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文档简介

1、充分条件与必要条件编稿:张希勇审稿:李霞【学习目标】1理解充分条件、必要条件、充要条件的定义;2会求某些简单问题成立的充分条件、必要条件、充要条件;3会应用充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件表达命题之间的关系.4.能够利用命题之间的关系判定充要关系或进行充要性的证明【要点梳理】要点一、充分条件与必要条件充要条件的概念/符号pq与pq的含义/“若p,则q”为真命题,记作:pq;“若p,则q”为假命题,记作:pq.充分条件、必要条件与充要条件若pq,称p是q的充分条件,q是p的必要条件.如果既有pq,又有qp,就记作pq,这时p是q的充分必要条件,称p是q的充要条件.要

2、点诠释:对pq的理解:指当p成立时,q一定成立,即由p通过推理可以得到q.“若p,则q”为真命题;p是q的充分条件;q是p的必要条件以上三种形式均为“pq”这一逻辑关系的表达.要点二、充分条件、必要条件与充要条件的判断从逻辑推理关系看命题“若p,则q”,其条件p与结论q之间的逻辑关系/若pq,但qp,则p是q的充分不必要条件,q是p的必要不充分条件;若pq,但qp,则p是q的必要不充分条件,q是p的充分不必要条件;若pq,且qp,即pq,则p、q互为充要条件;若pq,且qp,则p是q的既不充分也不必要条件.从集合与集合间的关系看若p:xa,q:xb,若ab,则p是q的充分条件,q是p的必要条件

3、;若a是b的真子集,则p是q的充分不必要条件;若a=b,则p、q互为充要条件;若a不是b的子集且b不是a的子集,则p是q的既不充分也不必要条件.要点诠释:充要条件的判断通常有四种结论:充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件.判断方法通常按以下步骤进行:确定哪是条件,哪是结论;尝试用条件推结论,再尝试用结论推条件,最后判断条件是结论的什么条件.要点三、充要条件的证明要证明命题的条件是结论的充要条件,既要证明条件的充分性(即证原命题成立),又要证明条件的必要性(即证原命题的逆命题成立)要点诠释:对于命题“若p,则q”如果p是q的充分条件,则原命题“若p,则q”与其逆否命题“

4、若q,则p”为真命题;如果p是q的必要条件,则其逆命题“若q,则p”与其否命题“若p,则q”为真命题;如果p是q的充要条件,则四种命题均为真命题.【典型例题】类型一:充分条件、必要条件、充要条件的判定例1.指出下列各题中,p是q的什么条件?(1)p:(x-2)(x-3)=0,q:x=2;(2)p:c=0,q:抛物线y=ax2+bx+c过原点(3)p:一个四边形是矩形,q:四边形的邻边相等【解析】(1)p:x=2或x=3,q:x=2/pq且qp,p是q的必要不充分条件;(2)pq且qp,p是q的充要条件;/(3)pq且qp,p是q的既不充分条件也不必要条件.【总结升华】判定充要条件的基本方法是定

5、义法,即“定条件找推式下结论”.有时需要将条件等价转化后再判定.举一反三:【变式1】指出下列各题中,p是q的什么条件?(1)p:a=b,q:a和b是对顶角.(2)p:x=1,q:x2=1;【答案】/(1)pq且qp,p是q的必要不充分条件,q是p的充分不必要条件.(2)q:x2=1x=1或x=-1/x=1x2=1,但x2=1x=1,p是q的充分不必要条件,q是p的必要不充分条件.【变式2】判断下列各题中p是q的什么条件.(1)p:a0且b0,q:ab0(2)p:xy1,q:xy.【答案】(1)p是q的充分不必要条件.a0且b0时,ab0成立;反之,当ab0时,只要求a、b同号即可.必要性不成立

