第32炼解三角形中的不等问题

1、第 32 炼 解三角形中的不等问题一、基础知识：abcABC 外接圆的半径1、正弦定理：sin B2R，其中 R为sin Asin C正弦定理的主要作用是方程和分式中的边角互化。其原则为关于边， 或是角的正弦值是否具备齐次的特征。如果齐次则可直接进行边化角或是角化边，否则不可行例如：（ 1） sin2 Asin2 Bsin Asin Bsin 2 Ca2b2ab c2（ 2） bcosCc cosBa sin B cosCsin C cosBsin A （恒等式）bcsin B sin C（ 3）2sin 2Aa2、余弦定理： a2b2c22bc cos A变式： a2bc2此公式在已知 a,

2、 A 的情况下，配合均值不等式可得2bc 1 cos A到 b c和 bc 的最值3、三角形面积公式：（1） S1 a h （ a 为三角形的底， h 为对应的高）2（2） S1 absin C1 bc sin A1 ac sin B222（3） S1absin C12R sin A 2Rsin B sin C 2R2 sin Asin B sin C （其中 R 为外接22圆半径）4、三角形内角和：（1）正余弦关系式：A BC，从而可得到：sin AsinB Csin B Ccos AcosBCcos BC（2）在已知一角的情况下，可用另一个角表示第三个角，达到消元的目的5、两角和差的正余弦

3、公式：sin ABsin AcosBsin B cosAcos ABcos AcosBsin Asin B6、辅助角公式： a sin Abcos Ba2b2 sin A，其中 tanba7、三角形中的不等关系（ 1）任意两边之和大于第三边：在判定是否构成三角形时，只需验证较小的两边之和是否比第三边大即可。由于不存在等号成立的条件，在求最值时使用较少（ 2）在三角形中，边角以及角的三角函数值存在等价关系：abABsin Asin Bcos AcosB其中由 ABcos AcosB 利用的是余弦函数单调性，而 ABsin Asin B个三角形内有效。仅在一8、解三角形中处理不等关系的几种方法（

4、1）转变为一个变量的函数：通过边角互化和代入消元，将多变量表达式转变为函数，从而将问题转化为求函数的值域（ 2）利用均值不等式求得最值二、例题精析：例 1： ABC 各角的对应边分别为a,b, c ，满足bc1 ，则角 A 的范围是caabA (0, B (0, C ,)D ,)3636思路：从所给条件入手，进行不等式化简：bc1acabb a bc a cacabb2c2a2bc ，观察到余弦定理公式特征，进而利用余弦定理表示cos A ： b2c2a2bccos Ab2c2a21，可解得：2bc2A 0,3答案： A例 2：在 ABC 中，角 A, B, C 所对的边分别为a,b,c ，已

5、知ac3cos Asin C（1）求 A 的大小（2）若 a6，求 bc 的取值范围解：（ 1）由条件ac可考虑使用正弦定理，将分子进行“边化角”sin C3cos Aacsin Asin C1t a nA33 cos Asin C3 cos Asin CA3（2）思路：考虑在ABC 中，已经已知 A,a ，从而可求出外接圆半径R ，进而 B,C 与 b, c也可进行边角互化。 若从边的角度考虑， 则能够使用的不等关系只有“两边之和大于第三边”，但不易利用 A60这个条件，考虑利用角来解决解：bca43sin Csin Asin Bb43sin B,c4 3sin CAB C2C233B3bc

6、43 sin Bsin C43sin Bsin2B343sin B3 cos B1 sin B123 sin B1 cos B12sin B222260B2B6, 5,sinB61 ,13662bc6,12例 3：在锐角ABC 中，角 A, B,C 所对的边分别为a, b, c ，且 2bcosC2ac（ 1）求角 B（ 2）求 sin Asin C 的取值范围解：（ 1）方法一：使用余弦定理2b cosC2a c2ba2b2c22a c2abb2c2a 2acb2a2c2ac由余弦定理得： b2a2c22ac cos Bc o sB1B23方法二：观察等式a, b, c 齐次，考虑使用正弦定

