第63届捷克和斯洛伐数学奥林匹克

1、第 63 届捷克和斯洛伐数学奥林匹克（2014 ）第二轮1.设 nZ ，且 n 不为 2 的正整数次幂， 满足 n3D 5d ，其中， D 为 n 的最大奇约数， d d 1 为 n 的最小奇约数 .求满足条件的所有正整数n .不在直线 S1 S2 上，且 XS1 与S1设平面上两个半径分别为r1 、r2 的S1 、 S2 ，其中， S1S2 r1 r2.点X2.的交点 Y1 到直线 S1 S2 的距离等于 XS2 与S2 的交点 Y2 到直线 S1 S2 的距离 .求点 X 的轨迹 .3.求三元方程 x y22z2y z22x2z x22y2 的所有实数解 .4.六支球队参加排球锦标赛.每两

2、支球队比赛一场，所有比赛进行五轮，每三场比赛在1号、 2号、 3号场地同时进行 .可以通过绘制一个53 的方格表，将随机的两支队伍进行的比赛填在格u , v 位置上，表示这两队在第 u u1 ,2, 3,4 ,5轮、第 v v 1 , 2 , 3 号场地进行了比赛.求比赛各队所有可能出现的场次情形 .决赛1.设 n 为正整数，其所有正约数为d1 ， d2 ， d k ，其中， 1 d1d 2d kn .求满足方程组d5d 3 50的 n的值 .11d58d73n2.已知线段AB 为给定线段， XYZ 满足点 X 在边 AB 上运动， A 、 B 、 Y 、 Z 四点共圆，且 XBY XZA .

3、求 XYZ 的边 YZ 的中点 M 的轨迹 .3.给定一个 8的方格表，任意长度为1的相邻两格的公共边称为一个“边长 ”将.方格表任意剪成2 1的矩形，无论如何剪切，令 n e 表示剪掉的 “边 ”的总数 .求 n e 的个位数字 .4.电影院有 234 位观众，大家坐成n nZ, n 4 行，且坐在第i 行的每位观众在第j 行恰有友（朋友之间的关系是相互的），其中， i、 j1 , 2 , n ，且 ij .求所有 n 的可能值 .32 块j 位朋5.在锐角 ABC 中，以 AB 为直径作圆，过点 A、C 且和BAC 的平分线切于点A的圆A 与圆交于点 P（ P 与 A不重合），过点 B 、

4、 C且和ABC 的平分线切于点B 的圆B 与圆交于点 Q（Q与 B不重合） .证明：直线 AQ 、 BP 和ACB 的平分线三线共点 .6.设 a 、 b 为非负实数 .证明：ab ab，并指出等号成立的条件 .b21a 21ab1参考答案第二轮1.令 naaa， ，pk 为 n 的素因数，且 p1p2pk ， iZi1 ,2 , k.p1 1p22pk k ，其中， p1 ，p2由题意知 p12.否则， p1 为奇素数，则D n ，与 n3D5d 矛盾 .若 k1，则2ka2a3akn，与 n 不为 2 的正整数次幂的正整数矛盾.于是，k 2.因此，Dp2p3dp，pk ，2即 2a1 p2

5、a2 p3a3pka k 3 p2a2 p3a3pkak5p22a13 p2a2 1 p3a3pkak52 a13 1,512或 3.当 12 时，方程可化为 p2a 2 1 p3a3pka k5 .故k 2，p25 ， 2 1 1 或 k3， 210 ，p35 ， 31 .由于 2p2p35 ，则 p23 .故 n2252100或 n22360.当13 时，方程可化为a 1aa1 .故 k2 ， 2102 1 .此时， 对于任意奇素数p2 均成立， 故 n38 p2 （ p2p22p33pk k2 p2为任意奇素数） .综上 n100，60，8p2 （ p2 为任意奇素数） .2.如图 1，

6、满足题意的点X 在圆的外部 .H 1S1H 2图 1由于点1 21 2XY1XY2XS1r1.Y1 、 Y2 到直线 S1S2 的距离相等，则 YY S1 S2S1S2X YY XXS1XS2XS2r2当 r1r2 时， XS1XS2 ，此时，点 X 的轨迹为线段 S1S2 的垂直平分线；当 r1r2 时， XS1r11 ，此时，点 X 的轨迹为去掉点H 1 、 H 2 的阿波罗尼斯圆，其中，定比为r1 ，XS2r2r2H 1 、 H 2 分别定比 r1分线段 S1 S2 的外比分点、内比分点 .r23.若 x 、 y 、 z 有一个为0 ，不妨设 x0 ，代入原方程得0yz22y2 z .故

7、 y 、 z 中至少有一个为0，不妨设 y0.则00z .此时， z 为任意实数 .故 x ,y ,z0 , 0 , tt R.若 x 、 y 、 z 均不为 0，由 x y22z2yz22x2xy22xz2yz22x2 y 02xyz2xy0y2x 或 z2xy .当 y2x 时，代入原方程得2x 2x2z29x2 z .因为 x0 ，所以，4 x22 z29xz0x 2 z 4xz0x2 z 或 z4x.故 x ,y ,z2t ,4t , t，t ,2t ,4t tR .x2 y22当2xy 2x yz x22 y2zxy 2x yxy2x yzxy 时，代入原方程得x22y2x22 y2

8、 2.因为 xy0 ，所以，2x22 y224 y x x3y304 y x x y x2xy y 20x 4 yxy 2 x y或 xy .由轮换对称性，知方程的实数解为x , y , zt ,0 , 0 ， 0 , t ,0，0,0 , tt , t , t ， 4t , t , 2t， 2t , 4t , t， t , 2t , 4ttR .4.1，2， 6代表六支球队，不妨设i , j表示球队 i和球队 j.1令进行比赛 由轮换对称性，不妨设号球队在1 号场地分别和另五支球队分别比赛一场，即第一轮1号和 2号球队在1号场比赛 .则第一轮 1号和2 号球队在其他场地不会出现；第二轮1号和

