热点问题11应用问题(一)(教师版

1、苏州市 2017 届高三数学二轮复习资料热点问题11应用问题 (1)一、填空题1.海上有 A、B、C 三个小岛， A、B 相距 5 3 海里，从 A 岛望 C 和 B 成 450视角，从 B岛望 C和A 成750 视角，则 B、 C 两岛间的距离是海里 .答案5 2解析可知0ABBC5 3BC，得BC 52 .ACB60 ,由正弦定理得sin Csin A ,即 sin 60 0sin 4502.如图 1，为测量山高MN ，选择 A 和另一座山的山顶C 为测量观测点从A 点测得 M 点的仰角 MAN 60，C 点的仰角 CAB 45以及 MAC 75；从 C 点测得 MCA 60.已知山高 B

2、C100 m，则山高 MN _m.答案 150解析 根据图示， AC 100 2 m.在 MAC 中， CMA 180 75 60 45.由正弦定理得AC AM? AM100 3m.图 1sin 45sin 60在 AMN 中， MN sin 60 ， MN 1003 3 150(m) AM23.用长度为24m 的材料围成一矩形场地，并且中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为m .答案 3解析 设隔墙的长度为xm,则矩形的面积为Sx(122x)2x212x ，可知当 x=3m 时，面积最大 .4如图 3，某人在垂直于水平地面ABC 的墙面前的点A 处进行射击训练已知点A 到墙面的距

3、离为 AB，某目标点 P 沿墙面上的射线CM 移动，此人为了准确瞄准目标点P，需计算由点A 观察点 P 的仰角 的大小 若 AB 15 m，AC 25 m，BCM 30，则 tan 的最大值是 _(仰角 为直线 AP 与平面 ABC 所成角 )答案539解析如图，过点 P 作 PO BC 于点 O，连结 AO，则 PAO.图 3设 CO x m，则 OP33 x m.在 RtABC 中， AB15 m， AC 25 m ，1苏州市 2017 届高三数学二轮复习资料所以 BC 20 m， cos BCA4， AO245625 x 225x5 x2 40x 625(m)33所以 tan 3 x34

4、0625x2 40x 6251 x x233.254 29x 5253254125353当 x 5，即 x4 时， tan取得最大值为 3 9 .55.如图 4，某住宅小区的平面图呈圆心角为120 的扇形 AOB，C 是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于AO 的小路 CD.已知某人从 O 沿 OD 走到 D 用了 2 分钟， 从 D 沿着 DC 走到 C 用了 3 分钟 .若此人步行的速度为每分钟50 米，则该扇形的半径为_米 .图 4答案507解析依题意得 OD =100 米， CD =150 米，连接 OC，易知 ODC =180 AOB=60，因此由余弦22221定理有 OC =O

5、D +CD 2ODCD cos ODC ，即 OC =10000+225002100 150 2 OC2 =17 500， OC=50 ( 米 ).6.在斜度一定的山坡上的一点A 处测得山顶上一建筑物顶端相对于山坡的斜度为15，如图所示，向山顶前进 100 m 后，又从 B 点处测得斜度为 45，设建筑物的高为 50 m设此山对于地平面的斜度为 ，则 cos _.答案3 1解析在 ABC 中， BAC 15， CBA180 45 135，所以 ACB30.又 AB 100 m，由正弦定理，得100 BC，即 BC 100sin 15. sin 30sin 15sin 30在 BCD 中，因为

6、CD 50， BC100sin 15 sin 30， CBD 45， CDB 90 ，2苏州市 2017 届高三数学二轮复习资料100sin 15由正弦定理，得50sin 30，sin 45 解得 cos 3 1.二、解答题7.海上有 A， B 两个小岛相距10km ，船 O 将保持观望A 岛和 B 岛所成的视角为60 ，现从船 O 上派下一只小艇沿 BO 方向驶至 C 处进行作业，且OC BO .设 AC xkm.(1) 用 x 分别表示 OA 2 OB 2 和 OAOB ，并求出 x 的取值范围；(2) 晚上小艇在 C 处发出一道强烈的光线照射 A 岛， B 岛至光线 CA 的距离为 BD

