好一个“一点锁定180度”

1、好一个“一点锁定180 度”三角形的内角教学实录及评析授课：湖北省钟祥市第五中学孙红强点评：湖北省钟祥市第五中学杨 辉义务教育数学课程标准提出义务教育阶段数学课程的总目标，将其分为知识与技能、数学思考、解决问题、 情感与态度共4 个子类。 在每一类中都渗透“过程性目标 ”的思想， 用 “经历、体验、探索 ”三个动词刻画数学活动水平。“经历、体验、探索”就是要学生通过主动参与特定的数学活动，对知识的产生、发展、结果（抽象）、应用与拓展进行个体体验、群体合作交流。从这里可以看出，我们的数学教学要变过去只“重视结果”为现在的“既重结果，更重过程”，两者并重的新型数学教育教学理念。而这些过程在我们的数

2、学课程教学中，特别是具体到一节数学课堂的教学中，该如何体现出数学知识教学的“过程性”呢？笔者以为数学知识的过程教学主要体现为数学知识的“生长过程”，也即数学知识的形成过程，要从过去对它们视而不见，转变为今天加强对它们开发、呈现，并试图让学生经历数学知识“生长”的全过程，在研究数学知识“生长过程”中提升学生学数学的兴趣和能力。 现行的数学新教材的确加大了数学知识形成过程的板块设计，但要实现把数学知识 “生长过程”教学化，使学生经历数学知识的形成过程，仅仅借助教材的呈现方式是完全不够的。这就需要我们教师开发教材，设计数学知识的“生长过程”，引导学生从数学知识“生长过程”中走过。下面以人教课标实验版

3、7 年级（下册）的“三角形的内角”一节教学为例，来作一探索。1探究新知1 1情景、设疑师：某地板砖厂生产一种三角形的地板要求三角形的每个内角都是60 度；质量检测员在检查地板是否合格时，却只测量了两个角就做出结论，他这样做有道理吗？生 1：有道理。因为三角形的三个内角的和为180 度 ，测量三角形中的两个角就能算出第三个角。师：“三角形的三个内角的和为180 度”这个结论我们还没有论证。回忆一下，我们在小学时是用什么方法来验证“三角形的内角和等于180 度”？1 2剪纸、拼图生 2：用量角器量各个内角的度数，计算它们和，得出结论。生 3：用撕拼的方法。将三角形中的两个角剪下，拼在第三个角旁，看

4、是否构成平角。生 4：用折纸的方法，将三个角折叠到一起。师：大家能猜想到“三角形的内角和等于180 度”，以上三位同学又为我们提供了采用实验的手段进行验证的好方法。下面我们以小组为单位进行实验验证。师：刚才同学们讨论得很热烈。你们究竟是怎样验证的呢？哪些同学愿意代表你们的小组上来展示你们小组的验证方法？生5：我们用两种方法进行验证：一种方法是测量法, 如图 1 ，分别测得a 58 , b 62 , c 60 , 这样就有： a b c 58 62 60 180；另一种方法是剪拼法，如图2，将 a、 b 剪下拼到点c 处，可以得到a b c180。a58b6260c图 1师：在图 2 中你是怎样

5、判断 a b c 180？生 6：因为 a、 b、 c它们拼成了一个平角。生 7：我们小组也是用剪拼的方法，不过拼的方法和他们的不一样。这是我们拼的图形（如图3）， a、 b、 c也拼成了一个平角。生8：我们小组是这样拼的，只把a 移动拼在 c处（如图4）。根据两直线平行，同旁内角互补，可得到： a b c180。师：生8 不仅拼出了图形，而且还给予了必要的论证方法，实验的结论经过了推理论证，结果是可靠的。【点评 】学生经过剪、拼图活动，得出“三角形的三个内角的和为180”，学生经历发现问题的思维过程，激发了自由探索的兴趣和欲望。1 3发现、生成师：好，数学结论正确性是要建立在推理基础上的。上

