苏教版八年级下学期 相似三角形 典型例题专项训练及解析

1、相似三角形考前解析及答案例题解析知识考点：本节知识主要包括相似三角形、相似多边形的性质及应用，会综合运用相似三角形的有关概念、定理解答有关问题。另外，直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似的性质运用，是近几年中考的热点题型。精典例题：【例1】如图，在abc中，ab14cm，debc，cdab，cd12cm，求ade的面积和周长。分析：由ab14cm，cd12cm得84，再由debc可得abcade，有可求得，利用勾股定理求出bc、ac，再用相似三角形的性质可得ade的周长。答案：ade的面积为cm2，周长为15 cm。 【例2】如图，正方形demf内接于abc，若，求分析：首

2、先利用正方形的面积求出其边长，过a点作aqbc于q，交de于p，利用可得ap及aq的长，再由adeabc求出bc，从而求得。解：正方形的面积为4，demf2。过a点作aqbc于q，交de于p ，ap1 debc，adeabc，即 bc6，故9 更多资料加q465010203变式1：如图，已知菱形amnp内接于abc，m、n、p分别在ab、bc、ac上，如果ab21 cm，ca15 cm，求菱形amnp的周长。答案：35 cm变式2：如图，在abc中，有矩形defg，g、f在bc上，d、e分别在ab、ac上，ahbc交de于m，dgde12，bc12 cm，ah8 cm，求矩形的各边长。 答案：

3、 cm， cm【例3】如图，已知p为abc内一点，过p点分别作直线平行于abc的各边，形成小三角形的面积、，分别为4、9、49，求abc的面积。解：设mp，rt，pn，由于、都相似于abc，设abc的面积为，ab，则有，三式相加得：，故【例4】如图，已知，在边长为1的正方形abcd的一边上取一点e，使aead，从ab的中点f作hfec于h。（1）求证：fhfa；（2）求ehhc的值。证明：（1）连结ef，fc，在正方形abcd中，adabbc，ab900aead，f为ab的中点，eaffbc，aefbfc，efacfbefc900， 又efcb900 efcfbchefbfc，ecfbcfae

4、fhef，afehfeeafhef fhfa（2）由（1）得，由（1）易证ehfefc，从而可得，同理，于是ehhc14变式：如图，在矩形abcd中，点e在bc上，点f在cd上，且ecbc，fccd，fgae于g，。求证：ag4ge。（提示：证ecffda得efaf12，再证efgeaffag即可）【例5】已知，在abc中，acb900，过c作cdab于d，ad，bd，21，又关于的方程的两实数根的差的平方小于192，求整数、的值。分析：如图，易证abcadc，adbd21，即，再由方程两根差的平方小于192可得，又由判别式0知22，又为整数，1，2更多资料加q4650102032，1或4，2

5、 探索与创新：【问题一】已知：如图，在矩形abcd中，e为ad的中点，ef ec交ab于f，连结fc（abae）。（1）aef与efc是否相似，若相似，证明你的结论；若不相似，请说明理由。（2）设，是否存在这样的值，使得aef与bfc相似，若存在，证明你的结论并求出的值；若不存在，说明理由。解：（1）相似，如图证明：延长fe与cd的延长线交于点g。在rtaef与rtdeg中e是ad的中点aeed，aefdeg，aedgafedgee为fg的中点。又cefg，fcgc cfeg。afeefc，又aef与efc均为直角三角形aefefc。（2）存在。如果bcfaef，即时，aefbcf。证明：当时

6、，。ecg300。ecgecfaef300，bcf900600300。又aef和bcf均为直角三角形。aefbcf。因为ef不平行于bc，bcfafe。不存在第二种相似情况。跟踪训练一、填空题：1、在rtabc中，bac900，adbc于d，ab2，db1，则dc ，ad 。2、在abc中，ab12，ac15，d为ab上一点，bdab，在ac上取一点e，得ade，当ae的长为 时，图中的两个三角形相似。3、在rtabc中，ad为斜边上的高，则abbc 。二、选择题：在abc中，abc123，cdab于d，ab，则db（ ） a、 b、 c、 d、三、解答题：1、如图，在abc中，acb900，

7、cdab于d，为了求出ac，在图中你能找出哪些适当的条件？ 2、如图，cd是rtabc的斜边ab上的高，e是bc上任意一点，efab于f。求证：。3、如图，在rtabc中，cd是斜边ab上的高，点m在cd上，dhbm且与ac的延长线交于点e。求证：（1）aedcbm；（2） 4、已知，如图，在rtabc中，acb900，ad平分cab交bc于点d，过点c作cead，垂足为e，ce的延长线交ab于点f，过点e作egbc交ab于点g，求eg的长。跟踪训练参考答案一、填空题： 1、3，；2、10或；3、12；二、选择题：a三、解答题：1、ad、dc；ab、bc；ad、ab；ad、bd；ab、bd；c

