浙教版初中数学八年级上册直角三角形(提高)知识讲解

1、精品文档用心整理直角三角形（提高）【学习目标】1认识直角三角形,学会用符号和字母表示直角三角形2掌握直角三角形两个锐角互余的性质,会用“两个锐角互余的三角形是直角三角形”这个判定方法判定直角三角形.3.掌握直角三角形斜边上中线性质，并能灵活应用.4.领会直角三角形中常规辅助线的添加方法【要点梳理】要点一、直角三角形的概念有一个角是直角的三角形叫做直角三角形.直角三角形表示方法：.如下图，可以记作“abc”.要点诠释：三角形有六个元素，分别是：三个角，三个边，在直角三角形中，有一个元素永远是已知的，就是有一个角是90.直角三角形可分为等腰直角三角形和含有30的直角三角形两种特殊的直角三角形，每种

2、三角形都有其特殊的性质.要点二、直角三角形的性质直角三角形的两个锐角互余.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.要点诠释：直角三角形的特征是两锐角互余，反过来就是直角三角形的一个判定：两个角互余的三角形是直角三角形.含有30的直角三角形中，同样有斜边上的中线等于斜边的一半，并且30的角所对的直角边同样等于斜边的一半.要点三、直角三角形判定两个角互余的三角形是直角三角形.在一个三角形中，如果一边的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形.如图：已知：cd为ab的中线，且cd=ad=bd，求证：abc是直角三角形证明：ad=cd，a=1同理2=b2+b+a+1=180，即2（1+2）=180

3、，1+2=90，即：acb=90，abc是直角三角形资料来源于网络仅供免费交流使用精品文档用心整理【典型例题】类型一、直角三角形性质的应用、已知：如图，在abc中，a=30，acb=90，m、d分别为ab、mb的中点求证：cdab半得到cm=1【思路点拨】由acb=90，m为ab的中点根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一1ab=bm，再根据在直角三角形中，30所对的边等于斜边的一半得到cb=22ab=bm，则cm=cb，而d为mb的中点，根据等腰三角形的性质即可得到结论【答案与解析】证明：acb=90，m为ab中点，cm=12ab=bm，acb=90，a=30，cb=12ab=bm，cm=c

4、b，d为mb的中点，cdbm，即cdab【总结升华】本题考查了含30的直角三角形的性质：30所对的边等于斜边的一半；也考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半以及等腰三角形的性质举一反三：【变式】在直角三角形中，有一个锐角是另一个锐角的4倍，求这个直角三角形各个角的度数【答案】解：设设一个锐角为x度，则另一个锐角为4x度，那么根据三角形内角和定理：三角形内角之和为180，所以x+4x+90=180，x=18，4x=72，答：三角分别为18，72，90类型二、含有30的直角三角形2、在abc中，c=90，cdab，垂足为点d（1）如果a=60，求证：bd=3ad；（2）如果bd=3ad，求证：

5、a=60资料来源于网络仅供免费交流使用精品文档用心整理（【思路点拨】1）根据三角形的内角和定理求出acd=b=30，根据含30度角的直角三角形性质求出ab=2ac，ac=2ad即可；（2）取ab的中点o，连接co，设ad=x，则bd=3x，ab=4x，根据直角三角形斜边上中线求出ao=co，ad=do，证coa是等边三角形即可求出答案【答案与解析】证明：（1）c=90，cdab，a=60，acd=b=30，c=90，cdab，ab=2ac，ac=2ad，ab=4ad，bd=3ad（2）取ab的中点o，连接co，bd=3ad，设ad=x，则bd=3x，ab=4x，c=90，o是ab的中点，oc=

6、oa=2x，odx12co，cdab，ocd=30，cod=60，oa=oc，aco是等边三角形，a=60【总结升华】本题主要考查对直角三角形斜边上的中线，含30度角的直角三角形，等边三角形的性质和判定等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行推理是解此题的关键举一反三：【变式】如图，在abc中，ba=bc，b=120，ab的垂直平分线mn交ac于d，求证：ad=12dc【答案】解：如图，连接db资料来源于网络仅供免费交流使用精品文档用心整理mn是ab的垂直平分线，ad=db，a=abd，ba=bc，b=120，a=c=12（180-120）=30，abd=30，又abc=120，dbc=12

