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文档简介
1、好一个“一点锁定180 度”三角形的内角教学实录及评析授课:湖北省钟祥市第五中学孙红强点评:湖北省钟祥市第五中学杨 辉义务教育数学课程标准提出义务教育阶段数学课程的总目标,将其分为知识与技能、数学思考、解决问题、 情感与态度共4 个子类。 在每一类中都渗透“过程性目标 ”的思想, 用 “经历、体验、探索 ”三个动词刻画数学活动水平。“经历、体验、探索”就是要学生通过主动参与特定的数学活动,对知识的产生、发展、结果(抽象)、应用与拓展进行个体体验、群体合作交流。从这里可以看出,我们的数学教学要变过去只“重视结果”为现在的“既重结果,更重过程”,两者并重的新型数学教育教学理念。而这些过程在我们的数
2、学课程教学中,特别是具体到一节数学课堂的教学中,该如何体现出数学知识教学的“过程性”呢?笔者以为数学知识的过程教学主要体现为数学知识的“生长过程”,也即数学知识的形成过程,要从过去对它们视而不见,转变为今天加强对它们开发、呈现,并试图让学生经历数学知识“生长”的全过程,在研究数学知识“生长过程”中提升学生学数学的兴趣和能力。 现行的数学新教材的确加大了数学知识形成过程的板块设计,但要实现把数学知识 “生长过程”教学化,使学生经历数学知识的形成过程,仅仅借助教材的呈现方式是完全不够的。这就需要我们教师开发教材,设计数学知识的“生长过程”,引导学生从数学知识“生长过程”中走过。下面以人教课标实验版
3、7 年级(下册)的“三角形的内角”一节教学为例,来作一探索。1探究新知1 1情景、设疑师:某地板砖厂生产一种三角形的地板要求三角形的每个内角都是60 度;质量检测员在检查地板是否合格时,却只测量了两个角就做出结论,他这样做有道理吗?生 1:有道理。因为三角形的三个内角的和为180 度 ,测量三角形中的两个角就能算出第三个角。师:“三角形的三个内角的和为180 度”这个结论我们还没有论证。回忆一下,我们在小学时是用什么方法来验证“三角形的内角和等于180 度”?1 2剪纸、拼图生 2:用量角器量各个内角的度数,计算它们和,得出结论。生 3:用撕拼的方法。将三角形中的两个角剪下,拼在第三个角旁,看
4、是否构成平角。生 4:用折纸的方法,将三个角折叠到一起。师:大家能猜想到“三角形的内角和等于180 度”,以上三位同学又为我们提供了采用实验的手段进行验证的好方法。下面我们以小组为单位进行实验验证。师:刚才同学们讨论得很热烈。你们究竟是怎样验证的呢?哪些同学愿意代表你们的小组上来展示你们小组的验证方法?生5:我们用两种方法进行验证:一种方法是测量法, 如图 1 ,分别测得a 58 , b 62 , c 60 , 这样就有: a b c 58 62 60 180;另一种方法是剪拼法,如图2,将 a、 b 剪下拼到点c 处,可以得到a b c180。a58b6260c图 1师:在图 2 中你是怎样
5、判断 a b c 180?生 6:因为 a、 b、 c它们拼成了一个平角。生 7:我们小组也是用剪拼的方法,不过拼的方法和他们的不一样。这是我们拼的图形(如图3), a、 b、 c也拼成了一个平角。生8:我们小组是这样拼的,只把a 移动拼在 c处(如图4)。根据两直线平行,同旁内角互补,可得到: a b c180。师:生8 不仅拼出了图形,而且还给予了必要的论证方法,实验的结论经过了推理论证,结果是可靠的。【点评 】学生经过剪、拼图活动,得出“三角形的三个内角的和为180”,学生经历发现问题的思维过程,激发了自由探索的兴趣和欲望。1 3发现、生成师:好,数学结论正确性是要建立在推理基础上的。上
