用坐标伸缩变换解决椭圆问题 (1)

1、第33卷第4期2014年4月数学教学研究33用坐标伸缩变换解决椭圆问题宋波(兰州市第四十五中学，甘肃兰州730070)在高中数学新课标选修44中，介绍了平面直角坐标系中的坐标伸缩变换若在坐标伸缩变换下，椭圆就可以变为圆，二者有很多相似的性质，从而可将椭圆的有些问题用圆的知识来处理，比如研究直线和椭圆、椭例2设直线kx一1和椭圆xz+=1有且仅有一个公共点，求k和的取值范围解令z一号，yp一，则已知椭圆和圆和椭圆的位置关系、与椭圆有关的问题时，用坐标伸缩变换转化为相应的直线和圆、圆和圆的位置关系、与圆有关的问题来处直线变为相应的圆和直线z+y。一1，m理这样做不仅可以方便理解，还可以避免较为繁琐

2、的计算过程下面分类举例予以说明1直线和椭圆的位置关系例1当m为何值时，直线z：z+7一。与椭圆m：+一1相交?解椭圆m和直线的方程可变形为(专一)+(詈+)一，2詈一3罢+mo令z：号，3，一罟，可得相应直线和圆z1：2-3y+mo，m1：(一1)+(+1)。一1要使已知的直线z与椭圆m相交，只要相应的直线z与圆m1相交因此圆m1的圆心(1，一1)到直线厶的距离小于半径1，即i二圣=2l1、2+(-3)2解得5一、，m一5+西一所以当一5一西一5+、，西时已知直2尼z一v一lo要使已知的直线与椭圆有且仅有一个公共点，只要相应的直线与圆相切由直线和圆相切的充要条件可知l一1i一1(2k)2+m即

3、l-4k，故得01，即o1-4k1，解得号o)内含?解已知两椭圆方程可变形为线与椭圆相交(詈一)+(詈+)=，34数学教学研究第33卷第4期2o14年4月(专)+(詈)。一2令z一吾，yr一罟，可得相应两圆(一1)。-4-(y-4-1)一1，iz+y2m2要使已知两椭圆相内含，只要使所得相应的两圆相内含由两圆内含的充要条件可知(1-o)+(一1-0)。o)，解得ml+或m1+2时，椭圆c1内含于椭圆c2评析用两圆的位置关系来代替两椭圆的位置关系显然问题容易解决，而坐标伸缩变换恰好沟通了两者之间的关系，化繁为简，安全可靠3求椭圆的中点弦直线方程所以，以p(m，九)为中点的弦所在的直线方程为b旦b

4、一一以(詈n一rna)，即易玑z+口72v一6。一n71。=o评析本题也可用韦达定理或“点差法”或中心对称来解决，但运算较繁，而以上方法用坐标伸缩变换将椭圆转化为圆，运用圆的性质轻松求解，其方法有独特之处4求椭圆上的动点到定直线(或定点)的距离最值例5在椭圆等+等一1上求一点，使它到直线z：3z2一16：=0的距离最短，并求此距离解令一号，y一，则已知椭圆和例4已知椭圆32+一1，定点，直线z变为相应的圆+一1和直线z：组p(，)(mo)在椭圆内，求以p(m，72)为中点的弦所在的直线方程解令72一詈【，y一，则已知椭圆和定点p(m，)变为相应的圆z+一1和定点p(，詈)，从而所求问题变为：求

5、圆z+3，=1内以p(m口，詈)为中点的弦所在直线方程因为直线op的斜率卫6一247y一16一o，从而所求问题变为：求圆。+。mar-1上一点到直线z：6z一2160的距离最短问题，由平面几何知识可知，过圆z+=1的圆心0(o，o)作直线z的垂线段，交圆于点p(z，y)，点p到垂足的距离最短，由直线z的垂线op：y等z和圆z+一1相交，解方程一一可求得点p为(3，一)，则相应椭圆上所求的点p(32一，一)，所求最短距离为i3x+2l8湎走b72、13op一m一则以p为中点的弦所在直线的斜率为bm弦n，所在直线的方程为y一孕=一tym(一dam一n)评析此类问题可用函数法或判别式法或导数法或参数