6、.(2)p是q的既不充分也不必要条件xy1在y0的条件下才有xy成立.充分性不成立,同理必要性也不成立.【高清课堂:充分条件与必要条件394804例2】例2.已知p:0x3,q:|x-1|2,则p是q的()(a)充分不必要条件(b)必要不充分条件(c)充要条件(d)既不充分也不必要条件【解析】q:|x-1|2,解得-1x3,亦即q:-1x2”的一个必要不充分条件为()a.x1b.x3d.x3【答案】a【变式2】(2015天津文)设xr,则“1x2”是“|x2|1”的()a充分而不必要条件b必要而不充分条件c充要条件d既不充分也不必要条件【答案】由|x2|11x211x3,可知“1x2”是“|x

7、2|1”的充分而不必要条件.故选:a.【变式3】(2015福建)若l,m是两条不同的直线,m垂直于平面,则“lm”是“l的()a充分而不必要条件b必要而不充分条件c充分必要条件d既不充分也不必要条件【答案】若lm,因为m垂直于平面,则l或l;若l,又m垂直于平面,则lm,所以“lm”是“l”的必要不充分条件,故选brrrrrrrr(【变式4】2016北京理)设a,b是向量,则“|a|=|b|”是“|a+b|=|a-b|”的()a.充分而不必要条件b.必要而不充分条件c.充分必要条件d.既不充分也不必要条件【答案】rrrrrrrrrrrr由|a+b|=|a-b|(a+b)2=(a-b)2ab=0

8、ab,故是既不充分也不必要条件,故选d.类型二:充要条件的探求与证明例3.设x、yr,求证:|x+y|=|x|+|y|成立的充要条件是xy0.【解析】(1)充分性:若xy=0,那么x=0,y0;x0,y=0;x=0,y=0,于是|x+y|=|x|+|y|如果xy0,即x0,y0或x0,y0,当x0,y0时,|x+y|=x+y=|x|+|y|.当x0,y0时,|x+y|=(x+y)=x+(y)=|x|+|y|.总之,当xy0时,有|x+y|=|x|+|y|.(2)必要性:由|x+y|=|x|+|y|及x、yr,得(x+y)2=(|x|+|y|)2,即x2+2xy+y2=x2+2|xy|+y2,|

9、xy|=xy,xy0.ac0,x1x2=c0,即x1,x2的符号相反,即方程有一个正根和一个负根.综上可得|x+y|=|x|+|y|成立的充要条件是xy0.【总结升华】充要条件的证明关键是根据定义确定哪是已知条件,哪是结论,然后搞清楚充分性是证明哪一个命题,必要性是证明哪一个命题.判断命题的充要关系有三种方法:(1)定义法;.(2)等价法,即利用ab与ba;ba与ab;ab与ab的等价关系,对于条件或结论是不等关系(否定式)的命题,一般运用等价法(3)利用集合间的包含关系判断,若ab,则a是b的充分条件或b是a的必要条件;若a=b,则a是b的充要条件.举一反三:【变式1】已知a,b,c都是实数

10、,证明ac0是关于x的方程ax2+bx+c=0有一个正根和一个负根的充要条件.【答案】(1)充分性:若ac0,方程ax2+bx+c=0有两个相异实根,设为x1,x2,a(2)必要性:若方程ax2+bx+c=0有一个正根和一个负根,设为x1,x2,且x10,x20,则x1x2=ca0,ac0综上可得ac0012若方程有两个负的实根,则必须满足-0ad=4-4a0a0;0a1综上知,若方程至少有一个负的实根,则a1;反之,若a1,则方程至少有一个负的实根,因此,关于x的方程ax2+2x+1=0至少有一个负的实根的充要条件是a1类型三:充要条件的应用例4.已知p:axr|x2ax10,q:bxr|x23x20,若p是q的充分不必要条件,求实数a的取值范围【解析】bxr|x23x20x|1x2,p是q的充分不必要条件,pq,即ab,可知a=或方程x2ax10的两根要在区间1,2内d01-a2a240或24+2a+101+a+10,得2a2.集且b不是a的子集,所以,或,解得c2,解得c2,1+c71-c7【总结升华】解决这类参数的取值范围问题,应尽量运用集合法求解,即先化简集合a、b,再由它们的因果关系,得到a与b的包含关系,进而得到相关不等式组,解之即可.举一反三:【变式1】已知命题p:1cx0),命题q:x7或x1,并且p是q的既不充分又不必要条件,则c的取值

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