第三章 集合论基础

1、第三章 聚类分析,第一节 集合论基础,第二节 模糊集合的基本知识,第三节 模糊聚类分析,第四节 动态聚类分析,第五节 系统聚类分析,第一节 集合论基础 集合论是进行系统分析的重要理论基础。尤其是其中许多概念，方法等，在系统分析中有哲广泛的应用。因此介绍有关集合论的基础知识，对深刻理解和掌握系统工程的基本理论和方法有着重要意义。,一 几个逻辑运算符号,以上三个运算符号被广泛应用。下面用真值表来说明它们的物理意义。 设 p、q 为两个逻辑变量 其取值为: 则、真值表如表所示。,表 3-1 、 、真值表,由表可知：逻辑非（）具有反意词的意义。如代表学生，则表示不是学生；逻辑与（）、逻辑或（）代表两个

2、逻辑变量的运算结果。对于逻辑与（）来讲，当、同时为时，为，否则为假（）。对逻辑或（）来讲，则与至少有一个为，为，否则为（）。 对真值表的理解，从简单的开关电路中看的更为清楚。设、代表两个电源开关，开关关上为，打开为。电路的灯泡则代表逻辑与（）和逻辑或（），电灯泡亮为，不亮为。显然，图开关串联电路中的灯泡亮与不亮则表示逻辑与（）的取值，图的开关并联电路中的灯泡亮与不亮则表示逻辑或（）的取值。,p,q,p q,图 3-1 开关串联电路,图 3-2 开关并联电路,p,q,p q,条件语句 条件语句是表示逻辑变量之间，或等式之间相互因果关系的一种表达形式,分为单向条件语句和双向条件语句。 （）单向条件

3、语句记成“”，读作有必有。若为，且有为，则单向条件语句成立，；反之若为，而为，则条件语句不成立，。 （）双向条件语句记成“”，读作有必有，有必有。若为（），且有为（f)，则双向条件语句成立，；若为(f)，而为f()，则条件语句不成立，。 同样，条件语句的物理意义也可用真值表说明，见表。,表 3-2 条件语句真值表,量词 在数学描述式中，特别是在集合论中，经常用到下面两个量词： ()万有量词，可读成“全部”、“所有”、“一切”。如 ， 等。 ()存在量词，可读成“总有”、“至少有”。如 ,读成至少一个 属于 ，而 不属于 。,二 普通集合的基本概念 1. 集合与元素 当我们把一群确定的事物当作整

4、体来考察时，则该整体就叫作集合，或简称集。例如某学校的全体教职员工可视为一个集合；全体教职员工、教学实验设备等也可视为一个集合，习惯上，我们常用大写字母、表示集合，集合中的每一个具体事物叫做这个集合的元素（或简称元），并用大括号括起来，以表示是一个整体。集合的元素一般用小写字母、来表示。例如已知集合为 a=a1 , a2 , , an 说明集合a中含有n个元素。我们又定义集合中元素的个数叫集合的势或基数，记。,当集合中的元素为有限个时，叫有限集合，集合中的元素为无限时叫无限集合。 元素与集合的关系不是属于关系就是不属于关系，二者必居其一。 若是集合的一个元素，即属于，记为，若不是集合的一个元素

5、，即不属于，记为。 上述元素与集合的关系可用特征函数来描述，即,2. 集合的表示方法 集合的表示方法有多种多样。就给定的集合来讲，一般有三种表达形式： ()列举法 指把集合中的所有元素一一列举出来的方法。如1,2,3,4, b=b1,b2,b3等。 ()趋势法 这种表达方法仅适用于集合中元素的排列具有某种规律性，此时只需列举出有限个元素，其余元素可用省略号“”表示。例如：a=,-1,0,1,2, b=a1 , a2 , , an,()描述法 又称谓语语句法，这是一种广泛应用的集合表示方法。其一般表达式如下 a=x|p(x) 式中：x表示集合元素； p(x)-作为谓语，用以说明x是什么，或在什么

