部编人教版八年级数学上册《15第十五章 分式【全章】》精品PPT优质课件

1、部编人教版八年级数学上册 第十五章 分式【全章】 精品PPT优质课件,15.1.1 从分数到分式,第十五章 分 式,导入新课,讲授新课,当堂练习,课堂小结,1.了解分式的概念； 2.理解分式有意义的条件及分式值为零的条件（重点） 3.能熟练地求出分式有意义的条件及分式的值为零的条件（难点）,导入新课,情境引入,第十届田径运动会,（1）如果乐乐的速度是7米/秒，那么她所用的时间是（ ）秒； （2）如果乐乐的速度是a米/秒，那么她所用的时间是（ ）秒； （3）如果乐乐原来的速度是a米/秒，经过训练她的速度每秒增加了1米，那么她现在所用的时间是（ ）秒.,填空：乐乐同学参加百米赛跑,（4）后勤老师若

2、把体积为200 cm3的水倒入底面积为33 cm2的圆柱形保温桶中，水面高度为( )cm；若把体积为V 的水倒入底面积为S 的圆柱形容器中，水面高度为( ).,（5）采购秒表8块共8a元，一把发射枪b元，合计为 元.,（8a+b）,讲授新课,问题1:请将上面问题中得到的式子分分类：,单项式： 多项式：,既不是单项式也不是多项式：,8a+b,8a+b,整 式,问题2 ：式子,它们有什么相同点和不同点？,相同点,不同点,（观察分母）,从形式上都具有分数 形式,分母中是否含有字母,分子A、分母B都是整式,知识要点,分式的定义,一般地，如果A、B都表示整式，且B中含有字母，那么称 为分式.其中A叫做分

3、式的分子，B为分式的分母.,思考：（1）分式与分数有何联系？,分数是分式中的字母取某些值的结果，分式更具一般性.,整数,整数,整式,整式,(分母含有字母）,分数,分式,类比思想,特殊到一般思想,整数,分数,整式,分式,有理数,有理式,数、式通性,(2)既然分式是不同于整式的另一类式子，那么它们统称为什么呢？,数的扩充,式的扩充,小试牛刀,1.下列各式哪些是整式？哪些是分式？,整式,整式,分式,整式,分式,整式,分式,整式,分式,整式,归纳：1.判断时，注意含有 的式子， 是常数.,2.式子中含有多项时，若其中有一项分 母含有字母，则该式也为分式，如： .,2.数学运动会,规则： 从本班选出6名

4、同学到讲台选取自己的名牌: 1 , a+1 , c-3 , , 2(b-1) , d2 再选1名学生发号指令，计时3秒钟 6名学生按要求自由组合,问题3.已知分式 ,(1) 当 x=3 时，分式的值是多少?,(2) 当x=-2时，你能算出来吗?,不行，当x=-2时，分式分母为0，没有意义.,即当x_时，分式有意义.,(3)当x为何值时，分式有意义？,当 x=3 时，分式值为,一般到特殊思想,类比思想,-2,对于分式,当_时分式有意义； 当_时无意义.,B0,B=0,知识要点,分式有意义的条件,例1 已知分式 有意义，则x应满足的,条件是 () A.x1 Bx2 Cx1且x2 D以上结果都不对,

5、方法总结:分式有意义的条件是分母不为零.如果分母是几个因式乘积的形式，则每个因式都不为零.,C,xy,（1）当x 时，分式 有意义；,（2）当x 时，分式 有意义；,（3）当b 时，分式 有意义；,（5）当x 时，分式 有意义；,（4）当 时，分式 有意义.,做一做：,为任意实数,想一想：分式 的值为零应满足什么条件？,当A=0而 B0时，分式 的值为零.,注意：分式值为零是分式有意义的一种特殊情况.,解：当分子等于零而分母不等于零时,分式的值为零., x -1.,而x+10，,x = 1，,则x2 - 1=0，,例2 当x为何值时，分式 的值为零?,变式训练 （1）当 时，分式 的值为零.,

6、x=2,【解析】要使分式的值为零，只需分子为零且分母不为零， 解得x=2.,（2）若 的值为零，则x ,【解析】分式的值等于零，应满足分子等于零，同时分母不为零，即,解得,3,当堂练习,1.下列代数式中，属于分式的有（ ） A. B. C. D.,C,2.当a1时，分式 的值( ) A.没有意义 B.等于零 C.等于1 D.等于1,A,3.当x为任意实数时，下列分式一定有意义的是（ ）,A.,B.,C.,D.,B,4.已知，当x=5时，分式 的值等于零，则k .,=-10,5.在分式 中，当x为何值时，分式有意义？分式的值为零？,答：当x 3时，该分式有意义；当x=-3时，该分式的值为零.,6

