现代控制理论教案

1、现代控制理论理论教案绪论【教学目的】 了解现代控制理论的基本原理及方法，以便进行系统分析与设计，同时为进一步学习现代控制理论打下较扎实的基础。【教学重点】 了解控制理论发展的三个阶段并掌握各阶段的主要任务。【教学方法及手段】 课堂教学【课外作业】 阅读教材【学时分配】 2学时【教学内容】本教材绪论部分主要讲述了以下几个问题：一、控制理论发展简况1）古典控制理论：研究对象以单输入、单输出线性定常系统为主，以传递函数为系统的基本描述，以频率法和根轨迹法为主要分析与设计手段。2）现代控制理论以状态状态空间模型为基础，可研究多输入、多输出、时变、非线性等各种对象；研究系统内部结构的关系提出了能控性、能

2、观测性等重要概念，提出了不少设计方法。3）大系统与智能控制阶段。二、现代控制理论的基本内容(1)线性多变量系统理论。这是现代控制理论中最基础、最成熟的部分。它揭示系统的内在想律，从能控性、能观测性两个基本概念出发，研究系统的极点配置、状态观测器设计和抗干扰问题的一般理论。 (2)最优控制理论。在被控对象数学模型已知的情况下，寻求一个最优控制规律(或最优控制函数)，使系统从某一个初始状态到达最终状态并使控制系统的性能在某种意义下是最优的。(3)最优估计理论。在对象数学模型已知的情况下，最优估计理论研究的问题是如何从被噪声污染的观测数据中，确定系统的状态，并使这种估计在某种意义下是最优的。由于噪声

3、是随机的，而且是非乎稳随机过程(随机序列)，这种憎况下的状态估计是卡尔曼提出和解决的，故又称卡尔曼滤波。这种滤波方法是保证状态估计为线性无偏最小估计误差方差的估计。(4)系统辨识与参数估计。这是基于对象的输入、输出数据、在希望的估计准则下，建立与对象等价的动态系统(即建立对象的数学模型)，由于效学模型一船地说，是由阶致和参数决定的。因此，要决定系统的阶数和参数(即参数估计)。三、本课程的基本任务该课程是工业自动化专业的一门重要的专业基础课程。通过这门课的学习了解现代控制理论的基本原理及方法，以便进行系统分析与设计，同时为进一步学习现代控制理论打下较扎实的基础。所谓系统分析，就是指在规定的条件下

4、，对数学模型已知的性能进行分析。系统分析包括定量分析和定性分析。定量分析是通过系统对某一个输人信号的实际响应来进行的；定性分析则研究系统能控性、能观测性、稳定性和关联性等一般特性。各种设计方法往往来源于系统分析。因此，系统分析是十分重要的。所谓系统设计，就是构造一个能完成给定任务的系统，这个系统具有所希望的瞬态，稳态性能以及抗干扰性能。一般地说，设计过程不是一个简单的一次能完成的过程，而是一个逐步完善的过程。在这个过程中，有可能引入补偿器或调整某些参数。第一章 控制系统的数学模型第一节 状态空间表达式【教学目的】 了解状态空间描述的基本概念，掌握根据物理机理来建立状态空间表达式。掌握状态空间表

5、达式的建立方法。【教学重点】 基本概念的剖析与掌握。【教学难点】 掌握状态变量是确定系统状态的最小一组变量。【教学方法及手段】 课堂教学【课外作业】1.1 【学时分配】2学时【教学内容】一、状态、状态变量和状态空间通过RLC电路讲清楚状态、状态变量、状态空间的基本概念。二、状态空间表达式通过RLC电路的状态方程的建立将其分析结果推广到一般情况，可得到以下各种情况：1）多输入、多输出（MIMO）线性定常系统：= （1-1）其中A为系统矩阵，B为输入矩阵，C为输出矩阵，D为直接传输矩阵或称关联矩阵。2）单输入、单输出（SISO）系统： （1-2）3）多输入、多输出（MIMO）线性时变系统： （1-

6、3）4）非线性时变系统： Y= （1-4）5）非线性定常系统：= （1-5）三、状态变量的选取1）同一系统可以取不同的状态变量；2）状态变量的选取是非唯一的；3）系统状态变量的数目是唯一的。四、状态空间表达式建立的举例通过质量、弹簧、阻尼器系统和直流他励电动机的状态空间表达式的建立以了解实际系统的建模步骤及思想。第二节 由微分方程求状态空间表达式【教学目的】 掌握根据系统微分方程建立状态空间表达式的方法。【教学重点】 状态方程的建立。【教学难点】 不同形式状态方程的建立。【教学方法及手段】 课堂教学【课外作业】 1.5【学时分配】 2学时【教学内容】微分方程中不含有输入信号导数项一般情况下，系