9、 3 号球队在 1号场地比赛，2号和号球队在 2号场地比赛；第三轮1号和4号球队在1号场地比赛，2 号和 b 号球队在 2号场地比赛；第四轮1号和 5 号球队在1号场地比赛，2号和 c 号球队在 2号场地比赛；第五轮 1 号和 6 号球队在1 号场地比赛，2 号和 d 号球队在2 号场地比赛，即第一轮：1 ,2；第二轮： 1 , 3， 2 ,a ；第三轮：1,4， 2,b ；第四轮：1 , 5，2 ,c ；第五轮：1 ,6， 2 ,d .则 a ,b ,c ,d为3,4,5,6的一个排列，且满足（1） 3a ， 4b ，5c ，6d ；（ 2）二元集合 3 , a、 4 ,b 、 5 ,c 、

10、 6 , d 成对出现 .在这两个条件约束下，第一轮剩下的2 号、3号场地及第二轮到第五轮的3号场地比赛队伍也唯一确定 .由容斥原理，可得到满足条件1的九个排列： 4!4 3!2C42419 ，其中，4 ,3 ,6 , 5、5 ,6,3,4、6,5,4,3这三个排列不满足条件2.例如， a ,b ,c ,d4, 3, 6, 5 使得二元集合5 ,6、6,5、3,4 、4 ,3成对出现 .由轮换对称性得 N655!5 598 720 .决赛1.因为 d5 、 d7 为 n 的正约数，所以，设xd5yd7n .由于 d5d7 ，则 x、 yZ ，且 x y .代入11d58d73n ，整理得11n

11、8n3n11833 xy8 x11y03x113x888 2311 .因为 x y ，所以，xyxyx y1 .于是， 3x11 3 y3113 y 8.故3x1188 ,44, 22, 11,x33 ,55 舍, 11,22舍333 y 8 1 , 2 , 4 , 8y 3 ,10舍 ,4,16 舍33又 x | n ， y | n 故当 x33 ， y3 时， n 的正约数有1、3 、11、33 .若 n 还有小于 33 的正约数， 则 d 5 33 .但 d5d350， d550d 3 50，则 n 没有小于33的正约数 .故 d311 ， d561 ， n61332013 .当 x11

12、， y4时，11 n , 4 n ， n 的正约数有 1 、 2 、 4 、 11、22 、 44.则 d5 22，但 d 550d3 50，矛盾 .故 n2013.2.设 XYZ 满足题意，则点 Y 、 Z 在直线 AB 的同侧 .设 Y 为点 Y 关于直线 AB 的对称点 .则 XBY XBY XZA.故AXZBXYBXY .因此， Z 、X 、Y 三点共线 .又XAZXYBXYB ，于是， A、Y 、B 、Z 四点共圆，即 A、Y、B 、 Y 、 Z 五点共圆，设为圆.由对称性，知 AB 为圆的直径 .由于线段 AB 为给定线段，知圆为定圆， 设 O 为圆心， 如图2 .因为 M 为 Y

13、Z 的中点， 所以 OMYZ .则AMOZMO 90 .故点 M 在以AO 为直径的圆1 外 .类似地，点 M 在以 BO 为直径的圆2 外.MY12XO图 2Y从而，点 M在以 AB 为直径的圆内，在分别以 AO 、BO 为直径的圆外 .另一方面，如图 2 ，在圆内、圆 1和圆2 外取一点 M ，联结 OM ，过 M 作 YZ OM ，与以 AB 为直径的圆交于点 Z 、 Y .则 XBY XZA ，满足题意 .故点 M 的轨迹是以 AB 为直径的内部分别以 AO 、 BO 为直径的圆1 、2 外部所围成的区域，如图3.21OB图 33.方格表竖直方向上的边有7856 条，水平方向上的边也有

14、56 条，故方格表的边共有112条 .将方格3221232未被裁剪，剪掉边的总数n e1123280 .所以， n e 的个位数字为0 .4.对于任意k1, 2, n，定义为pk为第k 行的观众人数.对于坐在第i行的观众A 和第j 行与A是朋友的任意观众B ，由于朋友是相互的，则第 i 行与第 j 行A , B 的总对数为 ip jjpipip j1p2pn.设式的比值为d .i.所以， pnj12当 d1 时， p1p2pn12nn n 1234n2n4680 .此时，方程无正整数解.当2d 1时， p1p2pnd2dndn n1d234dn n 12342 223213.若2n 22，则

15、nn1 2233 468 .故 n22.于是， n4, 6, 9, 12, 13, 18.经验证知 n12.5.如图4，取圆B优弧 BC上任意一点 A .CQPIDB图 4因为圆ABC1CB与的平分线切于点B ，所以CABIBCABC .因为Q、 、B 、A 四点共圆，12所以， BQC180ABC .2又 AB为圆的直径， 则AQB 90， AQBBQC1ABC180 ，即点 Q 在ABC 内部.270121 ABC .从而， AICAQC .故 AQC90ABC .由于 I 为 ABC 内心， 于是，AIC9022故 A、I 、Q 、C四点共圆，设为圆 .因此， AQ 为圆和圆的根轴 .类似地， B 、I 、P 、C 四点共圆，设为圆 .因此， BP 为圆和圆 的根轴 .而 CI 为圆 和圆 的根轴，故三条根轴交于根心， 即直线 AQ 、BP和 ACB 的平分线三线共点 .6.当 ab0 时，式等号成立.当 a、 bR 时，由