7、.分式 的值能等于0吗？说明理由,答：不能.因为 必须x=-3，而x=-3时，分母x2-x-12=0，分式无意义.,课堂小结,分式,定义,值为零的条件,有意义的条件,一般地，如果A,B表示整式，且B中含有字母，式子 叫做分式 ，其中，A叫做分式的分子，B叫做分式的分母.,分式 有意义的条件是B 0.,分式 值为零的条件是A=0且B 0.,课后作业,1.从教材课后习题中选取； 2.从练习册中选取。,课堂感想 1、这节课你有什么收获？ 2、这节课还有什么疑惑？ 说出来和大家一起交流吧！,谢谢观赏！,再见！,15.1.2 分式的基本性质,第十五章 分 式,导入新课,讲授新课,当堂练习,课堂小结,1.

8、理解并掌握分式的基本性质（重点） 2.会运用分式的基本性质进行分式的约分和通分（难点）,导入新课,情境引入,分数的 基本性质,分数的分子与分母同时乘以（或除以）一个不等于零的数，分数的值不变.,2.这些分数相等的依据是什么？,1.把3个苹果平均分给6个同学，每个同学得到几个苹果？,讲授新课,思考：下列两式成立吗？为什么？,分数的分子与分母同时乘以（或除以）一个不等于0的数，分数的值不变.,分数的基本性质：,即对于任意一个分数 有：,想一想：类比分数的基本性质，你能猜想分式有什么性质吗？,思考：,分式的基本性质： 分式的分子与分母乘以（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变.,上述性质可以用

9、式表示为：,其中A,B,C是整式.,知识要点,例1填空：,看分母如何变化，想分子如何变化.,看分子如何变化，想分母如何变化.,典例精析,想一想：（1）中为什么不给出x 0,而（2）中却给出了b 0?,想一想: 运用分式的基本性质应注意什么?,(1)“都”,(2) “同一个”,(3) “不为0”,例2不改变分式的值，把下列各式的分子与分母的各项系数都化为整数. ,解：,不改变分式的值，使下列分子与分母都不含“”号 ,解：（1）原式=,（2）原式=,（3）原式=,练一练,想一想： 联想分数的约分，由例1你能想出如何对分式进行约分？,（ ）,（ ）,与分数约分类似，关键是要找出分式的分子与分母的最简

10、公分母.,像这样，根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分,知识要点,约分的定义,分式的约分，一般要约去分子和分母所有的公因式，使所得的结果成为最简分式或整式.,经过约分后的分式 ，其分子与分母没有公因像这样分子与分母没有公因式的式子，叫做最简分式,在化简分式 时，小颖和小明的做法出现了分歧： 小颖： 小明：,你对他们俩的解法有何看法？说说看！,一般约分要彻底, 使分子、分母没有公因式.,议一议,例3 约分:,典例精析,分析：为约分要先找出分子和分母的公因式.,找公因式方法:,（1）约去系数的最大公约数. （2）约去分子分母相同因式的最低次幂.,解：,(公因式是5

11、ac2),解：,分析：约分时,分子或分母若是多项式,能分解则必须先进行因式分解.再找出分子和分母的公因式进行约分.,知识要点,约分的基本步骤,（）若分子分母都是单项式，则约去系数的最大公约数，并约去相同字母的最低次幂； （）若分子分母含有多项式，则先将多项式分解因式，然后约去分子分母所有的公因式,注意事项： （1）约分前后分式的值要相等. （2）约分的关键是确定分式的分子和分母的公因式. （3）约分是对分子、分母的整体进行的，也就是分子的整体和分母的整体都除以同一个因式.,问题1： 通分：,最小公倍数：24,分数的通分：把几个异分母的分数化成同分母的分数，而不改变分数的值，叫做分数的通分.,通

12、分的关键是确定几个分母的最小公倍数,想一想： 联想分数的通分，由例1你能想出如何对分式进行通分？,（b0）,问题2：填空,知识要点,分式的通分的定义,与分数的通分类似，根据分式的基本性质，使分子、分母同乘适当的整式（即最简公分母），把分母不相同的分式变成分母相同的分式，这种变形叫分式的通分.如分式 与 分母分别是ab,a2,通分后分母都变成了a2b.,最简公分母,为通分先要确定各分式的公分母，一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作公分母，叫做最简公分母. 注意：确定最简公母是通分的关键.,最简公分母,例4 通分：,解：（1）最简公分母是2a2b2c,（2）最简公分母是(x+5)(x-5),不同