7、统的输入和输出关系由n阶微分方程描述： （1-6） (1-7)二、微分方程含有输入信号的导数项 (1-8)第三节 传递函数矩阵【教学目的】 掌握系统传递函数矩阵也是线性定常系统的一种描述。【教学重点】 系统传递函数矩阵的求解【教学难点】 由状态空间表达式求系统传递函数阵【教学方法及手段】 课堂教学【课外作业】 1.7【学时分配】 1学时【教学内容】1） 单输入、单输出系统的传递函数： （1-39）讲例1-42） 传递函数矩阵：；（1-43）讲例1-5，例1-5的特点为两输入、两输出系统，这有别于单位输入、单输出系统。3） 闭环系统传递函数矩阵 （1-9）4） 传递函数描述和状态空间描述的比较。

8、见P19 第四节 离散系统的数学描述 【教学目的】 了解离散系统空间表达式的建立方法。【教学重点】 差分方程、 脉冲传递函数化为离散系统状态空间表达式。【教学难点】 离散系统空间表达式与连续系统表达式的区别。【教学方法及手段】 课堂教学【课外作业】 1-8,1-9【学时分配】 1学时【教学内容】1）差分方程中不含有输入量差分项的状态空间表达式的建立； 以三维为例，2）差分方程中含有输入量差分项的状态空间表达式的建立； G、H、C同上讲清例1-6并要求画出状态图3）脉冲传递函数（矩阵）， （1-10）通过例1-7搞清离散系统的传递函数矩阵的求法。第五节 线性变换【教学目的】 通过研究线性变换关系

9、得到便于应用且简单的状态空间表达式【教学重点】 各种标准的状态空间表达式，如能控、能观、对角、约旦型。【教学难点】 非奇异变换阵的选取【教学方法及手段】 课堂教学【课外作业】 1-11，1-12【学时分配】 2学时【教学内容】1）等价系统方程 线性定常系统的方程为 通过线性变换 ，于是转换后的系统方程为：2)线性变换的基本特性a、 线性变换不改变系统特征值；b、线性变换不改变系统的传递函数矩阵。3）化系统矩阵A为标准形a、 化A为对角阵；讲例1-8，1-9b、 化A为约当阵例：考虑由下式确定的系统：试求其状态空间表达式之能控标准形、能观测标准形和对角线标准形。解：能控标准形为：能观测标准形为：

10、对角线标准形为：讲例1-10化A为约旦型。 小 结本章介绍了状态空间描述和传递函数短阵描述。介绍了从状态变量的定义、状态变量的选取到建立状态空间表达式的整个过程,对于线性定常系统，在初始松弛情况下，也可以来用传递函数矩阵描述。这两种描述在系统分析和设计中都有应用。至于采用何种描述，应视所研究的问题以及时这两种描述的熟悉程度而定。一个系统，状态变量的数目是唯一的，而状态变量的选取是非唯一的。选取不同助状态变量，建立的状态空间表达式亦异。它们之间可以通过线性变换进行转换。本章介绍了线性变换定义、基本持性以及应用变换的方法获得几种标准形。线性变换的方法相当重要，本门课程很多章节中均要应用。传递函数矩

11、阵的描述与状态变量选择无关，即系统状态变量的不同选择，传递函数(短阵)是不改变的。 第二章 线性控制系统的运动分析第一节 线性定常系统齐次状态方程的解状态转移矩阵（由定义求，由拉普拉斯变换求）【教学目的】 了解状态转移矩阵的基本概念及求法【教学重点】 状态转移矩阵的两种求法【教学难点】 由拉普拉斯变换求【教学方法及手段】 课堂教学【课外作业】 2.1【学时分配】 2学时【教学内容】1)齐次方程的解为；2)状态转移矩阵的基本性质.P41例21 试求如下线性定常系统的状态转移矩阵(t)和状态转移矩阵的逆-1(t）。解 对于该系统，其状态转移矩阵由下式确定由于其逆矩阵为因此由于-1（t）=(-t)，

12、故可求得状态转移矩阵的逆为第二节 状态转移矩的求法(凯莱-哈密尔顿(Caley-Hamilton)定理, 对角线标准形与Jordan标准形法)【教学目的】 了解状态转移矩阵的另外两种求法【教学重点】 对角线标准形【教学难点】 凯莱-哈密尔顿(Caley-Hamilton)定理【教学方法及手段】 课堂教学【课外作业】2.2，2.4【学时分配】2学时【教学内容】1）化eAt为A的有限项法(Caley-Hamilton定理法)； 2）对角线标准形与Jordan标准形法例：解 该矩阵的特征方程为因此，矩阵A有三个相重特征值=1。可以证明，矩阵A也将具有三重特征向量（即有两个广义特征向量）。易知，将矩阵