6、述实验结果是否可靠,还需要加以证明。刚才的拼图过程已经为我们提供了证明思路和方法,请把你们的方法由来及证明方法在小组内说说,听听其他同学的意见,互相取长补短。(同学们互相讨论着,体验着成功的快乐。)师:从同学们热烈的讨论中可以看出大家有很多好方法。现在请各个小组推荐一位代表作准备,代表你们小组进行“学术报告”。在报告中必须说明你的方法的由来和证明思路。(第 6 小组的代表拿着笔和纸兴冲冲来到实物展台前。)师:现在大家注意,前面的同学在展示他的方法时,我们要认真听、仔细看。在汇报结束后,我们就可以针对他的方法和根据提出问题,然后请做汇报的同学答辩。生 9(第 6 小组的代表) :过点 c 作 c
7、d ab,延长 bc到 e,证明过程如下:因为 1 a, 2 b,所以 a b c 180。ad12bce图 5师 :生 9 为我们展示了他的证明方法。同学们有什么问题吗?生 10:生 9 的说理过程有问题。以下是我们小组的说理过程:因为 cd ab,所以 1 a, (两直线平行,内错角相等) 2 b, (两直线平行,同位角相等)又因为 acb 1 2 180,(平角意义)所以 a b c 180。师 :不 。 充以后因果关系就比 清楚了。不 ,生 10 同学的 理 程也存在 , 需加上“ 点 c 作 cd ab,并延 bc到点 e” 就更好了。同学 有 ?( 无人再 手 )师:老 有一个疑
8、,你是怎 想到 点c 作 ab 的平行 cd?生 9:由 2 的拼法可以 :把a 剪下并拼到点c ,得到 a a,根据内 角相等,可以得到两直 平行;反 来,如果两直 平行,那么a a,就相当于把 a 剪下并拼到点 c 。 ,我 就得到 5 的作平行 方法。师:不 ,你 很善于借助拼 中的 ,如果不做平行 呢?(生 11 高高地 起了手 )生 11:如 6,我直接在点c 以点 c 角的 点, ca 角ad的一 ,在三角形外画1 a。理由如下:因 1 a,1所以 cd ab.(内 角相等,两直 平行)2因 cd ab,bce所以 2 b. (两直 平行,同位角相等)图 6所以 a b c 1 2
9、 acb 180 。师:好!其他小 有方法 ?a生 12(第 4 小 的代表):我 受拼 3 的启 , 点 c 画 ef ab,如 7。 相当于把 a、 b 拼e在 c 的两旁。理由 :1因 ef ab,bc所以 1 a,(两直 平行,内 角相等)2f 2 b,(两直 平行,内 角相等)图 7a所以 a b c 1 2 acb 180。生 13:(第 1 小 代表):我 受拼 4 的启 ,如 8,d 点 c 作 cd ab . 理由如下:因 cd ab,所以 b bcd180 , (两直 平行,同旁内角互 )bc所以 a b acb 180 。图 8生 14:我 生 13 的 理不 准确。 在
10、第一个“所以 ”后加上“ acd a,(两直 平行,内 角相等)”。师:我有点佩服大家了(学生笑),不 能从拼 中 方法,采用不同的途径 明了“三角形的内角和等于 180 度”(板 ),而且道理也 得明白。【点 】:在 明 程中,有的学生 三角形的一个 点作 的平行 ;有的 是以三角形的一个角的 点 点, 个角的一 在三角形外部做一个角等于其他两个角的任一个,构成内 角 , 得平行 。 些 助 的作法是在学生拼 后由 而 的,其“生 程” 合情合理。1 4拓展、探究(由于平行 种 助 作法在平面几何中有着很重要的 用,教 抓住 机,提出 。)师:有人 “ 平面上任一点作三角形 的平行 均可 明
11、三角形内角和 ”,大家 行 ?(一石激起千 浪,此 ,学生已 三角形的 点作 的平行 可达目的。学生在学 小 内展开了 极的 , 其它点画平行 ,不一会有学生 起了手。)生 4(用折 的方法 “三角形内角和 180”的同学) :如 9,在 bc上任意取一点p,作 pe ac、 pd ab。 理 程如下:因为 pd ab,a所以 1 b、 a 2,(两直线平行,同位角相等)因为 pe ac,e所以 3 c、(两直线平行,同位角相等)42 4 2,(两直线平行,内错角相等)所以 a b c 3 4 1 bpc180。31bp生(第 2 小组的代表):如图 10,在 abc的内部任取一点p,图 91