6、述实验结果是否可靠，还需要加以证明。刚才的拼图过程已经为我们提供了证明思路和方法，请把你们的方法由来及证明方法在小组内说说，听听其他同学的意见，互相取长补短。（同学们互相讨论着，体验着成功的快乐。）师：从同学们热烈的讨论中可以看出大家有很多好方法。现在请各个小组推荐一位代表作准备，代表你们小组进行“学术报告”。在报告中必须说明你的方法的由来和证明思路。（第 6 小组的代表拿着笔和纸兴冲冲来到实物展台前。）师：现在大家注意，前面的同学在展示他的方法时，我们要认真听、仔细看。在汇报结束后，我们就可以针对他的方法和根据提出问题，然后请做汇报的同学答辩。生 9（第 6 小组的代表） ：过点 c 作 c

7、d ab，延长 bc到 e，证明过程如下：因为 1 a, 2 b，所以 a b c 180。ad12bce图 5师 ：生 9 为我们展示了他的证明方法。同学们有什么问题吗？生 10：生 9 的说理过程有问题。以下是我们小组的说理过程：因为 cd ab,所以 1 a, （两直线平行，内错角相等） 2 b, （两直线平行，同位角相等）又因为 acb 1 2 180，（平角意义）所以 a b c 180。师 ：不 。 充以后因果关系就比 清楚了。不 ，生 10 同学的 理 程也存在 ， 需加上“ 点 c 作 cd ab，并延 bc到点 e” 就更好了。同学 有 ？（ 无人再 手 ）师：老 有一个疑

8、，你是怎 想到 点c 作 ab 的平行 cd？生 9：由 2 的拼法可以 ：把a 剪下并拼到点c ，得到 a a，根据内 角相等，可以得到两直 平行；反 来，如果两直 平行，那么a a，就相当于把 a 剪下并拼到点 c 。 ，我 就得到 5 的作平行 方法。师：不 ，你 很善于借助拼 中的 ，如果不做平行 呢？（生 11 高高地 起了手 ）生 11：如 6，我直接在点c 以点 c 角的 点， ca 角ad的一 ，在三角形外画1 a。理由如下：因 1 a,1所以 cd ab.（内 角相等，两直 平行）2因 cd ab,bce所以 2 b. （两直 平行，同位角相等）图 6所以 a b c 1 2

9、 acb 180 。师：好！其他小 有方法 ？a生 12（第 4 小 的代表）：我 受拼 3 的启 ， 点 c 画 ef ab，如 7。 相当于把 a、 b 拼e在 c 的两旁。理由 ：1因 ef ab，bc所以 1 a，（两直 平行，内 角相等）2f 2 b，（两直 平行，内 角相等）图 7a所以 a b c 1 2 acb 180。生 13：（第 1 小 代表）：我 受拼 4 的启 ，如 8，d 点 c 作 cd ab . 理由如下：因 cd ab,所以 b bcd180 , （两直 平行，同旁内角互 ）bc所以 a b acb 180 。图 8生 14：我 生 13 的 理不 准确。 在

10、第一个“所以 ”后加上“ acd a，（两直 平行，内 角相等）”。师：我有点佩服大家了（学生笑），不 能从拼 中 方法，采用不同的途径 明了“三角形的内角和等于 180 度”（板 ），而且道理也 得明白。【点 】：在 明 程中，有的学生 三角形的一个 点作 的平行 ；有的 是以三角形的一个角的 点 点， 个角的一 在三角形外部做一个角等于其他两个角的任一个，构成内 角 ， 得平行 。 些 助 的作法是在学生拼 后由 而 的，其“生 程” 合情合理。1 4拓展、探究（由于平行 种 助 作法在平面几何中有着很重要的 用，教 抓住 机，提出 。）师：有人 “ 平面上任一点作三角形 的平行 均可 明