13、A变换为Jordan标准形的变换矩阵为 矩阵P的逆为注意到 可得 =例： 试用前面介绍的两种方法计算解 方法一 由于A的特征值为0和-2（1=0，2= -2），故可求得所需的变换矩阵P为P =因此，由式(2.10）可得 方法二 由于可得因此第三节 线性定常系统非齐次状态方程的解第四节 线性离散系统的运动分析【教学目的】掌握线性定常系统非齐次状态方程的解及线性离散系统的运动分析【教学重点】 线性定常系统非齐次状态方程的解【教学难点】 线性离散系统的运动分析【教学方法及手段】 课堂教学【课外作业】2.6，2.20【学时分配】2学时【教学内容】给定线性定常系统非齐次状态方程为： (2-28)其中，且

14、初始条件为。 将方程（2.28）写为 在上式两边左乘e-At，可得 将上式由O积分到t，得故可求出其解为(2-31) (2.32)式中为系统的状态转移矩阵。例2.2 求下列系统的时间响应：式中，u(t)为t = 0时作用于系统的单位阶跃函数，即u(t)=1(t)。解 对该系统 状态转移矩阵已在前例中求得，即因此，系统对单位阶跃输入的响应为：或 如果初始状态为零，即X(0)=0,可将X(t)简化为 小 结 本章对系统运动的分析是通过求系统方程的解来进行的。状态方程是矩阵微分(差分)方程，输出方程是矩阵代数方程。因此，求系统方程的解的关键在于求状态方程的解。 线性系统方程曲解是借助状态转移矩阵来表

15、示的。本章介绍了状态转移矩阵的定义、基本性质和求解方法。重点介绍了线性定常系统状态转移矩阵的四种计算方法。有了状态转移矩阵，就可以求出系统在初始状态激励下的自由运动(齐次状态方程的解)以及在输入向量作用下的强迫运动(非齐次状态方程的解)。应当指出，系统自由运动轨线的形态是由状态转移短阵决定的，也就是由A唯一决定的。然而对一个系统来说，A是一定的，因此只有靠人为地采取措施(如第五章的状态反馈和输出反馈)来改造自由运动的形态。状态x(t)求出后，即可求出系统的输出y(t)。不同的输入向量，响应y(t)不同。但是只要有了y(t)就可以按经典控制理论中介绍的时域分析法来定量地分桥系统的性能。由于这个响

16、应y（t）是针对某个控制u（t）而言的，这就为用u（t）来达到希望的y(t)形态提供了可能(见第五章第六节)。实验一 状态空间控制模型系统仿真及状态方程求解【实验目的】 借助Matlab工具在计算机上实现前二章所讲的 重要内容。【实验重点】 各种不同状态方程之间的转换及状态方程的求解、【实验难点】 对角型、约旦型、模态型的转换【教学方法及手段】 上机实验。【课外作业】认真写实验报告，复习巩固实验内容【学时分配】2学时 第三章 控制系统的能控性和能观测性【教学目的】 掌握系统的能控性的概念及其判据。【教学重点】 线性连续定常系统的能控性的判断。【教学难点】 能控性判据概念的理解。【教学方法及手段

17、】 课堂教学【课外作业】3-1【学时分配】2学时【教学内容】 在经典控制理论中，着眼点在于研究对系统输出的控制。对于一个单输入单输出系统来说，系统的输出量既是被控量，又是观测量。因此，输出量明显地受输人信号控制，同时，也能观测，即系统不存在能控、不能控和能观测、不能观测的问题。 现代控制理论着眼点在于研究系统状态的控制和观测。这时就遇到系统的能控性和能观测性问题了。能控性(controllability)和能观测性(observability)深刻地揭示了系统的内部结构关系，由R.E.Kalman于60年代初首先提出并研究的这两个重要概念，在现代控制理论的研究与实践中，具有极其重要的意义，事实

18、上，能控性与能观测性通常决定了最优控制问题解的存在性。例如，在极点配置问题中，状态反馈的的存在性将由系统的能控性决定；在观测器设计和最优估计中，将涉及到系统的能观测性条件。通过例3-1、3-2可知，研究系统的状态变量与输人信号之间的关系时，存在能控与不能控的问题。系统能观测问题是研究测量输出变量y去确定系统状态变量的问题。通过例3-3可知，状态x存在能观测和不能观测的问题。至此，我们可以知道，在基于状态空间描述的现代控制理论中，存在状态能控性和能观测性问题。这是两个反映系统构造特性的基本概念。在本章中，我们的讨论将限于线性系统。将首先给出能控性与能观测性的定义，然后推导出判别系统能控和能观测性