12、5分别作 mn bc、 pd ab 、 pe ac。因为 mn bc,所以 amn b、 anm c,(两直线平行,同位角相等)接下来就可以转化为生4 的证明方法了。ademnpbc图 10dc生 16(第 3 小组的代表):在 abc外任取一点于点 m、 n,作 pd ab 、pe ac分别交证明方法和生15 的方法差不多。,bp,如图 11 所示,分别作 mn bc交 ab、 ac的延长线ac、 ab于点 d、 e。aedcmpn图 11【点评】:在学生解决问题之后,教师提出一个更能激发学生继续研究的问题,引导学生进入到新的研究境地,学生在这个研究境地中发现的就不在是一招一试的解决问题的方
13、法,而是通过合作研究,发现不同的解决问题的方法之间的转化所在。让学生“身不由己”经历从“一般到特殊”,再由“特殊到一般”的过程。1 5归纳、升华师: 大家都研究好了,那么,如何把我们研究的方法归纳一下呢?(学生开始讨论了,有的从作辅助线的多少入手,有的从图形的关系入手。)生 17:我认为从作平行线的点的位置分类归纳好些,可分三种情况:点在三角形边上;点在三角形内;点在三角形外。师:好!我把同学们刚才的方法归纳一下,有以下规律:过三角形所在平面内的任意一点作三角形边的平行线,均可达到目的。如果过三角形的顶点做平行线,只需作一条平行线即可,如图5,图 7,图 8 的情形;如果过三角形一边上一点作平
14、行线(顶点外,含边的延长线上的点),需作两条平行线。如图9 的情形:如果过三角形内或外一点作平行线,需作三条平行线。如图10,图 11 的情形。师: 通过以上各种方法的研究,我给你们的研究方法概括为:一点“锁定”180 度 。(正当老师准备结束三角形内角和结论的论证时,又有一位学生把手高高的举起了。)生 18: 老师,我们过三角形三个顶点作平行线也可论证。下面是论证过程:如图 12,在 bc上取点 d,连结 ad,过点 b、c 分别作 be ad,cf ad,因为 be ad, cf ad,所以 be ad cf,所以 1 3, 4 2,(两直线平行,内错角相等) ebc fcb 180,(两
15、直线平行,同旁内角互补)又因 bac 3 4,所以 abc bac acb 180,即 a b c bpc 180。( 难道老师还没有想到吗?这可是出乎教师的意料之外的。)师 :很好!这种方法是正确的,我都没有想到这样的方法,看来研究这个问题的方法还是很多的,相信同学们一定还能发现其他一些方法。课后继续在小组内研究交流,把好的方法也给老师学学。【点评】:通过教师的引导,把学生研究的方法加以归纳总结,学生研究问题的思想方法就不再是零散的、单一的,而是“多法合一” ,同时,也点燃了学生思维的火花,为今后多边形内角和的论证提供了方法上的借鉴。2运用新知师:“三角形的内角和等于 180 度”这个结论在
16、生活中有着广泛地运用,请看大屏幕,我们一起解决这样一个问题。 (多媒体展示)例、如图 13, c 岛在 a 岛的北偏东 50方向, b 岛在 a 岛的北偏东 80方向, c 岛在 b 岛的北偏西 40方向,从 c 岛看 a、b 两岛的视角 acb是多少度?图 13师: 请同学们独立思考,尝试解决以上问题,并在草稿纸上写出解答过程.生19(来到展台前) :这是我的解答过程.解: cab 80 50 30 abc 180 80 40 60所以 acb180 30 60 90答:从 c 岛看 ab岛的夹角为90师: 生19 同学的解答基本正确,但说理的过程还有待完善。以下是老师的解答过程,请大家对照