7、理2b cosC2a c2sin B cosC2sinAsinC2sin B cosC2sinB Csin Csin C 2sin C cosBcos B1B32（2） A2C2AC33sin Asin23Asin A32cos A1 sin A23 sin Acos A21 sin22A31 c o sA2114s i n A242s i nA 2640AABC 为锐角三角形A, B,C0,2A2620A2322A6, 5s i nA261, 1sin Asin C1 , 366224小炼有话说： 要注意对锐角三角形条件的运用：三个角均为锐角， 而 C 用 A 代换，所以 C 满足锐角的条件

8、也由A 来承担，这也是在利用等式消元时所要注意的一点：若被消去的元带有范围，则这个范围由主元承担。例 4：在ABC 中，角 A, B, C 所对的边分别为a,b,c ，已知 sin Asin Cp sin BpR ，且 ac1 b24（1）当 p5 ,b1时，求 a, c 的值4（2）若角 B 为锐角，求 p 的取值范围解：（ 1） sin A sin C5 sin Bac5 b5ac14444a5a11ca41 或41cac4c14（ 2）思路：以“角B 为锐角”为突破口，联想到余弦定理，而acpb, ac1 b2也刚4好得到 p 与 cos B 的关系式，再由0cosB1 可解得 p 的范

9、围解：考虑余弦定理b2a2c22ac cos Ba22ac 1cosBcb2p2b21 b2 1cos Bp231 cosB222B 为锐角，0cos B1p23 ,2a cpbp02p 6 , 22例 5：若 ABC 的内角满足 sin A2 sin B2sin C ，则 cosC 的最小值是思路：所求cosC 的最值可想到余弦定理用边进行表示，cosCa2b2c22ab，考虑sin A2 sin B2sin C 角化边得到： a2b2c ，进而消去 c 计算表达式的最值即可解： cosCa2b2c2由 sin A2 sin B2sin C 可得： a2b2c2abca2b2a2b2a2b2

10、32122a2b2c224 a2 b2ab3 a 1 b2cosC2ab2ab2ab8 b4 a423ab68b4a4答案：64例 6：在锐角ABC 中A2B,B、C 的对边长分别是b 、 c , 则 b的取值范围b+c是()A (1,1)B(1,1)C (1,2)D(2,3)43322334思路：本题所给条件为角的关系，不易从边入手，所以将所求进行边化角：bsin B1，只需求出 sin C 的范围即可。条件所给的是A,B 关系，b+csin B sin C1sin Csin Bsin B从 而s i CnsAi nBc o s Bs iAnc osB,减少角的个数：s i BnBs in，

11、 利 用A 2sin Asin2 B2sin B cosB,cos Acos2B2cos2 B 1， 代 入可得：sin C4cos2 B1，根据锐角三角形求出 B 的范围即可。sin B解：bsin B1b+csin BsinCsin C1sin Bsin Csin ABsin Acos B sin B cos Asin Bsin Bsin B由A 2Bsin Asin2 B 2sin B cosB,cos A cos2B 2cos2 B 1sinC2sin B cos2 Bsin B cos2 B2cos2 B cos2B 4cos 2 B 1sin Bsin B0B2因为ABC 为锐角三

12、角形0A 2B2解得：B640C3B2cos B2,3sin C4cos 2 B11,222sin Bb11, 1b+c1sin C3 2sin B答案： B小炼有话说： 本题的关键点有两个，一个是解题系统的确定，由于题目中没有涉及到边的关系，只是给了角的条件，所以优先选择角的系统，从而进行角化边的处理，并进行了一个分式的常见变形，将变量集中在分母上。另一个就是主元的确定：本题的主元是B ，所以在求表达式范围时将A,C 均用 B 来进行表示，以便于求得值域。例 7：已知ABC 的角 A, B,C 所对的边分别是 a,b, c ，且 a2b2c22 ab ，若ABC 的3外接圆半径为3 2，则A