8、d、bd；bd、bc；bc、cd；ad、bc；ab、cd等。2、由adcacb得，又由acdebf得，所以3、略4、4b例题解析知识考点：本节知识包括相似三角形的判定定理、三角形相似的判定及应用，这是中考必考内容。掌握好相似三角形的基础知识尤为重要。精典例题：【例1】如图，点o是abc的两条角平分线的交点，过o作ao的垂线交ab于d。求证：obdcbo。分析：此题不易得到边的比例关系，但o点是三角形的角平分线的交点，有多对相等的角，故宜从角相等方面去考虑。由角平分线及三角形内角和定理知：12dao900，再由aodo可得512，而534，从而1234，由13可得24，于是结论得证。 变式1：已

9、知如图，在abc中，adae，aode于o，de交ab于d，交ac于e，bo平分abc。求证：。变式2：已知如图（同变式1图），在abc中，o为两内角平分线的交点，过点o作直线交ab于d，交ac于e，且adae。求证：（1）bdooec；（2）。【例2】如图，在abc中，bac900，adbc于d，e为ac中点，de交ba的延长线于f。求证：abacbfdf。分析：由于abc和fbd一个是直角三角形，一个是钝角三角形，不可能由这一对三角形相似直接找到对应边而得结论，势必要找“过渡”的线段或线段比，这种寻找“中间”搭桥的线段或线段比是重要的解题技巧。证明：abac，adbc rtabdrtcad

10、，dacb 又adbc，e为ac中点 deae，daeade bade 又ff fadfdb 由得变式：本题条件、结论不变，而只改变图形的位置时，如下图所示，本题又该怎样证明呢？ 【例3】如图，梯形abcd中，adbc，becd于e，且bcbd，对角线ac、bd相交于g，ac、be相交于f。求证：。分析：由于fg、fa、fc三条线段在同一直线上，不能直接证明一对三角形相似而得结论。根据题设条件易得be是dc的垂直平分线，于是连结fd得fdfc，再证fdgfad即可。探索与创新：【问题一】如图，acbadc900，ac，ad2。问当ab的长为多少时，这两个直角三角形相似？略解：ac，ad2 cd

11、要使这两个直角三角形相似，有两种情况：（1）当rtabcrtacd时，有 （2）当rtacbrtcda时，有 故当ab的长为3或时，这两个直角三角形相似。【问题二】已知如图，正方形abcd的边长为1，p是cd边的中点，点q在线段bc上，设bq，是否存在这样的实数，使得q、c、p为顶点的三角形与adp相似，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由。略解：假设存在满足条件的实数，则在正方形abcd中，dc900，由rtadprtqcp或rtadprtpcq得：或由此解得：cq1或cq，从而或故当或时，adp与qcp。跟踪训练一、填空题：1、如图，在abc中，p是边ab上一点，连结cp，使acpabc

12、的条件是 。2、在直角坐标系中，已知a（3，0）、b（0，4）、c（0，1），过c点作直线交轴于d，使得以点d、c、o为顶点的三角形与aob相似，这样的直线有 条。3、如图，在abc中，c900，ac8，cb6，在斜边ab上取一点m，使mbcb，过m作mnab交ac于n，则mn 。 4、一个钢筋三角架长分别为20cm、50 cm、60 cm，现要再做一个与其相似的钢筋三角架，而只有长为30 cm和50 cm的两根钢筋，要求以其中一根为一边，从另一根上截下两段（允许有余料）作为两边，则不同的载法有 种。5、如图，在锐角abc中，bdac，debc，ab14，ad4，beec51，则cd 。二、选

13、择题：1、下面两个三角形一定相似的是（ ）a、两个等腰三角形 b、两个直角三角形c、两个钝角三角形 d、两个等边三角形2、如图，点e是平行四边形abcd的边cb延长线上一点，ea分别交cd、bd的延长线于点f、g，则图中相似三角形共有（ ） a、3对 b、4对 c、5对 d、6对三、解答题： 1、如图，在rtabc中，b900，abbeeffc。求证：aefcea。 2、如图，在四边形abcd中，abbc，addc，deac于e，交ab于f。求证：afdadb。3、如图，在梯形abcd中，abcd，d900，ab3，dc7，ad15，请你在ad上找一点p，使得以p、a、b和以p、d、c为顶点的两个三角形相似吗？若能，这样的p点有几个？并求出ap的长；若不能，请说明理由。 4、在边长为1的正方形网格中有a、b、c、d、e五个点，问