第4讲直线与圆、圆与圆的位置关系

1、第 4 讲 直线与圆、圆与圆的位置关系学生用书 P1511 直线与圆的位置关系设直线 l ：Ax By C0(A2 B2 0)，圆： (x a)2 (y b)2 r2(r 0)，d 为圆心 (a， b)到直线l 的距离，联立直线和圆的方程，消元后得到的一元二次方程的判别式为.方法几何法代数法位置关系相交相切相离2. 圆与圆的位置关系222，设圆 O1： (x a1)( y b1) r 1(r10)圆 O2： (x a2)2 (y b2)2 r 22(r 20) d0d r 0drr 1 r 2无解外切d r 1 r 2一组实数解相交|r 1 r 2|dr 1r 2两组不同的实数解续表方法几何法

2、：圆心距 d 与 r 1，r 2 的代数法：两圆方程联立组成方位置关系关系程组的解的情况内切d |r 1 r 2|一组实数解( r1 r2)内含0 d0，所以直线 l 与圆相交 法二： 由题意知 ，圆心 (0， 1)到直线 l 的距离 d|m|1 5，故直线 l 与圆相交 m2 1法三： 直线 l ：mx y1 m 0 过定点 (1， 1)，因为点 (1， 1)在圆 x2 (y 1)2 5的内部，所以直线 l 与圆相交 (2)由 x2 y2 2x 2y1 0 得 (x 1)2 (y 1)2 1，因为直线 x my 2m 与圆 x2 y2 2x 2y1 0相交，所以 |1 m 2 m|1 m21

3、，所以 m 0，即 m ( ， 0) (0， )【答案】(1)A(2)D判断直线与圆的位置关系常见的方法(1)几何法： 利用 d 与 r 的关系 (2)代数法： 联立方程后利用判断(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交上述方法中最常用的是几何法，点与圆的位置关系法适用于动直线问题 通关练习 1已知点 M(a，b)在圆 O：x2 y2 1 外， 则直线 ax by 1 与圆 O 的位置关系是()A 相切B.相交C相离D不确定22解析： 选 B . 因为 M(a， b)在圆 O： x y 1 外，从而圆心 O 到直线 ax by 1 的距离|a0b0 1|1 1，

4、da2 b2a2b2所以直线与圆相交 2过点 A(3， 1)的直线 l 与圆 x2 y2 1 有公共点，则直线l 的倾斜角的取值范围是_解析： (1)当直线 l的斜率不存在时 ，直线 l 的方程是 x3，此时直线 l 与圆相离 ，没有公共点 ，不符合题意 (2)当直线 l 的斜率存在时 ，设直线 l的方程为y 1k( x 3)，即 kx y 3k 1 0.因为直线 l和圆有公共点 ，所以圆心到直线的距离小于或等于半径，则| 3k 1|3，k2 1 1，计算得 0 k所以直线 l 的倾斜角的取值范围是0，3 .答案：0， 3直线与圆的相交关系及应用(高频考点 ) 学生用书P152直线与圆的相交关

5、系是每年高考的热点，主要涉及弦长问题以及函数与方程思想的应用难度中等及以上主要命题角度有：(1)求弦长；(2)已知弦长求参数；(3)利用“设而不求”思想解决直线与圆的位置关系 典例引领 角度一求弦长(2016 考全国卷高 )已知直线l：mx y 3m3 0 与圆 x2 y2 12 交于 A，B两点，过 A， B 分别作 l 的垂线与x 轴交于 C， D 两点若 |AB| 23，则 |CD| _【解析】设圆心到直线l ：mx y3m30 的距离为 d，则弦长 |AB| 2 12 d223，得 d 3，即|3m 3|3 3，解得 m，则直线 l：x 3y 60，数形结合可得 |CD |m2 13|