19、的若干判据。 第一节 能控性及其判据一、线性定常系统的能控性及其判据(一)能控性定义线性定常系统状态方程为= （3-1）其中x、u分别为n、r维向量，A、B为满足矩阵运算的常值矩阵。若给定系统的一个初始状态可为x(t0)（t0可为0），如果在的有限时间区间t0，t1内，存在容许控制u（t）使x(t1)0，则称系统状态在t0时刻是能控的；如果系统对任意一个初始状态都能控，则称系统是状态完全能控的，简称系统是状态能控的或系统是能控的。由这个定义可知： 1)系统能控性定义中的初始状态x(t0)是状态空间中任意的非零有限点，控制的目标是状态空间坐标原点(有的文献称为达原点的能控性)。 2)如果在时间区

20、间t0，t1内存在容许控制u（t），使系统从状态空间坐标原点推向预先指定的状态x(t1)，则称为状态能达性。由于连续系统状态转移矩阵是非奇异的因此可以证明系统能控性与能达性是等价的。 3)在能控性研究中，我们考察的并不是x(t0)推向x(t1)0的时变形式，而是考察能控状态在状态空间中的分布。很显然，只有整个状态空间中所有的有限点都是能控的，系统才是能控的。(二)能控性判据判据一：若式（3-1）系统能控，则能控性矩阵 满秩。即 判据一的证明从略，结合具体例子介绍其方法。例 考虑由下式确定的系统： 由于即Q为奇异，所以该系统是状态不能控的。例 考虑由下式确定的系统： (3-2) 对于该情况，即Q

21、为非奇异，因此系统是状态能控的。判据二：由于状态能控的条件是A的特征向量互异，关于定常系统能控性的判据很多。除了上述的代数判据外，本小节将给出一种相当直观的方法，这就是从标准形的角度给出的判据。 考虑（3-2）的线性系统。 如果A的特征向量互不相同，则可找到一个非奇异线性变换矩阵P可将A阵转换为对角阵，当且仅当转换后的输入矩阵没有一行的所有元素均为零时，系统才是状态能控的。如果式（3-2）中的矩阵A不具有互异的特征向量，则不能将其化为对角线形式。在这种情况下，可将A化为Jordan标准形。例如，若A的特征值分别1,1,1,4,4,6,n,并且有n - 3个互异的特征向量，那么A的Jordan标

22、准形为 (3-3)与每个Jordan块最后一行相对应的的任一行元素不其中，在主对角线上的33和22子矩阵称为Jordan块。 假设能找到一个变换矩阵S，使得 如果利用x = S z(3-4)定义一个新的状态向量z，将式（3-4）代入式（3-2）中，可得到 (3-5)从而式（3-5）确定的系统的状态能控性条件可表述为，当且仅当：（1）式（3-3）中的矩阵J中没有两个Jordan块与同一特征值有关；（2）全为零；（3）对应于不同特征值的的每一行的元素不全为零时，则系统是状态能控的。例 下列系统是状态能控的：下列系统是状态不能控的： 判据三： 用传递函数矩阵表达的状态能控性条件状态能控的条件也可用传

23、递函数或传递矩阵描述。状态能控性的充要条件是在传递函数或传递函数矩阵中不出现相约现象。如果发生相约，那么在被约去的模态中，系统不能控。例 考虑下列传递函数：显然，在此传递函数的分子和分母中存在可约的因子（s+2.5）(因此少了一阶)。由于有相约因子，所以该系统状态不能控。当然，将该传递函数写为状态方程，可得到同样的结论。状态方程为 由于即能控性矩阵的秩为1，所以可得到状态不能控的同样结论。 第二节 能观测性及其判据【教学目的】 掌握系统的能观性的概念及其判据。【教学重点】 线性连续定常系统的能观性的判断。【教学难点】 能观性判据概念的理解。【教学方法及手段】 课堂教学【课外作业】3-2【学时分

24、配】2学时【教学内容】现在讨论线性系统的能观测性。考虑零输入时的状态空间表达式 (3-6)式中，。如果每一个状态x(to)都可通过在有限时间间隔tott1内，由y(t)观测值确定，则称系统为(完全)能观测的。本节仅讨论线性定常系统。不失一般性，设to=0。能观测性的概念非常重要，这是由于在实际问题中，状态反馈控制遇到的困难是一些状态变量不易直接量测。因而在构造控制器时，必须首先估计出不可量测的状态变量。在“系统综合”部分我们将指出，当且仅当系统是能观测时，才能对系统状态变量进行观测或估计。在下面讨论能观测性条件时，我们将只考虑由式（3-6）给定的零输入系统。这是因为，若采用如下状态空间表达式则