17、自己的解答过程看一看 .( 多媒体显示 )解: cab bad cad 80 50 30因为 ad be,可得: bad abe 180dc所以 abe 180 bad 180 80 100 abc abe ebc 180 40 60在 abc中 acb 180 abc cab 180 60 30 90 af答:从 c 岛看 ab 岛的夹角为 90 .图 14师:你们还能想出这个例题的其它解法?生20:如图14,过点 c 画 cf ad,由 cf ad可得, bcf dac 50 ,因为 ad be,所以 cf ad be,eb由 cf be可得, bcf cbe 40 ,所以 acb acf
18、 bcf 50 40 90。【点评】:设计一题多解是例题的学习也成为过程性知识的新生长点, 拓展了学生探究能力的 “生长”空间。师:再请同学们独立完成教材第80 页的第 1、 2 题。,3拓展新知师:你们能利用本节课所学的知识求出四边形的内角和吗?(短暂的安静后,一些学生兴奋得站起来)生21:四边形的内角和是360 度。连接四边形的一条对角线就可以把四边形分为两个三角形,两个三角形内角和的和就是四边形的内角和。师:很好,你们已经会类比研究问题了,请同学们课后研究“n( n 5)边形的内角和” 。4整理新知师:你们在这节课有什么收获呢?谈谈你们的所获。生22:三角形的内角和为180 度。生23:
19、“一点锁定180 度”的论证方法:过任意一点作三角形边的平行线都可以证明三角形内角和等于 180 度。生 :四边形内角和等于360 度。24生 25:从拼图中可以发现作辅助线的方法。师:通过本节课的学习活动,你们还有什么疑惑或思考?生 4(折纸的同学) :如图 15,我可以将三角形的三个角折到平角bfc处,但是我无法证明这种方法的成立。adeabcbcm f n图 15师: 你很善于发现问题、提出问题、思考问题,解决你提出的问题还需要以后学习的数学知识,希望你在以后的学习中关注这个问题,直到这个问题的解决为止。5巩固新知教师布置作业。,教学评析“三角形内角和等于 180 度”这一结论,学生从小
20、学就有所接触和应用。而初中学段再来研究它,不是简单的重复,而是要从平面几何的逻辑思维、演绎推理等角度进行探索。所以要与小学单纯的测量、拼接而或结论的教学过程有所差别,要站立在学生小学学习和生活的经验基础上,引导学生经过猜想、实验、发现、验证、再发现的过程,既要教学生操作猜想,又要教学生推理论证。通过对知识的产生、 发展的过程来构建数学教学过程, 兴趣会油然而生。 这样, 学生在研究知识 “生长过程”中,获得的知识不再是仅有的结果性知识,对数学学习有着不可低估的数学思想方法、动态研究方法、推理方法等观念的过程性知识悄然而生,扎根于学生的头脑之中。这节课的教学优点比较多,下面简要评析如下:(1)设
21、置动手操作活动,培植学生研究能力“三角形内角和” 的掌握, 学生在小学就会, 若快速的把知 完, 学生再次 住 ,然后在教 学生解 方法,学生就会失去一个研究 的 程。老 在 行教学流程 中,关注学生 手操作活 的 置,表面上看是一个重复活 , 上教 借助司空 的一个个剪、拼活 ,不 了学生的 极性,而且引 学生从更理性的角度 行 察、 , 而 行推理 ,学生无意 的被 引到数学知 “生 程”的 景中,教 已 潜移默化的将研究 的方法“教授” 学生,于无形之中培植了学生研究能力。(2)开 知 “生 程”, 程 果并重在数学教学中既重 果,又重 程, 已 是数学 程改革的共 。 教学着重 “三角形内角和”的 及 等 果性知 的“生 程” 行了开 、展示:教 教材 构 行了重 ,利用学生剪、拼活 , 学生 “三角形内角和等于180 度” 一 ,从数学 形直 上开 了 果性知 的“生 程”
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