13、的因式,最简公分母,1(x-5),(x-5),1(x+5),1,(x+5),例5 通分：,方法归纳：先将分母因式分解，再将每一个因式看成一个整体，最后确定最简公分母,(x+y)(x-y),解：最简公分母是x(x+y)(x-y),x(x+y),确定几个分式的最简公分母的方法： （1）因式分解 （2）系数：各分式分母系数的最小公倍数； （3）字母：各分母的所有字母的最高次幂 （4）多项式：各分母所有多项式因式的最高次幂 （5）积,方法归纳,想一想： 分数和分式在约分和通分的做法上有什么共同点？这些做法的根据是什么？,找分子与分母的 最大公约数,找分子与分母的公因式,找所有分母的 最小公倍数,找所有

14、分母的 最简公分母,分数或分式的基本性质,当堂练习,2.下列各式中是最简分式的（ ）,B,1.下列各式成立的是（ ）,A.,B.,C.,D.,D,3.若把分式,A扩大两倍 B不变 C缩小两倍 D缩小四倍,的 x 和y 都扩大两倍,则分式 的值( ),B,4.若把分式 中的 和 都扩大3倍,那么分式 的值( ).,A扩大3倍 B扩大9倍 C扩大4倍 D不变,A,解：,5.约分,6.通分：,解：最简公分母是12a2b3,解：最简公分母是(2x+1)(2x-1),小贴士：在分式的约分与通分中，通常碰到如下因式符号变形： (b-a)2=(a-b)2;b-a=-(a-b).,解：最简公分母是(x+y)2

15、(x-y),课堂小结,分式的 基本性质,内容,作用,分式进行约分 和通分的依据,注意,(1)分子分母同时进行；,(2)分子分母只能同乘或同除，不能进行同加或同减；,(3)分子分母只能同乘或同除同一个整式；,(4)除式是不等于零的整式,进行分式运算的基础,课后作业,1.从教材课后习题中选取； 2.从练习册中选取。,课堂感想 1、这节课你有什么收获？ 2、这节课还有什么疑惑？ 说出来和大家一起交流吧！,谢谢观赏！,再见！,15.2.1 分式的乘除,第十五章 分 式,导入新课,讲授新课,当堂练习,课堂小结,第1课时 分式的乘除,1.掌握分式的乘除运算法则.（重点） 2.能够进行分子、分母为多项式的分

16、式乘除法运算（难点）,导入新课,情境引入,问题1 一个长方体容器的容积为V,底面的长为a,宽为b,当容器内的水占容积的 时,水高多少?,长方体容器的高为 ,水高为,问题2 大拖拉机m天耕地a公顷,小拖拉机n天耕地b公顷,大拖拉机的工作效率是小拖拉机的工作效率的多少倍?,大拖拉机的工作效率是 公顷/天,小拖拉 机的工作效率是 公顷/天,大拖拉机的工作效率 是小拖拉机的工作效率的( )倍.,想一想： 类比分数的乘除法法则，你能说出分式的乘除法法则吗？,讲授新课,填空：,类比探究,类似于分数，分式有：,乘法法则：,分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母.,除法法则：,分式除以分式，

17、把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘.,上述法则用式子表示为：,归纳法则,例1 计算:,解：,典例精析,约分,解：（1）原式,（2）原式,（1）,（2）,做一做,方法归纳,方法总结：分子和分母都是单项式的分式的乘法，直接按“分子乘分子，分母乘分母”进行运算，其运算步骤为： (1)符号运算； (2)按分式的乘法法则运算,例2 计算：,解：原式=,解：原式=,先把除法转化为乘法.,整式与分式 运算时，可以把整式看成分母是1的分式,负号怎么得来的？,(1),解：原式,做一做,解：原式,(2),1.分式的分子、分母都是几个因式的积的形式，可先约去分子、分母的公因式，再按照法则进行计算. 2.分子

18、或分母是多项式的按以下方法进行： 将原分式中含同一字母的各多项式按降幂(或升幂)排列；在乘除过程中遇到整式则视其为分母为1，分子为这个整式的分式； 把各分式中分子或分母里的多项式分解因式； 应用分式乘除法法则进行运算；(注意:结果为最简分式或整式),要点归纳,分式乘除法的解题步骤,当x=1999,y=-2000时,得,做一做,方法总结：根据分式乘除法法则将代数式先进行计算化简，再代入求值.同时注意字母的取值要使分数有意义！,例4 “丰收1号”小麦的试验田是边长为a米的正方形减去一个边长为1米的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为（a1）米的正方形，两块试验田的小麦都收获了