6、法求解，而用坐标伸缩变换将椭圆和直线(或定点)转化为相应的圆和直线(或定点)，运用圆的性质和平面几何知识使问题易于理解，又可避免较为繁琐的计算过程第33卷第4期2014年4月数学教学研究355求椭圆方程中，lnl一导，因为例6已知椭圆的中心在原点，焦点在z嘉+荸一1，即z+芋一m、轴上，离心率为，过点m(o，2)作直线l与椭圆交于a，b，设n为ab的中点，且尼一，一3，求椭圆的方程解设椭圆方程为+一1(口6o)，已知e一旦得as=2b。，椭圆方程变为，a22令z一，y一，则椭圆和定点m(o，2)变为相应的圆x+y一2b和定点(o，2)变化前后如图1所示ylmallmal3叮一耐一又n为ab的中

7、点，所以lanl一寺imni一号，则loal。=2b一+iani。=号，得b。一鲁，故椭圆方程为+一142评析本题用坐标伸缩变换将椭圆转化为圆，使得题目中的已知条件变为圆的问题，从而就多增加了圆心与弦的中点的连线与弦垂直这个条件，利用圆中的垂径定理和勾股定理，使问题变得容易解决6求以椭圆为载体的动点轨迹方程例7已知椭圆方程为磊+蒹一1，过定二、，点p(0，3)作直线ab，cd，分别交椭圆于a，b，c，d，ad的中点为m，已知点b一一、变换前变换后图1设n(xo，yo)，n(z0，yo)，则要一-f2kc一，=因为n为ab的中点，所以坐标伸缩变换后，n为a，b的中点，所以0，n_l-a，b，则a

8、b=一=-22，所以直线ab方程为一一2z+2，到直线ab的距离一lon一22又10mi一2，所以在rtaomn，i，i求点m的轨迹方程，解已知椭圆的方程可变为彘+25令=13，y=，则椭圆和定点p(o，3)变为相应的圆x+佗一25和定点p(o，3)变化前后如图2所示j。，j丁-yz一百5变换前忌b一yl-yzz】一2变换后图2yl4，z1一236数学教学研究第33卷第4期2014年4月同理可得志一是因为走ab。志一一，所以1(口6o)和定点a(一口，0)变为相应一的圆lz。+一1和定点a(-1，o)变化前后如图3所示即直线ab-上_c，d，垂足为p，因为m为|rkab，kcd，一1lad的中

9、点，所以坐标伸缩变换后，为ad的中点，则0，m上ad，a、a一idmf。=25一(丢ipm一告iadi，设m(x，)，(，y)，则变换前iadf)图3变换后所以即所以在变换后的图形中，连结()，q，延长一25一lpmliq，0交圆于一点b，再连结ab由等腰a，q可知0，aq一0，qa，所以rta，q和rt，a相似，因此+。=25一z。一(-3)，。+。-3y一8一o，aq一bq从而得嚣iz+。一3y一80，aqa，r一220pqrn，故所求点m的轨迹方程为。一一一25x+16y248一128=o评析本题用坐标伸缩变换将愚ab志转化为圆中的knb，意d，一一1，则，由于坐标伸缩变换保持平行线上的

10、两个线段的长度之比不变，所以有aq一2，即aqar=20p。，故aq，2op，ar成等比在圆中就多增加了两条弦互相垂直这个条件，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半这一性质，给问题的解决带来了很大的方便7解决以椭圆为载体的有关证明问题例8(2009年清华大学自主招生数学试题)已知椭圆+一1(n6o)，过椭圆左顶点a(一口，o)的直线z与椭圆交于点q，与y轴交于点r，过原点与z平行的直线与椭圆交于点p求证：aq，op，ar成等比数列证明令一詈，一，则椭圆+数列评析本题可以通过韦达定理、弦长公式以及“设而不求”的思想给出解答，但求解过程较为繁琐而以上方法用坐标伸缩变换将椭圆问题化作圆处理，解答过程完全退去了代数运算