离散时间信号处理奥本海姆第二版课后答案第四章

1、第四章 变换4.1 求下列序列的z变换，包括收敛域： （a） （b） （c） (d) （e） （f） （g） 解： (a) 收敛域为 ； （b） 收敛域为 ； （c） 收敛域为 （d） 收敛域为整个平面； （e） 收敛域为 ； （f） 收敛域为； （g） 收敛域为；4.2 求序列z变换解：令 而4.3求下列每个序列的变换，包括收敛域，并画出零极点图。全部以闭式表示，可以为复数。（a），（b） （c） 解:（a） ()零极点图如下：(b) ，零极点图如下： (c)。由z变换性质：，零极点图如下：4.4 （a）勿需显式解出，求下列每个变换的收敛域。（i）（ii）（iii）（b）上述序列中哪些傅里叶

2、变换收敛？解：（a）（i）：。（ii）：且。（iii）即：设，两者类比，可得：。4.5 令是一个因果序列，即，。另假定 (a) 证明没有极点或零点在处，即非零且有限。(b) 证明在有限z平面极点数等于零点数。（有限z平面不包括。） 解：（a） 非零且有限。（b） 假设 ，其中为零点数，为极点数，由（a）知，不趋于，所以又，所以 即零点数等于极点数。4.6考虑z变换,其零极点图如图4.6所示. 若已知傅立叶变换存在,确定的收敛域,并确定这时的序列是右边,左边或双边序列. 有多少可能的双边序列都有如图p4.2所示的零极点图? 对于图p4.6所示的零极点图有无可能有一个既稳定又因果的序列与其对应?若

3、有,请给出相应的收敛域.解：（a）若包含单位圆，则的收敛域只能为，由于收敛域是一个圆盘，所以序列为双边序列。 （b）由极零图可知 根据收敛域不同可能有4种序列： 1) , 此时为左边序列 2) 3) 4) 为右边序列. 综上可知只有2),3)两种可能的双边序列. (c) 若为因果序列,则为右边序列. 此时只可能取这个收敛域, 因此不稳定,所以不可能有一个既因果又稳定的序列与其对应.4.7求具有如下变换的序列：解: 4.8 分别用部分分式展开法和幂级数展开法，求下列各式的反变换。（a），（b）（c）（d）（e）解：（a），部分式展开：在时，。幂级数展开：在时， 即：（b）部分式展开：在时，。幂级

4、数展开：在时， 即：（c）部分式展开：时，即：幂级数展开：时，即：（d）同（a）。（e）原式可化为：。部分式展开：时，幂级数展开：时，其中：；。即：。4.9 以下给出的是四个z变换，确定哪一些可能是一个因果序列的z变换。不用求出z变换，凭观察就应该能够给出答案，对每种情况清楚陈述你的道理。 （a） （b） （c） （d） 解: 由题意，时， 处不能有极点。 （a） 系统是因果的。( b) 系统是非因果的。（c） 系统是因果的。 （d） 系统是非因果的。4.10 考虑具有z变换为的序列;其中和都是z的多项式.如果该序列是绝对可加的，且的全部根都在单位圆内，该序列一定是因果的吗？若回答：是，请明确

5、给予解释。如果回答：否，请给出一个相反的例子。 解: 不是. 令 其根为,在单位圆内,但不是因果的.4.11考虑一个右边序列有如下的变换：在4.3节曾考虑过将作为得多项式之比，然后用部分分式展开来求，现在请把作为得多项式之比，再作部分分式展开，从该展开式中求解:一个右边序列的变换如下： 令，则有以下的方程组：时又已知，那么时时， （） （） 4.12 求下列各式的反变换，（a）（c）按要求方法做，（d）随意。（a）长除法：为右边序列；（b）部分分式展开法：为稳定序列；（c）幂级数法：（d）解：（a）由为右边序列，可得应有。其中的处理用长除法，即：即：。（b）其中各分式分别有如下的反变换：为稳定

6、序列；应有：，（c）幂级数展开：。（d）设，；即。又，。即：，其中。4.13用任何方法求下列每个z变换：（a）， 稳定序列（b）（c）, 左边序列 解：（a） 由围线积分定理 在围线内极点处的留数 的极点为 ， ， (b) （c） 左边序列 4.14求下列各z反变换。你应该发现4.4节z变换的诸性质是有助于解题的。 解: (a)为左边序列 而 （b） (c) = 4.15变换，求该序列。（用幂级数展开法）解: 由级数展开的知识可知：,n为整数。4.16 求的反变换，用（a）幂级数（b）首先将微分，然后用微分后的结果来回复。解：（a）利用幂级数展开，则有：。（b）又 ，。4.17 令是一个因果稳