6、AB| 4.cos 30【答案】4角度二已知弦长求参数(2016 高考全国卷 )设直线 y x 2a22与圆 C：xy 2ay 20 相交于 A， B两点，若 |AB| 2 3，则圆 C 的面积为 _【解析】圆 C 的方程可化为 x2 (y a)2 a2 2，可得圆心的坐标为C(0 ， a)，半径 ra22 ，所以圆心到直线x y 2a 0的距离为 | a2a| |a| ，所以|a| 2( 3)2222(22)222，所以圆 C 的面积为 4.a，解得 a 2，所以圆 C 的半径为【答案】 4角度三利用 “ 设而不求 ” 思想解决直线与圆的位置关系(2017 高考全国卷 )已知抛物线 C：y2

7、 2x，过点 (2， 0)的直线 l 交 C 于 A，B 两点，圆 M 是以线段 AB 为直径的圆(1)证明：坐标原点 O 在圆 M 上；(2)设圆 M 过点 P(4， 2)，求直线 l 与圆 M 的方程【解】(1) 证明： 设 A(x1，y1)， B(x2， y2)， l ： x my 2.由xmy 2，可得 y2 2my 4 0，则 y1 y2 4.2y 2x22（y1 y2）2又 x1y1y2 4.， x2，故 x1x2422因此 OA 的斜率与 OB 的斜率之积为 y1 y2 4 1，所以 OA OB.x1x24故坐标原点O 在圆 M 上(2)由 (1) 可得 y1 y2 2m， x1

8、 x2 m( y1 y2) 4 2m2 4.故圆心 M 的坐标为 ( m2 2， m)，圆 M 的半径 r （ m22） 2 m2. 由于圆 M 过点 P(4， 2)，因此 AP BP 0，故(x1 4) (x2 4) (y12)( y2 2) 0，即 x1x2 4(x1 x2) y1y2 2(y1 y2) 20 0.由 (1)可得 y1y2 4，x1x2 4.所以 2m2 m 1 0，解得 m 1 或 m 12.当 m 1 时，直线 l 的方程为 x y 2 0，圆心 M 的坐标为 (3，1)，圆 M 的半径为10，圆 M 的方程为 (x 3)2 (y1) 2 10.当 m1时，直线 l 的

9、方程为2x y4 0，圆心 M 的坐标为91，圆 M 的半径24， 285921285为4，圆 M的方程为x 4 y 216.解有关弦长问题的两种方法(1)几何法 ：直线被圆截得的半弦长l 、弦心距 d 和圆的半径r 构成直角三角形 ，且 r 2 l222 d2；(2)代数法 ：联立直线方程和圆的方程，消元转化为关于x 的一元二次方程 ，由根与系数的关系即可求得弦长222 4x1x2或 |AB|1|AB| 1 k|x1 x2| 1 k （ x1 x2）1 2k12|y1 y2| 1 k2 （ y1 y2） 4y1y2( k0) 通关练习 (2017 高考全国卷 )在直角坐标系xOy 中，曲线

10、yx2mx 2 与 x 轴交于 A，B 两点，点 C 的坐标为 (0， 1)，当 m 变化时，解答下列问题：(1)能否出现 ACBC 的情况？说明理由；(2)证明过 A， B，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值解： (1)不能出现AC BC 的情况 ，理由如下：设 A(x1， 0)，B(x2， 0)，则 x1， x2 满足 x2 mx 2 0，所以 x1x2 2. 1 11，所以不能出现又 C 的坐标为 (0，1)，故 AC 的斜率与 BC 的斜率之积为x1x22AC BC 的情况 (2)证明： BC 的中点坐标为 x2， 1 ，可得 BC 的中垂线方程为y 1 x2 x x2 .2222

11、由 (1)可得 x1 x2 m，所以 AB 的中垂线方程为x m.2m，x 2联立1 x2（ x x2），y22xm，2又 x2 mx 2 0，可得221.y2所以过 A，B，C 三点的圆的圆心坐标为 ( m，1)，半径 rm2 92. 故圆在 y 轴上截22得的弦长为 2r 2（ m） 2 3，即过 A， B， C 三点的圆在 y 轴上截得的弦长为定值 2直线与圆的相切关系及应用(高频考点 ) 学生用书P153直线与圆的相切关系是每年高考的重点，主要涉及切线方程、切线长以及与之相关的最值问题，题型多为选择题、填空题，有时也出现在解答题中主要命题角度有：(1)切线方程问题；(2)切线长问题 典

