知识讲解_余弦定理_提高

1、余弦定理编稿：张希勇审稿：李霞【学习目标】1. 掌握余弦定理的内容及证明余弦定理的向量方法；2. 熟记余弦定理及其变形形式，会用余弦定理解决两类基本解三角形问题；3. 通过三角函数， 余弦定理， 向量的数量积等知识间的联系，理解事件之间的联系与辨证统一的关系.【要点梳理】要点一、学过的三角形知识1. ABC 中（ 1）一般约定：ABC 中角 A、 B、 C 所对的边分别为a 、 b 、 c ；（2） AB C1800 ；（ 3）大边对大角，大角对大边，即BCbc ；等边对等角，等角对等边，即BCbc ；（ 4）两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，即a c b ， a c b .2. Rt

2、ABC 中， C900，（1） BA 900，（ 2） a2b2c2a， sin Bb1；（ 3） sin A， sin Ccccos AbacosC0， cos B，cc要点诠释： 初中讨论的三角形的边角关系是解三角形的基本依据要点二、余弦定理及其证明三角形任意一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。即：a 2b2c22bc cos Ab2a2c22ac cos Bc2a 2b22abcosC余弦定理的推导已知：ABC 中，BCa ，ACb 及角 C，求角C 的对应边c .证明：方法一：向量法（ 1）锐角 ABC 中（如图）， AC CB AB， AB AB (A

3、CCB)( ACCB)22CB AC2ACCB|AC|22| CB | | AC | cos(C)| CB|2b22ba cosCa2即： c2a2b22ab cosC(*)同理可得： b2a2c22ac cos B , a2b2c22bc cos A要点诠释：（ 1）推导（ * ）中， AC 与 CB 的夹角应通过平移后得到，即向量的起点应重合，因此AC与CB的夹角应为C，而不是 C.（ 2）钝角三角形情况与锐角三角形相同。（ 3）对于直角三角形中C时， cosC0 ,c2 a2 b2 ，也满足余弦定理。2方法二：几何法（ 1）当 ABC 为锐角三角形时如图，作 BC 边上的高 AD根据勾股

4、定理有：AC 2AD 2CD2， AB2AD 2BD2， Rt ADC 中， CDAC cosC ， AB2(AC2CD2)BD 2AC 2( AC cosC)2(CB CD)2b2b2 cos2 C(a b cosC )2= b2 a2 2ab cosC即： c2a2b22ab cosC .（ 2）当 ABC 为钝角三角形且 C为钝角时如图，作 BC 边上的高 AD根据勾股定理有： AC 2AD 2CD2， AB2AD 2BD2. Rt ADC 中， CDAC cos(C)AC cosC ， AB2(AC2CD2) BD2AC 2 ( AC cosC)2(CB CD)2b2b2 cos2 C

5、 (ab cosC) 2b2a22ab cosC即： c2a2b22ab cosC 仍然成立。（ 3）在直角ABC 中，当 C时， cosC 0 , c2a2b2 ，也满足余弦定理。2方法三：解析几何方法利用两点间距离公式这里我们只讨论锐角三角形的情形，对于直角三角形和钝角三角形的情形的讨论相同。如图所示建立坐标系.则点 A(0,0) ， B( c,0) ， C (b cos A,b sin A)由 B 、 C 两点间的距离可知，| BC |(b cos Ac)2(b sin A0) 2即 ab2c22bc cosA整理得到 a2b2c22bc cos A .余弦定理的变形公式：cosAb2c

6、2a2,cos Ba2c2b2,cos Ca2b2c22bc2ac2ab要点三、利用余弦定理解三角形1. 利用余弦定理可以解决下列两类三角形的问题：已知三角形的两条边及夹角，求第三条边及其他两个角；已知三角形的三条边，求其三个角。要点诠释： 在余弦定理中，每一个等式均含有四个量，利用方程的观点，可以知三求一.2. 解斜三角形的基本问题：已知条件解法解的情况一边和两角1利用 A+B+C=180，求 A（例如 a,B,C)2应用正弦定理求b,c唯一解两边和夹角1应用余弦定理求边c（例如 a,b,C ）2应用正弦定理求a,b 中较短的边所对的角（该角一定是锐角）唯一解3利用 A+B+C=180，求第

7、三个角 .三边法一 :1 、应用余弦定理先求任意两个角（例如 a,b,c)2用 A+B+C=180，求第三个角唯一解法二 :1 、应用余弦定理求 a,b,c 中最长边所对的角2、应用正弦定理求余下两个角中的任意一个（该角一定是锐角）3、利用 A+B+C=180，求第三个角两边及其中一此类问题首先要讨论解的情况边的对角1应用正弦定理，求另一边的对角（即角B）两解、一解或（例如 a,b,A)2、利用 A+B+C=180，求第三个角无解3、应用正弦或余弦定理求第三边要点诠释： 对于求解三角形的题目，一般都可有两种思路。但要注意方法的选择，同时要注意对解的讨论，从而舍掉不合理的解。比如下面例 2 两种