7、0-30=90，bd=12dc，1ad=dc23、如图，在abc中，已知ab=ac=2a，abc=15，cd是腰ab上的高,求cd的长【思路点拨】过点c作cdab于d，根据等腰三角形的性质，三角形的内角与外角的关系得到dac=30在直角acd中，根据30角所对的直角边等于斜边的一半解得cd的长【答案与解析】解：ab=ac，c=abc=15，dac=30，ab=ac=2a，在直角acd中cd=12ac=a【总结升华】本题主要考查了等腰三角形的性质：等边对等角三角形的内角与外角的关系以及直角三角形中30度所对的直角边等于斜边的一半举一反三：【变式】已知：如图，在rtabc中，c=90，bad=12

8、bac，过点d作deab，de恰好是adb的平分线，求证：cd=12db【答案】解：deab，资料来源于网络仅供免费交流使用精品文档用心整理aed=bed=90，de是adb的平分线，3=4，又de=de，bedaed（asa），ad=bd，2=b，bad=2=12bac，cd=11=2=b，ad=bd，又1+2+b=90，b=1=2=30，在直角三角形acd中，1=30，1ad=bd22类型三、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、如图，abc中，ad是边bc上的高，cf是边ab上的中线，且dc=bf，decf于e（1）e是cf的中点吗？试说明理由；（2）试说明：b=2bcf（【思路点拨】1

9、）连接df，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得df=bf=ab，然后求出cd=df，再根据等腰三角形三线合一的性质证明即可；（2）根据等边对等角可得dcf=dfc，b=bdf，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和解答即可【答案与解析】（1）解：如图，连接df，ad是边bc上的高，cf是边ab上的中线，df=bf=ab，dc=bf，cd=df，decf，e是cf的中点；（2）证明：由（1）的结论df=bf得fdb=fbd，dc=bf，dcf=dfc，由外角的性质得fdb=dcf+dfc=2dcf，fbd=2dcf，即b=2bcf资料来源于网络仅供免费交流使用精品文档用心整

10、理【总结升华】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形三线合一的性质，等边对等角的性质，熟记各性质是解题的关键5、（2016春广饶县期末）如图，abc中，cd、be分别是ab、ac边上的高，m、n分别是线段bc、de的中点（1）求证：mnde；（2）连结dm，me，猜想a与dme之间的关系，并写出推理过程；（）若将锐角abc变为钝角abc，如图，上述（1）（2）中的结论是否都成立？若结论成立，直接回答，不需证明；若结论不成立，说明理由（【思路点拨】1）连接dm、me，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得dm=bc，me=bc，从而得到dm=me，再根据等腰三角形

11、三线合一的性质证明；（2）根据三角形的内角和定理可得abc+acb=180a，再根据等腰三角形两底角相等表示出bmd+cme，然后根据平角等于180表示出dme，整理即可得解；（3）根据三角形的内角和定理可得abc+acb=180a，再根据等腰三角形两底角相等和三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和表示出bme+cme，然后根据平角等于180表示出dme，整理即可得解【答案与解析】解：（1）如图，连接dm，me，cd、be分别是ab、ac边上的高，m是bc的中点，dm=bc，me=bc，dm=me又n为de中点，mnde；（）在abc中，abc+acb=180a，dm=me=bm=mc，bmd+cme=（1802abc）+（1802acb），=3602（abc+acb），=3602（180a），资料来源于网络仅供免费交流使用精品文档用心整理=2a，dme=1802a；（3）结论（1）成立，结论（2）不成立，理由如下：在abc中，abc+acb=180a，dm=me=bm=mc，bme+cmd=2acb+2abc=2（180a）=3602a，dme=180（3602a）=2a180【总结升华】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形两底角相等的性质，三角形的内角和定理，整体思想的利用是解题的关键举一反三：