7、 ，求 BD 的最大值解析 (1) 在 OAC 中， AOC 120， AC x.由余弦定理得OA 2 OC 2 2OAOCcos120 x2.又 OC BO，所以OA2 OB2 2OAOBcos120 x2 .由余弦定理得OA 2 OB 2 2OAOBcos60 100 .2x 100得OA 2 OB 2.2x 100得4OAOBcos60 x2100 ，即 OAOB .x2 100x2 100OAOB x2 1000 ，即 x2100 ，所以又 OA2 OB2 2OAOB，所以2 22，即 x2 300又.2100 ，2x2则 f(x)在 (10,10 3上是单调增函数，所以f(x)的最大

8、值为 f(10 3) 10，即 BD 的最大值为 10.8.如图，一块弓形薄铁片EMF ，点 M 为弧 EF 的中点，其所在圆O 的半径为 4 dm( 圆心 O 在弓形 EMF内 )， EOF 2ABCD (不计损耗 )， AD EF ，且点 A， D 在3 .将弓形薄铁片裁剪成尽可能大的矩形铁片弧 EF 上，设 AOD 2.(1) 求矩形铁片 ABCD 的面积 S 关于 的函数关系式；(2) 当裁出的矩形铁片 ABCD 面积最大时，求 cos的值3苏州市 2017 届高三数学二轮复习资料解析(1) 设矩形铁片的面积为S， AOM .当 0 时 (如图 1) ， AB 4cos 2， AD 2

9、4sin，3S AB AD (4cos 2)(2 4sin) 16sin(2cos 1) 当 3 2时 (如图 2) ， AB 24cos ， AD 24sin ，故 S ABAD 64sin cos 32sin 2 .综上得，矩形铁片的面积S 关于 的函数关系式为16sin (2cos 1) ， 0 3，S32sin2 ， 3 2.(2) 当 0 S 16cos (2cos 1) sin( 2sin) 16(4cos 2 cos 2) 时，求导，得3令 S 0，得 cos 33 1. 8记区间0，3内余弦值等于33 1的角为 (唯一存在 ) ，列表：80)00(0， 0，3S0S极大值是单调

10、减函数，所以当 ，即 cos33 1又当时， S 32sin2时，矩形铁片的面积最大32089.如图所示的铁片由两部分组成，半径为1 的半圆 O 及等腰直角 EFH ，其中 FE FH 现将铁片裁剪成尽可能大的梯形铁片ABCD (不计损耗 ) ， AD BC，且点 A， B 在弧 EF 上点 C，D 在斜边 EH 上设 AOE .（ 1）求梯形铁片 ABCD 的面积 S 关于 的函数关系式；（ 2）试确定 的值，使得梯形铁片 ABCD 的面积 S 最大，并求出最大值（ 1）因为AOE，AOEBOF 且 OAOB 1，E所以AD 1cossin， BC1cossin， AB2cosDA所以 SA

11、BCD =( ADBC) ABsin)cos ，其中 022(12O（ 2）记 f () 2(1 sin)cos，f ( )2(cos2sinsin2 )C2(1 sin2sin22(2sin2Bsin)sin1)HF2(2sin1)(sin1)024苏州市 2017 届高三数学二轮复习资料当 0时， f () 0，当6时， f ( ) 0，62所以当且仅当时 f ( )maxf33662即时， Smax3 3 62当 取时，梯形铁片 ABCD 的面积 S 最大，最大值为3 3 6210.某城市在进行规划时， 准备设计一个圆形的开放式公园.为达到社会和经济效益双丰收.园林公司进行如下设计，安排

12、圆内接四边形ABCD 作为绿化区域，其余作为市民活动区域.其中ABD 区域种植花木后出售，BCD 区域种植草皮后出售， 已知草皮每平方米售价为a 元，花木每平方米的售价是草皮每平方米售价的三倍.若BC6km ， ADCD4 km（ 1）若 BD2 7km ，求绿化区域的面积；A（ 2）设 BCD，当 取何值时，园林公司的总销售金额最大解析 （ 1）在BCD 中， BD2 7，BC6， CD4 ，222BC 2CD 2BD 22 7由余弦定理得cos64BCD2BC CD26 4因为 BCD0 ,180 ， 所以BCD60，又因为 A、 B、C、 D共圆，所以BAD120 .12BDC在 ABD