8、方法不同，因此从不同角度来对解进行讨论。此外，有的时候还要对边角关系（例如，大边对大角）进行讨论从而舍掉不合理的解。4、判断三角形形状余弦定理、正弦定理与三角形中的三角变换结合在一起，运用三角函数的变换公式进行三角函数式的变形转化，在三角形中，解决有关含有边角关系的问题时，可以运用余弦定理完成边角互化，通过变形转化成三角形三边之间的关系，判断三角形的形状.判断三角形形状有两条思考路线：其一是化边为角，再进行三角恒等变换，求出三个角之间的关系式；其二是化角为边，再进行代数恒等变换，求出三条边之间的关系式，两种转化主要应用正弦定理和余弦定理 .【典型例题】类型一：余弦定理的简单应用：例 1（ 20

9、16凉山州模拟改编）在ABC 中，角 A, B, C 所对的三边长分别为a,b, c ，若a : b : c1: 2:7 ，求ABC 中最大的角【思路点拨】已知三角形三边或三边的比例，一般首先考虑用余弦定理。【解析】设ak ， b2k ， c7k ， k0 ，边 c 对应的角最大根据余弦定理得： cosCk 24k 27k21 ，2k2k20 C 180 ，C 1200【总结升华】1. ABC 中，若知道三边的长度或三边的关系式，求角的大小，一般用余弦定理；2. 用余弦定理时，要注意公式中的边角位置关系.举一反三：【变式 1】已知ABC 中 a 3 ,b5 ,c7 ,求角C.【答案】根据余弦定

10、理：cosCa2b2c25232721 ，2ab2352 0C180 ， C 120o【变式 2】（2016兰州模拟）已知ABC 中，角 A,B,C 的对边分别是 a,b, c , 若 b2ac,c 2a ，则cosC =【答案】b2ac,c2a,bac2a22a ，则 cosCa2b2c2a22a24a222ab22a24【高清课堂： 余弦定理题一】【变式 3】在ABC 中，若 a2b2c2bc ，则角 A 等于（） .A.3B.C.2D.或 26333【答案】 b2c2a2bc ， cos Ab2c2a212bc2A2，2 A3类型二：余弦定理的综合应用例 2（ 2015 天津高考文）在A

11、BC 中，内角 A，B ，C 所对的边分别为a，b，c.已知 ABC 的面积为3 15， b c=2， cos A1.4（）求 a 和 sinC 的值；（）求 cos(2 A)的值 .6【答案】（）81515738（）16【思路点拨】本小题主要考查同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦、余弦公式、两角和的余弦公式以及正弦定理、余弦定理等基础知识.【解析】（）在 ABC中，由 cos A1，可得 sin A15.由 S ABC1 bc sin A 3 15 ，得 bc=24 ，442又 b c=2，解得 b=6， c=4.由 a2=b 2+c2 2bc cosA，可得 a=8.由ac，得 sin

12、C15sin Asin C.8cos(2 A)cos2 A cossin 2A sin6（）663 (2cos 2 A115 73.1)2sin A cos A2216【总结升华】熟练掌握正余弦定理，综合运用正弦定理和余弦定理实现边角之间的转化。举一反三：【变式 1】(2015安徽高考理 )ABC中， A，AB6，AC32 ，点 D 在 BC边上， AD BD，求4AD的长。【答案】设ABC的内角 A，B， C 所对边的长分别是a，b， c；由余弦定理得a2 b2 c2 2bc cos BAC (3 2) 62 2 3 2 6 cos 3 4 18+36-(-36) 90，所以 a 3 10又

13、由正弦定理得b sinBAC310，sin Ba3 10，由题设知 0 B104所以 cosB1 sin2 B113 101010在 ABD中，由正弦定理得ADAB sin B6sin B310 sin(2B)2sin B cosBcosB【变式 2】在ABC 中，已知 a2 3 ， c62 ， B450 ，求 b 及 A .【答案】由余弦定理得：b2a2c22accosB= (2 3) 2(62) 22 2 3 ( 62)cos45 0=12(62)243(31)= 8 b 2 2.求 A可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理：（法一：余弦定理） cosAb2 c2 a2(2 2)2(62 )

14、2(2 3)21 ，2bc222 (62)2 A 600.（法二：正弦定理）a2303bsin B22sin452sin A又 622.41.43.8， 23 2 1.8 3.6 a c ，即 00 A 900, A 600.【 变式3 】 在ABC 中 ，已 知角 A, B, C 所对 的三 边长 分别 为 a,b,c ， 若 a2 ， b2 2 ，c 6 2 ，求角 A 和 sin C【答案】根据余弦定理可得：b2c2a2884343cos A2bc222622 0 A180 ， A30；由正弦定理得：sin Cc sin A62 sin 3062.a24类型三：判断三角形的形状例 3 在 ABC中，已知 sinA=2sinBcosC,试判断该三角形的形状【思路点拨】本题可以用正弦定理、余弦定理化简成单一的边的关系，然后判断.【解析】由正弦定理及余弦定理，得sin Aaa2b2c2sin B,cosC2ab，b所以a2 a2b2c2, 整理得， b2c2b2ab因为 b0, c0,所以 bc ，因此 ABC 为等腰三角形【总结升华】已知三角形中的边角关系式，判断三角形的形状，有两条思路：其一化边为角，再进行三角恒等变换求出三个角之间的关系式；其二化角为边，再进行代数恒等变换求出三条边之间的