12、例引领 角度一切线方程问题已知圆 C： (x 1)2 (y 2)2 10，求满足下列条件的圆的切线方程(1)与直线 l1： x y 4 0 平行；(2)与直线 l2： x 2y 4 0 垂直；(3)过切点 A(4， 1)【解】(1) 设切线方程为x yb 0，则 |1 2 b| 10，所以 b 12 5， 2所以切线方程为x y 125 0.(2)设切线方程为2x ym 0，则 |2 2 m| 10， 5所以 m 52，所以切线方程为2x y520. 21 1(3)因为 kAC 1 4 3，所以过切点A(4， 1)的切线斜率为3，所以过切点A(4， 1)的切线方程为y 1 3(x 4)，即 3

13、xy 11 0.角度二 切线长问题22关于直线 2ax by 6 0 对(2018 湖南四地联考 )若圆 C：x y 2x 4y 30称，过点 (a， b)作圆的切线，则切线长的最小值是()A 2B.3C4D 6【解析】圆 C 的标准方程为 (x 1)2 (y2)2 2，所以圆心为点 ( 1，2)，半径为 2.因为圆 C 关于直线 2ax by 60 对称 ，所以圆心 C 在直线 2ax by 6 0 上，所以 2a 2b 6 0，即 b a 3，点 (a， b)到圆心的距离d （a 1） 2（ b 2） 2（a 1） 2（ a 3 2）2 2a2 8a 26 2（ a2） 2 18 . 所

14、以 当 a 2 时 ， d 取 最 小 值 18 32，此时切线长最小，为（ 3 2） 2（ 2） 2 16 4，所以选 C.【答案】C(1)求过圆上一点(x0，y0)的圆的切线方程先求切点与圆心连线的斜率k，由垂直关系知切线斜率为1k，由点斜式方程可求得切线方程 若切线斜率不存在，则由图形写出切线方程为x x0.(2)求过圆外一点(x0，y0)的圆的切线方程 几何法 ：当切线斜率存在时，设斜率为k，切线方程为y y0 k( x x0)，即 kx y y0kx0 0. 由圆心到直线的距离等于半径，可得出 k 的值，进而求出切线方程 代数法 ：设切线方程为 yy0 k(xx0)，即 y kx k

15、x0y0，代入圆的方程 ，得到一个关于 x 的一元二次方程 ，由判别式 0，求得 k，切线方程即可求出 注意 在求过一定点的圆的切线方程时，应先判断定点与圆的位置关系，若点在圆上 ，则该点为切点 ，切线只有一条；若点在圆外，切线有两条；若点在圆内 ，则切线不存在 通关练习 已知点 P( 2 1， 2 2)，点 M(3 ，1) ，圆 C：( x1)2 (y2) 2 4.(1)求过点 P 的圆 C 的切线方程；(2)求过点 M 的圆 C 的切线方程，并求出切线长解： 由题意得圆心 C(1，2) ，半径长 r 2.(1)因为 ( 2 1 1)2 (2 2 2)2 4，所以点 P 在圆 C 上 又 k

16、PC 2 2 2 1，211所以切线的斜率k 1 1.kPC所以过点 P 的圆 C 的切线方程是y (22) 1 x (2 1)，即 x y 1 22 0.22(2)因为 (3 1) (1 2) 5 4，所以点 M 在圆 C 外部 即 x 3 0.又点 C(1， 2)到直线 x 3 0 的距离 d3 1 2 r，即此时满足题意，所以直线x 3 是圆的切线 当切线的斜率存在时，设切线方程为y 1 k(x 3)，即 kx y1 3k 0，则圆心 C 到切线的距离d |k 2 1 3k| r 2，k2 133综上可得 ，过点 M 的圆 C解得 k . 所以切线方程为y 1 (x 3)，即 3x 4y