7、定序列，其z变换为，在第十二章将定义复倒谱作为对数的反变换，即， ， 其中的roc包括单位圆。（严格讲，取某个复数的对数要仔细考虑。再者，一个有效z变换的对数可能不是一个有效的z变换，这些证明都延至第十二章去讨论，目前暂假定都成立。） 求下列序列的复倒谱： ， 。 解 ， ，4.18对下列序列求z变换和收敛域，并画出零极点图。 解: (a) 极点：z=a,b,c 零点：z=0 (b) 极点z=a 零点z=0,-a （c） 任意z 无零极点4.19 图p4.19相应于一个因果序列的变换的零极点图。画出的零极点图。这里，同时标出的收敛域。极点：，零点：图p4.19解: 而可以写成如下的形式：（k为

8、常数）那么的极点就是：;。没有零点。的零极点以及收敛域如下图：4.20 设是具有如图p4.20所示零极点分布的序列，对下面序列画出对应的零极点分布图。（a）（b）图p4.20解：（a）。所以可得的零极点分布如图解4.20-1。图解4.20-1（b）。所以可得的零极点分布如图解4.20-2。图解4.20-24.21 考虑一个稳定的线性时不变系统，其冲激响应，输入如下：（a） 用和的离散卷积求输出（b） 用输入和冲激响应z变换乘积的z变换求输出。解： (a) 和的离散卷积为 当时， 当时， 当时， （b） 收敛域为。时， ；时 在处有高阶极点又在处的留数为 ， 当时，仅在处有单极点 4.22 考虑

9、一个稳定的lti系统，其冲击响应的z变换为假设输入是单位阶跃序列。用计算与的离散卷积求输出。用计算的z反变换求输出。 解:（a） = （b） 4.23求因果系统的单位阶跃响应，其冲激响应的变换为：解: 4.24 对于一个lti系统，若其输入，则有：。（a）求该系统的冲激响应。（b）求对应的变换，并画出它的零极点分布图。（c）该系统是稳定的吗？（d）该系统是因果的吗？解：由题意可得：当时，。（a）。零极点分布如图解4.24。图解4.24（b）。（c）由零极点分布图可知极点为，单位圆内，故系统不稳定。（d）由，可得系统非因果。4. 25 一个因果的lti系统的输入是 这个系统输出的变换是 （a）

10、求该系统冲激响应的变换，表明收敛域。（b） 的收敛域是什么？（c） 求解（a） 收敛域为 又 的为整个平面 （b） 的收敛域为 （c） 的收敛域为 4.26一个因果lti系统的系统函数是系统的输入是 求对全部n的系统的冲击响应。 求对全部n的输出。 该系统是稳定的吗？即是绝对可加的吗？ 解:（a） （b） （c）因此系统稳定。4.27一个因果的lti系统有冲激响应，它的变换是（a）的收敛域是什么？（b）系统是稳定的么？请解释。（a） 某一输入，产生的输出为：求的变换。（d）求系统的冲激响应。 解: （roc）收敛域包括单位圆，那么序列绝对可和，因此系统是稳定的。 解出待定系数为:4.28 设是

11、实偶序列，即；且是的一个零点，即。（a）证明也是的一个零点。（b）还有其他关于零点的信息隐含在所给信息中吗？（a）证明：因为是实偶序列，所以：。即当时，必有。结论得证。（b）单位圆内和单位院外得零极点个数相等，且均为相对单位圆对称分布，即零极点总是 和对应出项。4.29 利用z变换定义式（4.2）证明：如果是的z变换，那么 （a） （b）（c）（d） 解：（a） (b) (c) (d) 4.30考虑一个实序列，其z变换的全部零极点都在单位圆内。利用求另一个实序列，不等于，但是有并且的z变换其全部零极点也在单位圆内。 解：令 可知 且 因此的全部极点仍在单位圆内。4.31一个实的有限长序列，若它

12、的变换没有零点位于共轭倒数对的位置上，且也没有零点在单位园上，则唯一地可以由其傅立叶变换的相位来确定，除去一个正的幅度加权系数外。在共轭倒数对的零点的一个例子。即使我们能够产生某些序列，他们不满足以上的条件，但是几乎任何有意义的序列都满足这些条件，因此这些序列是唯一地有它的傅立叶相位来确定的，除去一个正的幅度加权系数外。 考虑一个序列，它是实的，在以外为零。它的变换没有零点位于共轭倒数对的位置上，也没有零点在单位圆上。我们希望建立一个算法，要从来恢复 ，是的傅立叶变换的相位，c是一个正的幅度加权系数。(a)给出一组(n-1)个线性方程组，它的解将提供从恢复的，但是有一个正的或者负的幅度加权系数

13、。你不必证明这(n-1)个线性方程组有唯一解。同时证明如果已知而不是刚才的，那么幅度加权系数的符号就能确定。(b) 假设为：利用（a）建立的方法，说明可以由确定，这里c是一个正的幅度加权系数。4.32 证明：若在时为零，则有。若在时为零，情况又是如何？证明：（i）在时为零，。（ii）当条件变为在时为零，则。结论变为：。 4.33 考虑一个序列，其z变换是 收敛域包括单位圆。利用习题4.32导得的定理求。 解： 的第一项在处有极点，收敛区域包括单位圆在极点的外部，所以它对应于一个因果序列，故可用习题4.32的结果来求 第二项在处有极点，收敛域包括单位圆，在极点的内部 时，为，也可用4.32的结果

