上海市金山区山阳镇九级数学下册24.5三角形的内切圆课件新版沪科版06071131

1、24.5 三角形的内切圆,九年级(下册),初中数学,回顾反思,从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。,切线长定理,如图,一张三角形的铁皮,如何在它上面截下 一块圆形的用料,并且使圆的面积尽可能大呢?,I,D,思考,三角形的内切圆：,与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆,三角形的内心：,三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心,三角形的内心是三角形三 条角平分线的交点，它到 三角形三边的距离相等。,概念介绍,已知:如图,O是RtABC的内切圆,C是直角,三边长分别是a,b,c.求O的半径r.,Rt的三边长与其内切圆半径间的关系,探 究,(1)求直角

2、三角形内切圆的半径,P43习题25、6 第 5题,解（1）如图,O是RtABC的内切圆,13,求直角三角形内切圆的半径,AD=AF，CE=CF，BD=BE,a+b-c=AF+FC+CE+BE-AD-BD=CE+CF =2CE,= SAOB+SBOC+SAOC,1/2ab=1/2ra+1/2rb-1/2rc,（2）连接OA、OB、OC，则SABC,解（1）如图,O是RtABC的内切圆,13,求直角三角形内切圆的半径,AD=AF，CE=CF，BD=BE,a+b-c=AF+FC+CE+BE-AD-BD=CE+CF =2CE,= SAOB+SBOC+SAOC,1/2ab=1/2ra+1/2rb+1/2

3、rc,（2）连接OA、OB、OC，则SABC,(2)求一般三角形内切圆的半径,已知:如图,ABC的面积为S,三边长分别为a,b,c. 求内切圆O的半径r.,已知:如图,ABC的面积为S,三边长分别为a,b,c.求内切圆O的半径r.,解：连接OA、OB、OC，则,SABC = SAOB+SBOC+SAOC,S=1/2ra+1/2rb-1/2rc,例、如图，ABC中, ABC=43，ACB=61 ,点I 是ABC的内心，求 BIC的度数。,A,I,C,B,例题讲解,变式：ABC中, A=40，点I是ABC的内心，求 BIC的度数。, BIC= 90+ A,，因为I 是ABC的内心， 所以IB、IC

4、平分 ABC、 ACB， 在IBC中 BIC=1800-（ IBC-ICB） =1800-（ ABC+ ACB）/2 =1800-（430+610）/2=1280 因而， BIC为1280,解：连接IB、IC,例2、 已知：ABC是O外切三角形，切点为D，E，F。若BC14 cm ，AC9cm，AB13cm。求AF，BD，CE。,A,B,C,D,E,F,x,x,y,y,z,z,解:设AF=Xcm,BD=Ycm,CE=Zcm则AE=AF=Xcm,DC=BD=Ycm,AE=EC=Zcm,依题意得方程组,14,小练习,1.边长为3、4、5的三角形的内切圆的半径为,2. 边长为5、5、6的三角形的内切

5、圆的半径为,3. 已知:ABC的面积S=4cm,周长等于10cm.求内切圆O的半径r.,1、如图， ABC的内切圆O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，且AB=9cm，BC=14cm，CA=13cm，求AF、BD、CE的长。,x,13x,x,13x,9x,9x,例题分析,2、ABC的内切圆半径为 r , ABC的周长为 l ,求ABC的面积。（提示：设内心为O，连接OA、OB、OC。）,O,A,C,B,r,r,r,若ABC的内切圆半径为 r , 周长为 l , 则SABC= lr,例题分析,知识拓展,一、直角三角形的外接圆与内切圆,1.直角三角形外接圆的圆心(外心)在_，半径为_.,a,

6、b,c,斜边中点,斜边的一半,知识拓展,3.RtABC中,C=90,a=3,b=4,则内切圆的半径是_.,1,4.直角三角形的外接圆半径为5cm,内切圆半径为1cm,则此三角形的周长是_.,22cm,2.直角三角形内切圆的圆心(内心)在_， 半径r=_.,三角形内部,回顾反思,1.切线长定理,从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。,回顾反思,2.三角形的内切圆、内心、内心的性质,1、如图，一圆内切于四边形ABCD，且AB=16，CD=10，则四边形的周长为( ) （A）50 （B） 52 （C）54 （D） 56,课堂练习：,B,2、已知，如图，