25、从而 由于矩阵A、B、C和D均为已知，u(t)也已知，所以上式右端的最后两项为已知，因而它们可以从被量测值y(t)中消去。因此，为研究能观测性的充要条件，只考虑式（3-6）所描述的零输入系统就可以了。判据一、线性定常系统状态能观测性及其判据 考虑由式（3-6）所描述的线性定常系统。将其重写为 易知，其输出向量为 将写为A的有限项的形式，即因而或 (3-7) 显然，如果系统是能观测的，那么在0tt1时间间隔内，给定输出y(t)，就可由式（3-7）唯一地确定出x(0)。可以证明，这就要求nmn维能观测性矩阵的秩为n。由上述分析，我们可将能观测的充要条件表述为：由式（3-6）所描述的线性定常系统，当

26、且仅当nnm维能观测性矩阵的秩为n，即时，该系统才是能观测的。此为判据一。例 试判断由式所描述的系统是否为能控和能观测的。解 由于能控性矩阵的秩为2，即，故该系统是状态能控的。 对于输出能控性，可由系统输出能控性矩阵的秩确定。由于的秩为1，即，故该系统是输出能控的。为了检验能观测性条件，我们来验算能观测性矩阵的秩。由于 的秩为2，故此系统是能观测的。判据二、状态能观测性条件的标准形判据 考虑由式（3.13）和（3.14）所描述的线性定常系统，将其重写为 (3-8) 设非奇异线性变换矩阵P可将A化为对角线矩阵，如果mn维矩阵的任一列中都不含全为零的元素，那么系统是能观测的。如果不能将式（3-8）

27、变换为对角线标准形，则可利用一个合适的线性变换矩阵P，将其中的系统矩阵A变换为Jordan标准形。系统能观测的充要条件为：（1）J中没有两个Jordan块与同一特征值有关；（2）与每个Jordan块的第一行相对应的矩阵列中，没有一列元素全为零；（3）与相异特征值对应的矩阵列中，没有一列包含的元素全为零。为了说明条件(2），在下例中，对应于每个Jordan块的第一行的列之元素用下划线表示。 例 下列系统是能观测的：显然，下列系统是不能观测的：判据三、用传递函数矩阵表达的能观测性条件类似地，能观测性条件也可用传递函数或传递函数矩阵表达。此时能观测性的充要条件是：在传递函数或传递函数矩阵中不发生相约

28、现象。如果存在相约，则约去的模态其输出就不能观测了。 例3.6 证明下列系统是不能观测的。式中解 由于能观测性矩阵注意到即，故该系统是不能观测的。 事实上，在该系统的传递函数中存在相约因子。由于X1(s)和U (s)之间的传递函数为又Y (s)和X1(s)之间的传递函数为故Y(s)与U(s)之间的传递函数为显然，分子、分母多项式中的因子（s+1）可以约去。这意味着，该系统是不能观测的，或者说一些不为零的初始状态x(0)不能由y(t)的量测值确定。 第四节 离散系统的能控性和能观测性【教学目的】 掌握离散系统的能控性、能观性的概念及其判据。【教学重点】 线性定常离散系统的能控性、能观性的判断。【

29、教学难点】 能控性、能观性判据概念的理解。【教学方法及手段】 课堂教学【课外作业】3-9，3-10【学时分配】2学时【教学内容】一、能控性定义关于离散系统的能控性和能观测性问题，几乎与连续系统完全类似地有一套相应的理论和方法。因此本节只作扼要地介绍。线性定常离散系统方程为 （3-9）其中x(k)、u（k）、y（k）分别为n、r、m维向量，G、H、C为满足矩阵运算的矩阵。对系统(333)的任一初始状态x(0)，存在k0，在有限时间区间0，k内，存在容许控制序列u（k），使得x(k)0，则称系统是状态完全能控的，简称系统是能控的。由于在k时刻，有x(k)=0，有的书称为第k步能控。如果在有限时间区

30、间0，k内，存在容许控制序列u（k），将系统从状态空间坐标原点x（k）0推向预先指定的状态x(k)，则称为能达性。在连续系统中，系统的能达性与能控性是等价的，而离散系统的能达性与的控性之间关系如何呢?离散系统与连续系统略有差别。在离散系统中，如果系数矩阵G是非奇异的则能达性与能控性等价。也就是说，离散系统中的能达性和能控性等价是有条件的。二、能控性判据线性定常离散系统能控的充要条件为 满秩。例3-11 线性定常离散系统状态方程为试判别系统的能控性。解：故系统能控。三、能观性定义对于系统(39)，根据有限个采样周期y（k），可以唯一地确定系统的任一初始状态x(0)，则称系统是状态完全能观测的，简