11、三角形内角和 ”，大家 行 ？（一石激起千 浪，此 ，学生已 三角形的 点作 的平行 可达目的。学生在学 小 内展开了 极的 ， 其它点画平行 ，不一会有学生 起了手。）生 4（用折 的方法 “三角形内角和 180”的同学） ：如 9，在 bc上任意取一点p，作 pe ac、 pd ab。 理 程如下：因为 pd ab,a所以 1 b、 a 2，（两直线平行，同位角相等）因为 pe ac,e所以 3 c、（两直线平行，同位角相等）42 4 2，（两直线平行，内错角相等）所以 a b c 3 4 1 bpc180。31bp生（第 2 小组的代表）：如图 10，在 abc的内部任取一点p，图 91

12、5分别作 mn bc、 pd ab 、 pe ac。因为 mn bc，所以 amn b、 anm c，（两直线平行，同位角相等）接下来就可以转化为生4 的证明方法了。ademnpbc图 10dc生 16（第 3 小组的代表）：在 abc外任取一点于点 m、 n，作 pd ab 、pe ac分别交证明方法和生15 的方法差不多。,bp，如图 11 所示，分别作 mn bc交 ab、 ac的延长线ac、 ab于点 d、 e。aedcmpn图 11【点评】：在学生解决问题之后，教师提出一个更能激发学生继续研究的问题，引导学生进入到新的研究境地，学生在这个研究境地中发现的就不在是一招一试的解决问题的方

13、法，而是通过合作研究，发现不同的解决问题的方法之间的转化所在。让学生“身不由己”经历从“一般到特殊”，再由“特殊到一般”的过程。1 5归纳、升华师： 大家都研究好了，那么，如何把我们研究的方法归纳一下呢？（学生开始讨论了，有的从作辅助线的多少入手，有的从图形的关系入手。）生 17：我认为从作平行线的点的位置分类归纳好些，可分三种情况：点在三角形边上；点在三角形内；点在三角形外。师：好！我把同学们刚才的方法归纳一下，有以下规律：过三角形所在平面内的任意一点作三角形边的平行线，均可达到目的。如果过三角形的顶点做平行线，只需作一条平行线即可，如图5，图 7，图 8 的情形；如果过三角形一边上一点作平

14、行线（顶点外，含边的延长线上的点），需作两条平行线。如图9 的情形：如果过三角形内或外一点作平行线，需作三条平行线。如图10，图 11 的情形。师： 通过以上各种方法的研究，我给你们的研究方法概括为：一点“锁定”180 度 。（正当老师准备结束三角形内角和结论的论证时，又有一位学生把手高高的举起了。）生 18: 老师，我们过三角形三个顶点作平行线也可论证。下面是论证过程：如图 12，在 bc上取点 d，连结 ad，过点 b、c 分别作 be ad，cf ad，因为 be ad， cf ad，所以 be ad cf，所以 1 3， 4 2，（两直线平行，内错角相等） ebc fcb 180，（两

15、直线平行，同旁内角互补）又因 bac 3 4，所以 abc bac acb 180，即 a b c bpc 180。（ 难道老师还没有想到吗？这可是出乎教师的意料之外的。）师 ：很好！这种方法是正确的，我都没有想到这样的方法，看来研究这个问题的方法还是很多的，相信同学们一定还能发现其他一些方法。课后继续在小组内研究交流，把好的方法也给老师学学。【点评】：通过教师的引导，把学生研究的方法加以归纳总结，学生研究问题的思想方法就不再是零散的、单一的，而是“多法合一” ，同时，也点燃了学生思维的火花，为今后多边形内角和的论证提供了方法上的借鉴。2运用新知师：“三角形的内角和等于 180 度”这个结论在

16、生活中有着广泛地运用，请看大屏幕，我们一起解决这样一个问题。 （多媒体展示）例、如图 13， c 岛在 a 岛的北偏东 50方向， b 岛在 a 岛的北偏东 80方向， c 岛在 b 岛的北偏西 40方向，从 c 岛看 a、b 两岛的视角 acb是多少度？图 13师： 请同学们独立思考，尝试解决以上问题，并在草稿纸上写出解答过程.生19（来到展台前） ：这是我的解答过程.解： cab 80 50 30 abc 180 80 40 60所以 acb180 30 60 90答：从 c 岛看 ab岛的夹角为90师： 生19 同学的解答基本正确，但说理的过程还有待完善。以下是老师的解答过程，请大家对照