14、来求 4.34一个实值稳定序列的非周期自相关函数定义为证明的z变换是确定的收敛域。假设。图示出的零极点及其收敛域。同时用求的z反变换求。给出另一个序列，它不等于中的，但有与相同的自相关函数。给出第三个序列，它不等于相同的自相关函数。 解:（a）证明： 若收敛域为，则收敛域为 （b） 因此只有时才存在，其收敛域为，且有 极点 零点z=0 (c) (d) 4.35能否对应某个序列的变换，说明你的理由。4.36 对下列各式用围线法求反变换。（a），（b）（c）（d）（e）解：（a）。其中围线可取半径大于，圆心在原点，且逆时针方向的圆。当时，；当时，变量替换，则积分式变为，其中围线可取半径小于4，圆心

15、在原点，且逆时针方向的圆。当时，。综合，可得：。（b）其中围线可取半径小于，圆心在原点，且逆时针方向的圆。当时，围线内无奇异点，即；当时，变量替换，则积分式变为，其中围线可取半径大于4，圆心在原点，且逆时针方向的圆。即：有奇异点。当时，。综合，可得：。（c）其中围线可取半径大于，圆心在原点，且逆时针方向的圆。当时，；当时，变量替换，则积分式变为，其中围线可取半径小于2，圆心在原点，且逆时针方向的圆。当时，。综合，可得：。（d）其中围线可取半径大于，圆心在原点，且逆时针方向的圆。当时，；当时，变量替换，则积分式变为，其中围线可取半径小于3，圆心在原点，且逆时针方向的圆。当时，。综合，可得：。（e

16、）其中围线可取半径大于，圆心在原点，且逆时针方向的圆。当时，；当时，变量替换，则积分式变为，其中围线可取半径小于，圆心在原点，且逆时针方向的圆。当时，。综合，可得：4.37 考虑一个稳定的lti系统，其冲激响应的z变换是 假设系统输入，求时的。 解： 当时， 4.38假设变换为同时已知是一个稳定序列。 求的收敛域。 解:（a）我们已知全部稳定序列都有傅立叶变换，因此若稳定，则roc必包含单位圆。 （b） c取单位圆逆时针方向 单位圆内只有一个极点 4.39假设的变换为：（a） 设是一个稳定序列，求的。（b） 设是一个左边序列，求的。（考虑用4.5节讨论的围线积分）解:（a）若是一个稳定序列，则

17、收敛域（roc）包含单位圆，由收敛域的性质，那么收敛域（roc）如下形式出现：则： （b）当是一个左边序列时，收敛域（roc）以的形式出现，是模值最小的极点。即，这是4.40 在用围线法求反变换时，对于的情况往往用变量置换可得到比较简单地得到结果。例如，当积分线取单位圆时，就有将单位圆外映射到单位圆内地简化效果；反之亦然。然而不用这种置换也可以得到相同的结果。值得使自己确信的是，这两种方法得到的结果是相同的。现令收敛域包括单位圆。（a）不用置换计算点的级数，以求得、和。（b）不用置换求时的；用置换法求时的。解：（a）依题意，可得：，其中围线可取逆时针方向的单位圆。当时，；当时，；当时，。（b）

18、时， 其中围线取逆时针方向的单位圆，无奇异点。时，变量替换，则积分式变为，其中围线取逆时针方向的单位圆，奇异点为，即：综合，可得：。4.41 令是z 的多项式之比，即 。 证明，如果在有一个单阶极点，那么在的留数就等于 ， 式中为的导数在的值。解： 在处有一个单阶极点 4.42假设是一个有理函数，即这里都是多项式。再假设 没有阶数大于1的多重零点和极点。令c是一个简单的逆时针方向的闭合围线，z和p分别是包围在围线内的零点和极点数。（假设在c上没有零点和极点。） 的导数。 用极坐标来表示，证明沿着围线c绕过一周，的改变是。（这个结果也能推广到多重极点和零点的情况，只要根据它们的重阶数来计算极点和零点即一个二阶极点就按二倍计算。）解：（a）证明：令它共有z+p个极点。令代表使的点，且在c内的点i=1，2，p 代表使的点,且在c内的点j=1,2,z考虑res,由于各极零点均为一阶,同理(b)证明: 4.43 是一个因果稳定序列的变换，求下列表示式的数值解。（该表示式可以认为是幅度平方对数的均值）（提示：把这个表示式作为在一条特殊围线上的积分并用柯西积分定理来求。）解: 是一个因果稳定序列的变换（收敛域包括单位圆，所有的极点都在单位圆内），（c为逆时针方向的单位圆）（