31、称系统是能观测的，有的书称为第k步能观测。同样也可以讨论系统的能检测性，而且离散系统的能检测性、能观测性之间的关系与连续系统略有差别。在离散系统中，只有系数短阵G是非奇异时，能检测性与能观测性才是等价的，也就是说，离散系统的能检测性和能观测性是有条件的等价。四、能观测性判据系统(3-9)能观测的充分必要条件是型能观测性矩阵的秩为。即例3-12 线性定常离散系统方程为试判别系统的能观测性。故系统能观测。第五节 对偶原理下面讨论能控性和能观测性之间的关系。为了阐明能控性和能观测性之间明显的相似性，这里将介绍由R.E.Kalman提出的对偶原理。 考虑由下述状态空间表达式描述的系统S1： （3-10

32、）式中，。系统能控性是研究输入u（t)与状态x(t)之间的关系，而能观测性是研究输出y（t)与状态x(t)之间的关系。通过上面的讨论可以看到，能控性与能观测性，无论在概念上还是判据的形式上，都很相似。它给人们一个启示，即能控性与能观测性之间存在某种内在的联系。这个联系就是卡尔曼提出的对偶性。现在我们来构造一个系统 （3-11）其状态图如下所示。 对偶系统有两个基本特征：1对偶的两个系统传递函数阵互为转置2对偶的两个系统特征值相同3. 线性定常系统(310)和系统(311)为对偶系统，系统(310)的能控性等价于系统(311)的能观测性；而系统(310)的能观测性与系统(311)的能控性等价。这

33、就是对偶原理。例314 线性定常系统方程为 试判别系统能观测性。解 该题可以宜接检查能观测性短阵的秩来判grj系统能观测性。但是为了熟悉对偶原理的应用，下面用检查其对偶系统能控性来判别系统能观测性。该题的对偶系统为 能控性矩阵 对偶系统能控。根据对偶原理知，原系统能观测。实际上 ，系统能观测，与按对偶原理判别结果一致。 小 结能控性和能观测性是系统定性分析的重要内容之一。本章介绍能控性和能观测性的定义，导出了线性系统能控性、能观测性的定理。其中定理36和定理314是本章两个基本结果。因为导出它们所用的假定最少(只需假定连续性)，因此可以最广泛地应用。若引入附加假定(连续可微性)，则得到定理38

34、和定理315，它们虽仅给出充分条件，但易于应用。对于线性定常系统，可以得到系统能控和能观穗的充分必要条件。如果将能控性、能观测性的定理一一对应列出，持会发现其间的对偶性。对偶原理搭起了控制问题和估计问题的桥梁，在理论和实际两方面具有很大意义。第四章 控制系统的稳定性 稳定性是系统定性分析的又一个重要内容。工程实际中，可以应用的系统必须是稳定的。不稳定的系统是不能付诸实用的。在系统分析和设计中，不可避免地会遇到稳定性问题。【教学目的】 掌握系统稳定性的概念及判据【教学重点】 李亚甫诺夫意义下稳定性的定义【教学难点】 有关稳定性几个重要概念的理解【教学方法及手段】课堂教学【课外作业】 4-1【学时

35、分配】 2学时【教学内容】随着科学技术的发展以及航空、航天工业发展的需要，控制问题由线性、定赏、单输入单输出系统问题刚E线性、时变、多输入多输出系统向题延伸。使得稳定性问题分析的复杂程度急剧地增加。那些在经典控制理论中行之有效的穆定性分析方法在此无能为力。必须寻求其它方法。李亚甫诺夫在1892年发表了运动稳定性一般问题论文，建立了运动稳定性的一般理论和方法。他把分析常微分方程组稳定性的所有方法归纳为两种。第一种方法是求出常微分方程的解，分析系统的稳定性，这是一种间接方法；第二种方法是不需要求解激微分方程的解而能提供稳定性的信息。这是一种直接方法。由于求解非线性时变微分方程组的解是很困难的，甚至

36、是不可能的。因此，李亚甫诺夫第二法就显得特别的重要。该方法研究系统稳定性是建立在这样一个事实之上的，即系统的一个平衡状态若为渐近稳定时，在外界作用下，系统能量要发生变化。但是，系统贮存的能量必将随着时间的增长而衰减，直至趋于平稳状态而使能量趋于最小值。书上通过例-1以一个机械平移系统为例来说明这个问题。李亚甫诺夫构造了所谓广义能量函数，称之为李亚甫诺夫函数，记成V(x，t)。当李亚甫诺夫函数不显含时间t，就记成V（x）。通过研究V(x，t)或V（x）及其沿系统状态软线运动随时间的变化率的定号性就可以给出系统稳定性的信息。图4-2以二维系统为例，说明了能量函数E（x1，x2）随时间t的的增加而而