17、自己的解答过程看一看 .( 多媒体显示 )解： cab bad cad 80 50 30因为 ad be，可得： bad abe 180dc所以 abe 180 bad 180 80 100 abc abe ebc 180 40 60在 abc中 acb 180 abc cab 180 60 30 90 af答：从 c 岛看 ab 岛的夹角为 90 .图 14师：你们还能想出这个例题的其它解法？生20：如图14，过点 c 画 cf ad，由 cf ad可得， bcf dac 50 ,因为 ad be，所以 cf ad be，eb由 cf be可得， bcf cbe 40 ,所以 acb acf

18、 bcf 50 40 90。【点评】：设计一题多解是例题的学习也成为过程性知识的新生长点， 拓展了学生探究能力的 “生长”空间。师：再请同学们独立完成教材第80 页的第 1、 2 题。,3拓展新知师：你们能利用本节课所学的知识求出四边形的内角和吗？（短暂的安静后，一些学生兴奋得站起来）生21：四边形的内角和是360 度。连接四边形的一条对角线就可以把四边形分为两个三角形，两个三角形内角和的和就是四边形的内角和。师：很好，你们已经会类比研究问题了，请同学们课后研究“n（ n 5）边形的内角和” 。4整理新知师：你们在这节课有什么收获呢？谈谈你们的所获。生22：三角形的内角和为180 度。生23：

19、“一点锁定180 度”的论证方法：过任意一点作三角形边的平行线都可以证明三角形内角和等于 180 度。生 ：四边形内角和等于360 度。24生 25：从拼图中可以发现作辅助线的方法。师：通过本节课的学习活动，你们还有什么疑惑或思考？生 4（折纸的同学） ：如图 15，我可以将三角形的三个角折到平角bfc处，但是我无法证明这种方法的成立。adeabcbcm f n图 15师： 你很善于发现问题、提出问题、思考问题，解决你提出的问题还需要以后学习的数学知识，希望你在以后的学习中关注这个问题，直到这个问题的解决为止。5巩固新知教师布置作业。,教学评析“三角形内角和等于 180 度”这一结论，学生从小

20、学就有所接触和应用。而初中学段再来研究它，不是简单的重复，而是要从平面几何的逻辑思维、演绎推理等角度进行探索。所以要与小学单纯的测量、拼接而或结论的教学过程有所差别，要站立在学生小学学习和生活的经验基础上，引导学生经过猜想、实验、发现、验证、再发现的过程，既要教学生操作猜想，又要教学生推理论证。通过对知识的产生、 发展的过程来构建数学教学过程， 兴趣会油然而生。 这样， 学生在研究知识 “生长过程”中，获得的知识不再是仅有的结果性知识，对数学学习有着不可低估的数学思想方法、动态研究方法、推理方法等观念的过程性知识悄然而生，扎根于学生的头脑之中。这节课的教学优点比较多，下面简要评析如下：（1）设

21、置动手操作活动，培植学生研究能力“三角形内角和” 的掌握， 学生在小学就会， 若快速的把知 完， 学生再次 住 ，然后在教 学生解 方法，学生就会失去一个研究 的 程。老 在 行教学流程 中，关注学生 手操作活 的 置，表面上看是一个重复活 ， 上教 借助司空 的一个个剪、拼活 ，不 了学生的 极性，而且引 学生从更理性的角度 行 察、 ， 而 行推理 ，学生无意 的被 引到数学知 “生 程”的 景中，教 已 潜移默化的将研究 的方法“教授” 学生，于无形之中培植了学生研究能力。（2）开 知 “生 程”， 程 果并重在数学教学中既重 果，又重 程， 已 是数学 程改革的共 。 教学着重 “三角形内角和”的 及 等 果性知 的“生 程” 行了开 、展示：教 教材 构 行了重 ，利用学生剪、拼活 ， 学生 “三角形内角和等于180 度” 一 ，从数学 形直 上开 了 果性知 的“生 程”