知识梳理数列求和及其综合应用(高三文科)

1、数列求和与综合应用【考纲要求】1熟练掌握等差数列和等比数列的求和公式；2.掌握数列的通项an与前n项和sn之间的关系式3注意观察数列的特点和规律，在分析通项的基础上分解为基本数列求和或转化为基本数列求和，熟练掌握求数列的前n项和的几种常用方法；4.能解决简单的实际问题.【知识网络】公式法分组求和数列前n项和错位相减倒序相加裂项相消与函数、方程、不等式等综合应用与几何、实际问题等【考点梳理】纵观近几年的高考，在解答题中，有关数列的试题出现的频率较高，不仅可与函数、方程、不等式、复数相联系，而且还与三角、立体几何密切相关；数列作为特殊的函数，在实际问题中有着广泛的应用，如增长率、银行信贷、浓度匹配

2、、养老保险、圆钢堆垒等问题.这就要求同学们除熟练运用有关概念式外，还要善于观察题设的特征，联想有关数学知识和方法，迅速确定解题的方向，以提高解数列题的速度.与计算有关的问题主要有：求数列的某项，确定数列的通项公式，求有穷数列或无穷数列之和，计算数列的极限，将数列与方程，与不等式，与某些几何问题等联系起来，从而解决有关问题.有关定性问题的论证问题主要有：考察或论证数列的单调性，将数列分类定性，考察数列的图像特征，考察数列的极限存在与否等等.有关实际应用问题：某些与非零自然数有关的实际应用题，可用数列的各项与之对应，然后利用数列有关知识解答此类应用题.数列的函数属性：因数列是函数的特例，故解答有关

3、问题时，常与函数知识联系起来考虑.【典型例题】类型一：数列与函数的综合应用()例1.(2015菏泽一模)已知数列an(1)求数列a的通项公式.n的前n项和为sn，且s=n(n+1)nn*.nn=(2)若数列bn满足：abbbb1+2+3+n3+132+133+13n+1，求数列b的通项公式;n4(3)令c=nanbn(nn*)，求数列c的前n项和t.nn【解析】(1)当n=1时，a=s=211当n2时，a=s-snn知a=2满足该式1n-1=n(n+1)-(n-1)n=2n数列a的通项公式为ann=2n(2)a=nbb1+2+3+132+133+13n+1bb3+nn+1=abbbbb1+2+

4、3+n+n+13+132+133+13n+13n+1+1-得an+1-a=nbn+13n+1+1=2即bn+1=2(3n+1+1)4-得：-2h=3+32+33+3n-n3n+1=3(1-3n)b=2(3n+1)(nn*)n(3)c=anbn=n(3n+1)=n3n+nnt=c+c+c+c=(13+232+333+n3n)+1+2+nn123n令h=13+232+333+n3nn则3h=132+233+334+n3n+1nn1-3-n3n+1h=n(2n-1)3n+1+34n(n+1)(nn*)数列c的前n项和为tnn(2n-1)3n+1+3=+42举一反三：【高清课堂：函数的极值和最值388

5、566典型例题三】【变式1】已知数列an和bn满足：a1=l，a其中l为实数，n为正整数.3n+1=2an+n-4，bn=(-1)n(an-3n+21)（）对任意实数l，证明数列a不是等比数列；n（）试判断数列b是否为等比数列，并证明你的结论；n39解析：（）假设存在实数l，使得数列a是等比数列，则a，a，a必然满足an12324a=l,a=l-3,a=l-412322=aa13由a22=aa得9=0，显然矛盾，13即不存在实数l使得数列a是等比数列。n（）根据等比数列的定义：(-1)n(a-3n+21)bn+1=bn(-1)n+1a-3(n+1)+21n+1n=3n=3n=-=-3(a-3n

6、+21)32-a+n-4-3(n+1)+21(a-3n+21)n2-a-2n+14(a-3n+21)n2(a-3n+21)2nn即bn+12=-b3n又b1=-(a1-3+21)=-(l+18)所以当l=-18时，数列b不是等比数列；当l-18时，数列b是等比数列.nn【变式2】(2015遵义校级模拟)设an(1)求a的通项公式.n是公差大于零的等差数列，已知a1=2，a=a2-1032(2)设bn项和s.n是以函数y=4sin2px的最小正周期为首项，以3为公比的等比数列，求数列an-b的前nn【解析】(1)设数列an的公差为d则：a1+2d=(a+d)2-10解得d=2或d=-4(舍去)a

7、=211(2)y=4sin2px=41-cos2pxa=2+2(n-1)=2nn2p=2-2cos2px的最小正周期为t=122pb=1q=3b=3n-1a-b=2n-3n-11nnnn=(2-3)+(4+3)+(2n-3)=(2+2n)n-1-3s类型二：数列与不等式21-322n1101n-1=n2+n+-3n例2.（2016天津高考）已知anan+1的等比中项.是各项均为正数的等差数列，公差为d，对任意的nn*,bn是an和()设c=b2-b2,nn*，求证：cnn+1nn是等差数列；()设a=d,t=(-1)kb2,nn*，求证：n1nk2nk=1k=111t2dk2.【解析】c=b2

8、-b2=ann+1nan+1n+2-aann+1=2dan+1c为等差数列c-c=2d(an+1nn+2n-an+1)=2d2为定值t=(-1)kb2=cnk12nk=1+c+c32n-1=nc+1n(n-1)24d2=nc+2d2n(n-1)1(*)由已知c=b2-b2=aa-aa=2da=2d(a+d)=4d2121231221将c=4d2代入（*）式得t=2d2n(n+1)1n=(1-+-+-)=(1-)02sn+11-4s=-(n-1)(3n+4)0n即sn+14sn【变式2】已知an是公比为q的等比数列，且a1，a3，a2成等差数列.()求q的值；()设bn是以2为首项，q为公差的等差数列，其前n项和为sn，当n2时，比较sn与bn的大小，并说明理由.解析：()由题设2a3=a1+a2，即2a1q2=a1+a1q,a10，2q2-q-1=0，q=1或q=-1，2()若q=1，则s=2n+nn(n-1)n2+3n1=.22当n2时，s-b=snn2n-1=(n-1)(n+