平面向量的数量积教案

1、平面向量的数量积教案南昌市铁路一中章建荣考纲要求：掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解用平面向量的数量积处理有关长度、角度、垂直问题，掌握向量垂直的条件高考预测：(1)客观题-考查数量积的定义、性质及运算律，难度较低(2) 主观题-以平面向量的数量积为工具,考查其综合应用,多与函数、三角函数、不等式联系，难度中等教学目标：(i)知识目标：(1) 掌握平面向量数量积的概念、几何意义、性质、运算律及坐标表示(2 )平面向量数量积的应用(ii)能力目标：(1)培养学生应用平面向量积解决相关问题的能力(2) 正确运用向量运算律进行推理、运算教学重点：1.掌握平面向量的数量积及其几何意义2. 用数量积

2、求夹角、距离及平面向量数量积的坐标运算教学难点：平面向量数量积的综合应用教 具：多媒体教材教法分析：本节课是高三第一轮平面向量数量积复习课，重点掌握平面向量数量积及几何意义用数量积求夹角、距离及平面向量数量积的坐标运算渗透化归思想以及数形结合思想教学过程：一、追溯1. 平面向量数量积(内积)的定义：已知两个非零向量 a与b，它们的夹角是0，则数量I a | b |cos v 叫a与b的数量积，记作 a b，即a b = | a | b |cos (0 _二-:)并规定0与任何向量的 数量积为0+2平面向量的数量积的几何意义：数量积a b等于a的长度与b在a方向上投影|b |cosv的乘积3.

3、两个向量的数量积的性质设a、 b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量1 e a = a e =|a|cosr； 2a_b：=ab = 03当a与b同向时，a b = | a |b |；当a与b反向时，a b = -|a |b |，特别地a a = | a |2a b-4 cos； 5 |a b | |a|b |a|b |4. 平面向量数量积的运算律交换律：a b = b a数乘结合律：(，a) b =，(a b ) = a b )分配律：（a + b） c = a .c + b c5. 平面向量数量积的坐标表示 已知两个向量 a =（xi，yj , b =（x2,y2）,则 a b XiX?

4、 - y2. 设 a = （x, y），则 | a |= . x2 y2 . 平面内两点间的距离公式如果表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为2 2（Xi,yJ、（X2,y2），那么 |a|= （Xi-X2）（%-丫2）. 向量垂直的判定 两个非零向量a （x-yj，b =（x2,y2），则a _b = x1x2 - y2 =02 2x 2y2两向量夹角的余弦COSr = a b X1X2 y1 y2|a|b| 扶2+ y12二、典型例题1平面向量数量积的运算 例题1已知下列命题： a (a) =0;(a b) c = a (b c);芯；（2其中正确命题序号是、.七,若(1)aiib；

5、(2)a_b；(3)a与b的夹角为3。,分别求ab.dJb= a11 b cos180 = 2 汉 5“1) = 10.点评：掌握平面向量数量积的含义，平面数量积的运算律不同于实数的运算律例题2已知a =2, bcos00 = 2 5 1 =10 或解当a|b时,茁a_b = a b cos90 = 2汉5:0 = 0.当酩的夹角为300时，也帥cos305血变式训练:已知 a =(cos23,cos670), b =(cos68,cos22 0)，求 ib二 sin 450解:alb 二 cos23 cos68 cos67 cos22 = cos23sin 22 sin 23 cos22点评

6、：熟练应用平面向量数量积的定义式求值，注意两个向量夹角的确定及分类完整2. 夹角问题呻 N 彳 *4 斗耳44例题3 （20XX年北京）若a =1,b =2,c = a+b,且c丄a,则向量a与向量b的夹角为（）0 0 0 0A. 30 B. 60 C. 120 D. 150呻中呻2 彳10解:依题意 a(a+b)=0二 a + a b cos日=0= cos = -一二日=120 故选 C 2学生训练:已知斗=2,冲=3,目_b = J7,求向量a与向量b的夹角已知 a =(1,-2),b =(4,2)卫与(a-b)夹角为二,则 cost -.解:打仁忙2牯+畀7匚込羅=依题意得(a b)

7、= (-3, -4) = cos 二=a|b|? _b)_ _3 8 _ .、5 一5汉 75 531，故夹角为60.2 32a a -b变式训练：已知a,b是两个非零向量，同时满足a -b ,求a与a b的夹角法一解:将a=芯弓|心爭2,+ =jy+菲|餉 +b| a3|a二a _b两边平方得a b=J；;? 2苏二历 a2公，故為:的夹角.为30.2法二：数形结合点评:注意两个向量夹角共起点，灵活应用两个向量夹角的两种求法3. 向量模的问题例题4已知向量a,b满足a=6, b= 4 ,且a与b的夹角为60,求a+b禾和a 3b=12;a3b解:t a =6, b =4,且a与 b的夹角为6

8、0.外a+Q=ja +2；|_b+b =776=219变式训练：（20XX年湖北）已知向量a =（2,2）,b = （5,k），若 a+b不超过5,则k的取值范围（）A. -4,6B. 6,4C.6,2D. 2,6（20XX年福建）已知a与b的夹角为120, a=3, a+b= JT3，则等于（）B. 4C. 3D. 1解:；a +b= (3,k+2)= T a+b2；筍,2)29 空5,= 6 k 空2- |a 2 ab cos1200 b故选C= 13,解得b =4,故选B点评:涉及向量模的问题一般利用a2二a，注意两边平方是常用的方法4.平面向量数量积的综合应用例题 5 (20XX 年全

9、国卷)已知向量 a = (Sinr,1),b (1,cos“ -一:二:-2 2(1)若a丄b,求日;求a+b的最大值.JIJIJI解：(1)右 a I b,则 sin v cos v - 0 ,= tan - _ 1,(：二:).n -224(2) a = J(sin 日 +1)2 +(1 +cos日)2 = j3 + 2(sin 日 +cosT) = 3 + 2/5sin(日 +)二 二 二 二 3 二二 . 2V iQSW J (-1 brit t 呷5 =4时，十的最大值为.3 2( .2 1)22 1.例题 6 已知向量 a =(cosa,sinot), b = (cos0,sin

10、B)，且 a,b满足 ka + b =(1)求证(a b)_(a-b)；将a与b的数量积表示为关于k的函数f(k)；(3)求函数f (k)的最小值及取得最小值时向量a与向量b的夹角v .解：(1) . a (cos： ,sin ： ),b = (cos ： ,sin -)2 2 2 2a b)U(a-b)=a -b =|a| -时=1-仁0,故(a b)_(a-b)(a-+ 24ka +b=3a - kb(2) 丁 ka +b=.3 a-kb,2,又.；2=b2=1. k2 2k； 1=3-6k：； 3k2,(k -0)故 f(k“J,(k0).4k4k f(k)k丄_2.k4二，此时当k =1, f(k)