17、 5 0.44的切线方程为x 30 或 3x 4y 5 0.当切线为 3x 4y5 0 时，因为 |MC|（ 31） 2（ 12） 25，所以过点 M 的圆 C 的切线长为|MC |2 r2 5 41.当切线为 x 3 时，切线长为1.圆与圆的位置关系学生用书 P154 典例引领 (1)已知圆 C1： (x a)2 (y 2)2 4 与圆 C2： (x b)2 (y 2)21 相外切，则 ab的最大值为 ()6B.3A . 229C. 4D 23(2)若 O：x2 y2 5 与 O1：(x m)2 y2 20(m R)相交于 A，B 两点，且两圆在点 A处的切线互相垂直，则线段AB 的长度是

18、_【解析】(1) 圆 C1 的圆心坐标为 (a， 2)，半径 r 1 2；圆 C2 的圆心坐标为 ( b， 2)，半径 r 21，两圆外切 ，则有（ a b） 2 r1 r2 3，所以 |ab| 3. 则 ab（ a b） 29，当 a b3或 a b3时等号成立 ，即 ab 的最4422大值为 9.4(2)因为两圆在点A 处的切线互相垂直 ，所以 OAO1A，所以 |OO 1| （5） 2（ 2 5） 2 5，故 m 5，连接 AB，交 x 轴于点 C，由对称性知 |AB| 2|AC| 2 2 5 55 4.【答案】(1)C(2)41. 本例 (1) 条件中“外切”变为“内切”，求ab 的最

19、大值解： 由 C1 与 C2 内切 ，得（ a b）2 （ 2 2） 2 1.2即 (a b)2 1，又 ab ab 1，24当且仅当 a b 时等号成立 ，故 ab 的最大值为 14.2. 本例 (1) 条件“外切”变为“相交”，求公共弦所在的直线方程解： 由题意得 ，把圆 C1，圆 C2 的方程都化为一般方程圆 C1： x2y2 2ax 4ya2 0， 圆 C2： x2y2 2bx 4yb2 3 0， 由得 (2a 2b) x3 b2 a2 0，即 (2a 2b)x 3 b2 a2 0(1|ab|3，所以 (a b)29 . 即 a b3 或 a b1，2所以直线 x y 1 0 与圆 (

20、x a)2 (y b)2 1相离(1)判断两圆位置关系的方法常用几何法 ，即用两圆圆心距与两圆半径和与差的绝对值的关系，一般不用代数法(2)两圆公共弦长的求法两圆公共弦长，在其中一圆中，由弦心距d，半弦长 2l，半径 r 所在线段构成直角三角形，利用勾股定理求解注意 (1)当两圆相交时 ，两圆方程相减 ，所得的直线方程即两圆公共弦所在的直线方程，这一结论的前提是两圆相交 ，如果不确定两圆是否相交 ，两圆方程相减得到的方程不一定是两圆的公共弦所在的直线方程 (2)两圆公共弦的垂直平分线过两圆的圆心(3)求公共弦长时，几何法比代数法简单且易求 通关练习 1已知圆 M ：x2 y2 2ay 0(a0) 截直线 x y 0 所得线段的长度是 22.则圆 M与圆N： (x 1)2 (y 1)2 1 的位置关系是 ()A 内切B.相交C外切D相离解析： 选 B . 由题知圆 M： x2 (y a)2a2，圆心 (0，a) 到直线 x y0的距离 d a ，22a2所以 2 a 2 2 2，解得 a 2. 圆 M，圆 N 的圆心距 |MN | 21 2，两圆半径之差为1，故两圆相交 2如果圆 C：x2 y2 2ax2ay 2a2 40 与圆 O：x2 y2 4 总相交，那么实数a 的取值范围是