13、BC 面积的最大值为 _2思路：由 a2b2c22 ab 可联想到余弦定理求cosC ，所以 cosCa2b2c21，32ab3从而 sin C2 2，所求面积可表示为 S ABC1 ab sin C ，则只需解出 ab 的最大值即可。32由外接圆半径 R32及 sin C 可得： c2R sinC 4 ，所以a2b2162 ab ，而23a2b22ab ，所以有162 ab 2abab 12，所以 S ABC1122 24 2323答案： 42小炼有话说：本题的入手点来自于条件中对余弦定理的暗示，从而解出C ，在计算面积时有三组边角可供选择：S1 absin C1 bc sin A1 ac

14、sin B ，通常是 “依角而选” ，从而222把目标转向求ab 的最值。要注意到余弦定理本身含有平方和与乘积项，再配上均值不等式往往可以找到最值。例 8：设ABC 的内角 A,B,C 所对的边为 a, b, c ，若 a,b,c 成等比数列， 则 sin B 的取值范sin A围是 _思路：由 a, b, c 成等比数列可得： b2ac ，也可视为 sin2 Bsin AsinC，所求表达式 sin B也可视为 b 。如果从角入手，则sin Asin2 Bsin AsinCsin2 Bsin AsinAB无法与asin B 联系。所以考虑从边入手。由b2ac 可得： cb2，在ABC 中，若

15、 abc，sin Aab ，所以 b225 ，同理，若 c则 caa b ，即bb1 01b1ba ，aaaa2则 abcabb251bsin Bb5151，解得：21。综上sin Aa2,2aa答案：51 ,5 122例 9：已知 ABC中，角 A,B,C 所对的边分别为a,b,c ，且 BC边上的高为 a ，则 bc 的取cb值范围为 _思路：一方面由所求 bc 出发，可用均值不等式得到bc2bc2，验证 b c 时cbcbcb存在这样的三角形，得到最小值；再从另一个角度入手bcb2c2可联想到余弦定理cbbca2b2c22bc cos A，而由题目中的底和高可得S ABC1 a21 bc

16、 sin Aa2bc sin A ，所以有：22bca22bc cos Abc sin A2bc cos Asin A2cos A ，只需求得 sin A2cos Acbbcbc的 范 围 即 可 ， 考 虑 sin A1sin A2，2cos A5cosA5sin A55tan2 ，所以 sin A 2cos Abc55 ，综上：2,cb答案：2,5小炼有话说 ：（ 1）在解三角形中，能够从所给式子中发现定理的影子，可帮助你迅速确定解题方向，本题没有选择边化角， 而是抓住余弦定理的影子为突破口， 然后再去寻找条件能否把多余的元消去（比如本题中的a2 ），从而整理出一个可操作的表达式（2）最后

17、运用辅角公式时，辅助角并不是特殊角。这种情况下可用代替俯角，并用的一个三角函数值刻画其大小。本题可通过作图大致观察到A 的范围，从而确定 A的范围能经过，所以5 能够取到2例10：（2014，重庆）已知ABC的内角A,B,C满足si An2A si B n(CC)1sA，i面积nB S 满足 1 S 2，记 a,b,c 分别是2A, B,C 所对的边，则下列不等式一定成立的是（）A.bc bc8B.ab ab162C.6abc12D.12abc24思路：本题需判断的式子比较多，先从条件出发向所求靠拢。化简已知条件sin 2 Asin( ABC )1可 得 4 s Ai n B1， s 即i n

18、sin C A Bs i Cn122sin Asin B sin C，联想到面积公式 S2r 2 sin Asin B sin C 及 1S 2可 得 ：811 r 22 2r22 ， 从 而 abc 可 用 r 进 行 表 示 求 出 范 围 ， 另 一 方 面 可 由4bcabc bcabc ，利用不等式的传递性即可求出bc bc 的范围解： sin 2 Asin( ABC )sinCAB121sin 2 Asin2Bsin2C21sin 2Asin 2Bsin 2C2sin 2Asin 2Bsin2 A2B121sin 2Asin 2Bsin 2Acos2 Bsin 2B cos2 A1