7、PA、PB是O的两条切线，A、B为切点.直线 OP 交 O 于点 D、E，交 AB 于 C. （1）写出图中所有的垂直关系； （2）如果 PA = 4 cm , PD = 2 cm , 求半径 OA的长.,课堂练习,解：（1）OAPA，OBPB，PEAB,（2）设半径为r,则PA2=PDXPE =PD（PD+2r),解得，OA=r=3,3、试一试：如图ABC中，C90，AC6，BC8，三角形三边与O均相切，切点分别是D、E、F，求O的半径。,课堂练习,AB2=AC2+BC2=62+82=100，AB=10,证明：等边三角形的内心与外心重合，并且外接圆半径是内切圆半径的2倍,如图：等边ABC中，

8、I为圆心， 内切圆半径为r，外接圆半径为R 求证：I为外心R=2r 证明：连接AI、BI、CI，并延长；分别交对边于D、E、F I是内心 AD、CF、BF分别是ABC的角平分线， 又ABC是等边三角形，由等边三角形“三线合一”知 AD、BE、CF是ABC的三条高，也是三角形的中线， I是外心 ：由知，BI=R，ID=r。在RtBID中IBD=1/2ABC=30 ID=1/2IB，即R=2r,P43习题25、6 第 2题,解：设等边三角形ABC， 过点A作AD 垂直于BC 垂点为D，过B点做BE垂直于 AC 垂点为EAD与BE相交于点I ， 连接CI，并延长CI交AB于GFAD和BE为高，而AB

9、C是等边三角形BD=AE=1/2AC，CBE=DAC=30BEA=BDA=90BDIAEIBI=AFI，又BC=AC，CI=CI BICAICBCFACF，所以CFABID，IE，IF分别垂直于AB，BC，AC ，I就是ABC的内心BI=IC， BD=CD， DI=DI。 BDICDI ， BF=CF。同理可得 BI=CI。F 为ABC的外心，且DI为内切圆半径， BI为外接圆半径，又ADBC，所以三角形BDI为直角三角形。又FBI=1/2ABC=30， ID=1/2BI,用全等三角形详解,如图，圆O为ABC的内切圆，切点为E、F、G,C=90，AO的延长线交BC于点D，AC=4,CD=1.求

10、圆O的半径r,解：连接OF，OE，则OFCE为边长为r的正方形 OED ACD故OE：ACDE：DCr：4（1r）：1解得：r45,解：连接BE，点E为ABC的内心，BAD=DAC， ABE=EBCBD=DCDAC与DBC都是 弧DC所对的圆周角，DAC=DBC=BAD，EBD=CBD+CBE，BED=ABE+BAD，EBD=BEDBD=ED BD=ED=DC,4.已知，如图，在ABC中，点E是内心，延长AE交ABC的外接圆于点D，连接BD、DC、EC，求证：DB=DC=DE,2、已知：在ABC中，BC14cm，AC9cm，AB13cm，BC，AC，AB分别与O切于点D、E、F，求AF，BD和

11、CE的长。,分析：利用切线长定理可以得到AE=AF，BF=BD，CD=CE，因而可以设AF=xcm，BD=ycm，CE=zcm，根据BC=14cm，AC=9cm，AB=13cm即可得到一个关于x，y，z的方程组，即可求解,解：设AF=xcm，BD=ycm，CE=zcmAF、AE是圆的切线AE=AF=xcm，同理：BF=BD=ycm，CD=CE=zcm根据题意得 解得， 即：AF=4cm，BD=9cm，CE=5cm,如图，在ABC中BC=14cm，AC=9cm，AB=13cm，内切圆O分别和BC、AC、AB切于点D、E、F，求AF、BD、CE的长,x+y=13 x+z=9 y+z=14,x=4，y=9，z=5,1.已知：两个同心圆PA、PB是大圆的两条切线，PC、PD是小圆的两条切线，A、B、C、D为切点。求证：AC=BD,布置作业,3、以正方形ABCD的一边BC为直径的半圆上有一个动点K，过点K作半圆的切线EF，EF分别交AB、CD于点E、F，试问：四边形