37、连续减小。李亚甫诺夫第二法是研究系统乎衡状态稳定性的。什么是系统平衡状态呢? 在例41中，x10，x20称为平衡状态。一般地说，系统的状态方程为 (41)其初始状态为x(0)。系统的状态轨线x(t)是随着时间而变化的。当且仅当有，则称为系统的平衡状态。由此可见，当状态轨线x（t）达到平衡状态时，如果系统不加输入，则状态就永远停留在平衡状态。第一节 李亚甫诺夫意义下稳定性的定义一、 稳定二、渐近稳定 李亚甫诺夫意义下渐近稳定就是经典控制理论中所说的稳定。工程中的系统都要求是李亚甫诺夫意义下渐近稳定。三、大范围渐近稳定渐近稳定性是系统的一个局部稳定性概念。如果对于状态空间中，初始状态是整个状态空间

38、中的任何点，而从出发的状态轨线有 （4-2）则称0为李亚甫诺夫意义下大范围渐近稳定或李亚甫诺夫意义下全局渐近稳定。当大范围渐近稳定与初始时刻选择无关时，则称一致大范围渐近稳定。很显然，对于大范围渐近稳定的系统，其必要条件是整个状态空间中，只存在一个平衡状态。对于线性系统，只要系统=0是渐近稳定的，则一定是大范围渐近稳定的。四、不稳定 第三节 李亚甫诺夫第二法【教学目的】 掌握李亚甫诺夫第二法判断系统稳定性的几个定理。【教学重点】 一致大范例渐近稳定的概念【教学难点】 二次型定号性与稳定性的关系【教学方法及手段】课堂教学【课外作业】复习所讲内容【学时分配】2学时【教学内容】在本章第一节中已简单地

39、介绍了李亚甫诺夫第二法研究系统稳定性的基本方法，即构造一个与系统状态x有关的标量函数V(x，t)来表征系统的广义能量。V(x，t)称为李亚甫诺夫函数。研究V(x，t)及其沿状态轨线随时间的变化率的定号性，就可以得到有关系统的稳定性信息。换句话说，对一个系统来说，如果我们能够构造V(x，t)，就能判断该系统的运动核定性。 本节介绍李亚甫诺夫第二法判断系统稳定性的几个定理。定理4-1 设系统状态方程为 （4-3）在平衡状态的某领域内，标量函数，具有连续一阶导数，且满足1、2、则是一致渐近稳定的。如果则是一致大范例渐近稳定的。定理4-2 设系统状态方程为 （4-4）在平衡状态的某领域内，标量函数，具

40、有连续一阶导数，且满足1、2、3、除平衡状态外，还有的点，但不会在整条状态轨迹上有，则是一致渐近稳定的。如果则是一致大范例渐近稳定的。定理4-3 设系统状态方程为 （4-5）在平衡状态的某领域内，标量函数，具有连续一阶导数，且满足1、2、则是一致稳定的。定理4-4 设系统状态方程为 （4-6）在平衡状态的某领域内，标量函数，具有连续一阶导数，且满足1、2、则是不稳定的。第四节 线性连续系统的稳定性【教学目的】 掌握李亚甫诺夫第二法判断线性连续及离散系统的稳定性。【教学重点】 连续系统李亚甫诺夫方程【教学难点】 离散系统李亚甫诺夫方程【教学方法及手段】 课堂教学【课外作业】 4-4、4-5、4-

41、6【学时分配】 2学时【教学内容】设系统状态方程为 假定A是非奇异矩阵，这时系统存在唯一的平衡状态。李亚甫诺夫函数为状态变量的二次型形式，即 (4-7)其中P为型正定的对称常值矩阵。显然有，当要求为渐近稳定时，应为负定的。令 (4-8) 式中的Q阵为正定对称矩阵且满足，式4-8称为李亚甫诺夫方程。且Q是正定矩阵。式(4-8)称为李亚甫诺夫方程。因为Q是正定短阵，则0，这就意味着沿的任意轨线x（t），V(x)随时间单调减小，当时，V(x)最终将趋于零。根据李亚甫诺夫稳定性定理41可知，是一致渐近稳定的。因为是线性系统，故是一致大范围渐近稳定的。在运用李亚甫诺夫方程（48)判别系统的稳定性时，先指

42、定正定阵Q，再按式(4-7)求出P阵，然后检查P阵的正定性。由于Q阵的形式可以任意给定，并且最终的判断结果与正定阵Q的不同选择无关。故最方便也是最简单的选择是选取QI(单位阵)。这时李亚南诺夫方程就成为 (420)根据式(4-7)求出P阵，用赛尔维斯特判据来检验其正定性，当P阵是正定阵时，则为一致渐近稳定的，并且是一致大范围渐近稳定的。详细讲解例4-6。线性定常离散系统的稳定性线性定常离散系统的状态方程为 （4-9）是系统的平衡状态。下面用李亚甫诺夫第二法来研究系统的渐近稳定性问题。对于式(421)描述的线性定常离散系统。假设G为型奇异常阵，是唯一的平衡状态。选取李亚甫诺夫函数为 式中，P为正