6、范围内变化。例如： x1 x 2 这里p(x)是说明集合的元素是由,闭区间全体实数组成的。又如： 此集合与 完全等价。,3. 集合的包含与相等 包含关系是用来描述集合与集合之间关系的一种表示方法。 设有、二集，如果属于的元素全部属于，则称作的一个子集，或说集包含集，记成 b，或a。其数学描述如下： 一个集合a称为的真子集，则与的关系叫真包含关系，记成。其数学描述如下： 例如：aa,b,b=a,b,c，则有。 根据包含关系，我们可定义两个集合相等的关系式，即 (3-3) 如果两个集合存在着包含关系的话，不是相等关系，就是真包含关系。(3-3)式则是全面反映了这两种关系。,注意：对于两个相等的集合

7、还有以下两个性质： ()重复元素没有意义，即 1,2,2,4=1,2,4 ()同一集合不同表达形式当然相等。例如： x|x(x-1)=0，=0,1 则。,4. 几个重要集合 ()空集 指不含有任何元素的集合。其表达式如下： xp(x)p(x) 式中谓语p(x)p(x)说明既满足(x)，又满足(x)的元素是不存在的。因为(x)为，p(x)为f，显然这样的x是不存在的，故为空集。 ()单元素集 只含有一个元素的集合叫单元素集，如a，b等。单元素集与单元素是两个完全不同的概念。如“学生”做为集合的一个元素，可能是男学生，女学生，也可能是若干个学生，而学生，则表示学生的全体。 ()全集u 指由论域全体

8、元素组成的集合叫全集，一般记成u 。其表达式为: u =xp(x)(x) 式中的谓语p(x) p(x)与并运算等价。意指满足(x)和不满足(x)都是集合的元素。,(4)幂集 设a为任意有限集合，则包含和在内的全部子集族称作集合的幂集，记为(a)。 例如： 当 根据上面的例子，我们归纳给出求幂集势的一般公式如下因为所以,三 直积集,顾名思言，直积集可表面理解成两个以上集合直接相乘而得到的集合。但事实并非完全如此。直积集又叫序集，它是建立在有序对概念基础上而定义的新集合，这也是它与普通集合的本质区别所在。为了给出直积集的一般定义。我们需首先介绍有序对的概念。,1. 有序对 在解析几何中我们知道，可

9、用一对有顺序的实数（x，）来表示平面座标上的一个点。某中规定所在位置叫第一座标，代表在轴上的取值；所在位置叫第二座标，代表在轴上的取值。显然，#!j=1,2,3,4) ，则便求得量化的模糊关系矩阵。假如通过某种准则对其量化后得到：,上面的例子是研究两个集合之间的模糊关系。而在许多情况下是探讨集上的模糊关系，如模糊聚类分析就是如此，即x在这里就是聚类单元全集。 设 ，求上的模糊相似关系。很明显，其模糊相似关系矩阵如下：,由上式我们可得出如下重要认识： ） ,我们定义成反身性，即自己与自己总是相似。 ） ，我们定义成对称性。 ）由上面两点可知，集上的相似关系矩阵是个主对角线为的对称矩阵。,模糊等价

10、关系,聚类分析的目的是把研究对象的组成单元分成若干个等价类、而任何一个等价类,都满足三个性质： ）反身性 ）对称性 ）传递性 如一个班级的同学关系就是一个等价类。,我们已经知道，集上的模糊相似关系已满足反身性和对称性要求，唯独是否满足传递性还不清楚，因此，还必须在此基础上求出模糊等价关系。模糊等价关系定义如下： 设 是上的一个模糊关系，若满足：） 满足反身性） 满足对称性） 满足传递性,为了在模糊关系的基础上求模糊等价关系，有如下定理： 设 是上的一个模糊关系，且|x|=n，则必有，使下式成立则 便是上的模糊等价关系，记为 （此定理证明从略） 在应用本定理求模糊等价关系时，可取 的偶次幂， 这样可节省大量计算时间，下面举例加以说明。,例如，已知如下模糊关系矩阵 显然， 满足反身性和对称性，但是否满足传递性还不得而知，为此要进行矩阵合成运算，即连续