19、2sin 2 A 1cos2Bsin 2B 1cos2 A212sin 2Asin 2 B2sin 2B sin2A214sin Acos Asin 2 B4sin B cosB sin 2 A2sin Asin B sin AcosBsin B cos A1811sin Asin B sinAB即 sin Asin B sin C88由正弦定理可得：a2R sin A,b2R sin B,c2R sin CS ABC1ab sin C12R sin A2R sin B sin C2R2 sin Asin B sin C1R22214所以由 1S2可得： 1R222R224abc8R3 sin

20、 Asin B sin CR38,162，所以 C , D 均不正确b cabc bcabc8 A正确同理 ab cab ababc8， B不正确三、近年好题精选1、（ 2016，上海十校联考）设锐角ABC 的三内角 A, B, C 所对边的边长分别为a,b, c，且a 1,B2A ，则 b 的取值范围为（）A.2, 3B.1,3C.2,2D.0,22、（2016 江苏高三第一次联考）在ABC 中， AB3, AC4,N 是 AB 的中点，边 AC（含端点）上存在点M ，使得 BMCN ，则 cos A 的取值范围是 _3、（ 2015，新课标I）在平行四边形ABCD 中， ABC75 ， B

21、C2 ，则 AB 的取值范围是 _4、（ 2016，哈尔滨六中上学期期末考试）在ABC 中，内角 A, B,C 的对边分别为a, b, c ，且 c2,b2a ，则ABC 的面积最大值为 _5、（ 2014，新课标全国卷 I）已知 a,b,c 分别为 ABC 三个内角 A, B, C 的对边， a2 且b 2 sin Asin Bcb sin C ，则ABC 面积的最大值为 _6、（2016 ，洛阳 12月月考）在ABC 的内角 A, B,C 所对的边分别为a, b,c ，则下列命题正确的是 _ 若 sin Asin B2sin 2 C ，则 0C4 若 ab2c ，则 0C3 若 a4b4c

22、4，则ABC 为锐角三角形 若 ab c 2ab ，则 C2A, B,Ca,b,c72014ABC 的内角的对边分别为、（，陕西）（1）若 a,b, c 成等差数列，证明：sin AsinC 2sinA C（2）若 a,b, c 成等比数列，求cos B 的最小值8、设ABC 的内角 A, B,C 所对的边分别为a, b, c, 且 a cosC1 cb .2（1）求角 A 的大小；（2）若 a1，求ABC 的周长 l 的取值范围 .9、已知ABC 和A1B1C1 满足： sin A cosA1,sin BcosB1 ,sin CcosC1,（1）求证：ABC 是钝角三角形，并求最大角的度数（

23、2）求 sin 2 Asin2 B sin 2 C 的最小值10、（ 2016，安徽六校联考）已知函数f x 2cos 2 xcos2 x 1 .3（1）求 fx 的对称中心（2）若锐角ABC 中角 A, B,C 所对的边分别为a, b, c ，且 fA 0 ，求 b 的取值范围c习题答案：1、答案： A解析： B2 Asin Bsin 2Asin B2sin Acos Ab2a cos A2cos A0B2A2由 锐 角ABC 可知：0A2， 解 得A，所以640CAB3A2cos A2,3 ，从而 b2cos A2,3222、答案：3 ,18解析：方法一：若AC 存在点 M ，使得 BMC

24、N ，则BNC 为锐角或直角在 BNC中BN2CN 2BC20CN 2AN 2AC 22ANAC cos ABC 2AB 2AC 22 ABAC cos ABN 2AN 2AC 22 ANAC cos AAB2AC 22AB AC cos A 0代入 BNAN3, AB3, AC4 ，可得：29916 12cos A91624cos A0449c o sA312cos A82cos A3 ,18方法二（向量法）以 A 为 原 点 ， 直 线 AB 为 x 轴 建 系 ， 则 B 3,0, N 3 ,0 ， 设 C 4 cos A , 4 sinA ，2AMt0t4M t cosA,t sin AB Mct o s A3 ,t s i nAC, N34 c oAs, 4 Asi n2BMCNBMt cos A334cos At sin A4sin A02cos A155由 t0,4和 cos A1,13,18t8可得 cos A383、答案：62,62解 析 ：延 长 BA,CD交 于 点E， 则 在ADE中，DAE105 ,ADE45 ,E30设