43、定的对称常值短阵。显然有 V0， 而的差分为 式中Q为正定对称常阵。而 （4-23）称为李亚甫诺夫方程。与线性定常连续系统类似，判别系统的渐近稳定性时，通常是给出一个正定对称常P，然后用式(423)求出P阵，并验证其正定性。如果P阵是正定的，则为一致渐近稳定的，且是一致大范围斯近稳定的。讲解书上例4-7。 小 结 稳定性与能控性、能观测性一样都是系统的重要特性。本章介绍了李亚甫诺夫意义下稳定性的定义和李亚甫诺夫第二法分析系统平衡状态稳定性的定理，同时介绍了线性定常系统零状态响应的稳定性及其与平衡状态稳定性的关系，即平衡状态渐近稳定包含了BIBO稳定，而BIBO稳定的系统未必是平衡状态惭近稳定，

44、只有当系统能控又能观测时，BIBO稳定的系统才是平衡状态渐近稳定。 线性定常系统的稳定性可以由传递函数的极点或由A的特征值来分析。也可以用李亚甫诺夫第二法来分析。应该指出，到目前为止，还没有构造李亚甫诺夫函数的一般方法，而靠经验与技巧。由于李亚甫诺夫第二法给出的结果是非线性系统稳定性的充分条件，所以，对某个系统而盲，构造不出李亚甫诺夫函数，我们不能说，该系统不稳定，只能说，无法提供有关系统稳定性的信息。稳定性分析方法同样可应用到离散系统中去。只是线性离散系统的李亚甫诺夫方程形式和线性连续系统略有不同。实验二 能控能观判据及稳定性判据【实验目的】 借助Matlab工具在计算机上实现能控性及能观性

45、判据【实验重点】 李亚甫诺夫稳定性判据【实验难点】 能控性、能观性判据【教学方法及手段】 上机实验。【课外作业】认真写实验报告，复习巩固实验内容【学时分配】2学时第五章 线性定常系统的综合 第一节 引 言 第二节 状态反馈和输出反馈【教学目的】掌握状态反馈及输出反馈的概念【教学重点】 状态反馈的意义【教学难点】 状态反馈的的作用【教学方法及手段】课堂教学【课外作业】复习所讲内容【学时分配】2学时【教学内容】在第二章，研究的是在己知系统的结构和参数情况下系统的运动，从而了解系统的运动形态。第三章介绍了系统的能控性和能观测性。第四章是系统稳定性问题。如果将上述研究的内容概括起来说，就是在已知系统的

46、结构和参数情况下，研究系统的性能或特性，即所谓系统分析问题。 本章将研究线性定常系统的综合。这是一个与系统分析相反的命题，是在给定被控对象的情况下，通过设计控制器的结构和参数，使系统满足预先规定的性能指标要求。采用的方法是先涵量系统的状态，再用状态来确定被控对象上所加的控制输人，从而构成状态反馈系统。对状态反馈系统来说，能控性和能观测性同祥具有很重要的意义。采用状态反馈，对系统能控性和能观测性有无影响呢?这是本章讨论的重要内容之一。同时研究一个能控的系统，引入状态反蚀可以任意配置状态反馈系统的极点，保证系统具有所希望的瞬态性能和稳态性能；对于系统的状态变量无法测量但又要用它来实现反馈的情况，将

47、介绍在系统朗观测条件下，通过状态重构方法。设计状态观测器。用重构状态实现状态反馈。本章还将研究用状态反馈进行系统解耦。在经典控制理论中，利用系统的输出进行反馈，构成输出负反馈系统，可以得到较满意的系统性能；减小于扰对系统的影响；减小被控对象参数变化对系统性能的影响。因此，输出反馈控制得到了广泛的应用。在现代控制理论中，为了达到希望的控制要求，也采用反馈控制方法来构成反馈系统。这里采用的反馈控制有状态反馈和输出反馈两种。一、状态反馈线性定常系统方程为 （5-1）其中状态x、输入u和输出y分别为n、r、m维向量。A、B、C、D为满足短阵运算的短阵。假定有可能设置n个传感器，使全部状态变量均可用于反馈。其反馈控制律为 u=V-Kx (5-2)其中 K为rn型反馈增益矩阵;V为r维输入向量。构成的状态反馈系统如图51所示。状态反馈系统方程为 Ax十B(VKx)(A一BK)x+BV y(CDK)x+DV (5-3)由方程(53)可知： 1)状态反馈不增加新的状态变 量o 2)状态反馈对输入矩阵B和直接传畅矩阵D无影响o 3)系统的系数矩阵由A变成(A-BK)。 4)输出矩阵由C变成(CDK)。 系统的瞬态性能主要由系数矩 阵决定。A、B阵是已知的