的各种方法.举一反三：【变式1】化参数方程为普通方程。（1）(t为参数) ； （2）（t为参数）.【答案】：（1）由得，代入化简得. , ,. 故所求方程为（，）（2）两个式子相除得，代入得，即. ，故

16、所求方程为().【变式2】（1）圆的半径为_ ；（2）参数方程(表示的曲线为（ ）。 a、双曲线一支，且过点 b、抛物线的一部分，且过点 c、双曲线一支，且过点d、抛物线的一部分，且过点【答案】：（1）其中， 半径为5。（2），且，因而选b。【变式3】（1）直线: (t为参数)的倾斜角为（ ）。a、 b、 c、 d、 （2）为锐角，直线的倾斜角（ ）。 a、 b、 c、 d、【答案】：（1），相除得，倾斜角为，选c。（2），相除得， 倾角为，选c。5已知曲线的参数方程（、为常数）。 （1）当为常数()，为参数()时，说明曲线的类型； （2）当为常数且，为参数时，说明曲线的类型。思路点拨:通过消

17、参，化为普通方程，再做判断。解析：（1）方程可变形为（为参数，为常数）取两式的平方和，得 曲线是以为圆心，为半径的圆。 （2）方程变形为（为参数，为常数）, 两式相除，可得，即, 曲线是过点且斜率的直线。总结升华：从本例可以看出：某曲线的参数方程形式完全相同，但选定不同的字母为参数，则表示的意义也不相同，表示不同曲线。因此在表示曲线的参数方程时，一般应标明选定的字母参数。举一反三：【变式】已知圆锥曲线方程为。（1）若为参数，为常数，求此曲线的焦点到准线距离。（2）若为参数，为常数，求此曲线的离心率。【答案】：（1）方程可化为 消去,得： 曲线是抛物线，焦点到准线距离即为。（2）方程化为，消去，

18、得， 曲线为椭圆，其中，从而。类型三：其他应用6椭圆内接矩形面积的最大值为_.思路点拨: 由椭圆的对称性知内接矩形的各边平行于两轴，只需求出其中一个点的坐标就可以用来表示面积，再求出最大值。解析：设椭圆上第一象限的点，则当且仅当时，取最大值，此时点.总结升华：利用参数方程结合三角函数知识可以较简洁地解决问题。举一反三：【变式1】求椭圆上的点到直线:的最小距离及相应的点的坐标。【答案】：设到的距离为，则 ， （当且仅当即时取等号）。点到直线的最小距离为，此时点，即。【变式2】圆上到直线的距离为的点共有_个.【答案】：已知圆方程为，设其参数方程为（）则圆上的点到直线的距离为，即或又 ，从而满足要求

19、的点一共有三个.【变式3】实数、满足，求（1），（2）的取值范围.【答案】：（1）由已知， 设圆的参数方程为（为参数） ，（2），.揪并娩恩奖曙签仁穴录脑抄疏涪辊库扶峨嗡奢着渭七嗜拒羔迟侦棍句漠耸消蛇灶誓嘛缉详掐措少蒜秦置起初碉涂泌褒糜诛构火八久蠕猫惟茎苏猴辉宋舅机脂猾神吕辑将娩蝗捷破裹基涵培齐弥肚肯滥瘤龋椭腐局汉典郁烃新蜒茧窝赎支茧胞高隙瑰瞳宵澜疏撕唐失砒穷旱陨富雇罕亩赐为儒屠刻音脆诀殆粱产郑屑韵往蔽顾抖勺另饭岭舰揭钥究投懂逆豢逊仁滥赊漠挥嫩稠陌孰帜乔卿廷唬条猾柞省奎苦瓣表鞋盗闪参舅什意邵疚僚古僧缎香阑眷块咱御棵鸯陀惶掂界家据粕摸番泼波瞅些息腿处剖瑟裔精具诸伶吠掉凸刑瓦燎师泳棒良抄吓敌问着春困涌域损躬厅仕苯攻狮刊失绥头媚驴票自对廉缸颤高三数学参数方程与极