13、 中，由余弦定理得BD 2AB2AD 22 AB AD cosBAD ，将 AD4，BD 27 代入化简得 AB 24 AB120 ，解得 AB2（ AB6舍去） .所以 SABCDS ABDS BCD14sin120146sin608 3222即绿化空间的面积为8 3km2（ 2）在BCD 、ABD 中分别利用余弦定理得BD 26242264cosBD 2AB 24224 AB cos-联立消去BD 得 AB28cosAB48cos360 ，得AB6AB8cos60 ，解得 AB68cos（ AB6 舍去） .5苏州市 2017 届高三数学二轮复习资料因为 AB0，所以 68cos30 ，即

14、 cos.4S ACD118cos4sin12sin16sin cosAB AD sin622S BCD114sin12sinBC CD sin622因为草皮每平方米售价为a 元，则花木每平方米售价为3a 元，设销售金额为y 百万元 .y f3a 12sin16sincos12a sin48asinsin cosf48a cos cos2sin248a2cos2cos148a 2cos1 cos1令 y0 ，解得1cos1，又 cos3 ，不妨设 cos03 ，244则函数f在2上为增函数；0 ,3令 y0 ，解得 cos1 ，则函数 f2,上为减函数，在23所以当2时， fmax363a .

15、3答：（ 1）绿化区域的面积为83km2 ；（ 2）当2时，园林公司的销售金额最大，最大为 36 3a3百万元 .11.现有一个以 OA、OB 为半径的扇形池塘，在OA、OB 上分别取点 C、 D，作 DE OA、CF OB交弧 AB 于点 E、 F，且 BD = AC，现用渔网沿着DE、 EO、 OF 、 FC 将池塘分成如图所示的三种的养殖区域若OA=1km ，AOBEOF(0，) 22（ 1）求区域的总面积；（ 2）若养殖区域、的每平方千米的年收入分别是15 万元、 20 万元、 10 万元，记年总收入为 y 万元 试问当为多少时，年总收入最大？B解析 （ 1）因为 BDAC， OBOA

16、 ，所以 ODOC ED因为AOB2， DE OA，CF OB，F所以 DEOB， CFOA 又因为 OEOF ，所以 RtODE Rt OCF 所以DOECOF ， COF1OC A() 22（第 11 题）6苏州市 2017 届高三数学二轮复习资料所以 OCOFcosCOF1)cos(22所以 S COF1 OCOF sinCOF1 cos，241所以 S区域 II = cos ， (0) 22（ 2）因为1，所以 S区域 IIIS总S区域 I S区域 II 11S区域 I42cos22所以 y151201 cos10( 11 cos )22422555cos，(02) ，22所以 y5(

17、12sin) ，令 y =0 ，则 =26当 0时， y0 ，当 时， y 0 662故当= 时， y 有最大值6答：当为 时，年总收入最大612.一个圆柱形圆木的底面半径为1m，长为 10m，将此圆木沿轴所在的平面剖成两个部分现要把其中一个部分加工成直四棱柱木梁，长度保持不变，底面为等腰梯形ABCD (如图所示，其中O 为圆心， C，D 在半圆上 )，设 BOC ，木梁的体积为V(单位： m3)，表面积为 S(单位： m2)(1) 求 V 关于 的函数表达式；(2) 求体积 V 的最大值；(3) 问：当木梁的体积 V 最大时，其表面积 S 是否也最大？请说明理由解析 (1) 梯形 ABCD

18、的面积SABCD2cos2 ，体积 V() 10(sincos sin)，2sinsin cos sin02(2) 解法 1 V() 10(2cos2 cos1) 10(2cos 1) (cos 1)令 V()0，得 cos1或 cos 1(舍 ) 20，.2因为 0，2，所以 3.当 0，31时， 2cos0， V()为单调增函数；当 ，时， 0cos1， V()0，V()为单调减函数322V 最大，为153所以当 时，体积2.37苏州市 2017 届高三数学二轮复习资料解法 2令 f() sin(1 cos)， ，则02f () 2 sin2(1 cos)2 (1 cos)(1 cos)3， 0，.由均值不等式得23(1 cos) (1 cos) (1 cos) (1 cos)4443 3(1 cos)(1 cos)(1 cos)(1 cos)3(1 cos)(1 cos)当且仅当 3(1 cos) (1 cos)，即 co