19、500千克. （1）哪种小麦的单位面 积产量高？ （2）高的单位面积产量 是低的单位面积产量的 多少倍？,1m,am,（a-1）m,am,1m,（a-1）m,a1, 0（a1）2, a 2-10， 由图可得（a1）2 a 2-1. ,（2）,所以 “丰收2号”小麦的单位面积产量是“丰收1号”小麦的单位面积产量的 倍.,一条船往返于水路相距100 km的A,B两地之间，已知水流的速度是每小时2 km，船在静水中的速度是每小时x km（x2），那么船在往返一次过程中，顺流航行的时间与逆流航行的时间比是_. 【解析】顺流速度为（x+2）km/h，逆流速度为 （x-2）km/h，由题意得,做一做,当堂

20、练习,1.计算 等于（ ） A. B. C. D.,C,2.化简 的结果是（ ）,B,3.下列计算对吗？若不对，要怎样改正？,对,4.老王家种植两块正方形土地，边长分别为a米和b米(ab)，老李家种植一块长方形土地，长为2a米，宽为b米他们种的都是花生，并且总产量相同，试问老王家种植的花生单位面积产量是老李家种植的单位面积产量的多少倍？,解：设花生的总产量是1，则,解：（1）原式,5.计算：,（2）原式,解析：利用分式的乘法法则先进行计算化简，然后代入求值,6.先化简，再求值：,解析：将除法转化为乘法后约分化简，然后代入求值,课堂小结,分式乘除运算,乘除法运算,注意,(1)分子分母是单项式的，

21、先按法则进行，再约分化成最简分式或整式,除法先转化成乘法，再按照乘法法则进行运算,(2)分子分母是多项式的，通常要先分解因式再按法则进行,(3)运用法则时要注意符号的变化,课后作业,1.从教材课后习题中选取； 2.从练习册中选取。,课堂感想 1、这节课你有什么收获？ 2、这节课还有什么疑惑？ 说出来和大家一起交流吧！,谢谢观赏！,再见！,15.2.1 分式的乘除,第十五章 分 式,导入新课,讲授新课,当堂练习,课堂小结,第2课时 分式的乘方,1.了解分式的乘方的意义及其运算法则并根据分式乘方的运算法则正确熟练地进行分式的乘方运算.（重点） 2.能应用分式的乘除法法则进行混合运算（难点）,导入新

22、课,复习引入,1.如何进行分式的乘除法运算？,分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母.,分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘.,2.如何进行有理数的乘除混合运算？,3.乘方的意义？,an= (n为正整数),aa a a,讲授新课,例1,解析：先将除法变为乘法，再根据分式的乘法运算法则进行运算,(a2)(a1)a2a2.,典例精析,知识要点,分式乘除混合运算的一般步骤,（1）先把除法统一成乘法运算；,（2）分子、分母中能分解因式的多项式分解因式；,（3）确定分式的符号，然后约分；,（4）结果应是最简分式.,解：原式=,做一做,计算：,马小虎学习了分式的混合运

23、算后，做了一道下面的家庭作业，李老师想请你帮他批改一下.请问下面的运算过程对吗？然后请你给他提出恰当的建议！,议一议,这是一道关于分式乘除的题目，运算时应注意：,显然此题在运算顺序上出现了错误，除没有转化为乘之前是不能运用结合律的，这一点大家要牢记呦！,按照运算法则运算；,乘除运算属于同级运算，应按照先出现的先算的原则，不能交换运算顺序；,当除写成乘的形式时，灵活的应用乘法交换律和结合律可起到简化运算的作用；,结果必须写成整式或最简分式的形式。,正确的解法：,除法转化为乘法之后可以运用乘法的交换律和结合律,根据乘方的意义计算下列各式：,类比分数的乘方运算，你能计算下列各式吗？,想一想：,一般地

24、，当n是正整数时，,这就是说，分式乘方要把分子、分母分别乘方.,要点归纳,分式的乘方法则,理解要点：,分式乘方时，一定要把分子、分母分别乘方，不要把 写成 .,想一想：到目前为止，正整数指数幂的运算法则都有什么？,(1) aman am+n ； (2) amanam-n； (3) (am)namn； (4) (ab)nanbn；,例2 下列运算结果不正确的是(),易错提醒：分式乘方时，要首先确定乘方结果的符号，负数的偶次方为正，负数的奇次方为负.,D,例3 计算：,解析：先算乘方，然后约分化简，注意符号；,典例精析,方法总结：含有乘方的分式乘除混合运算，先算分式的乘方，再算乘除.,解析：先算乘

25、方，再将除法转换为乘法，把分子、分母分解因式，再进行约分化简,解：,方法总结：进行分式的乘除、乘方混合运算时，要严格按照运算顺序进行运算先算乘方，再算乘除注意结果一定要化成一个整式或最简分式的形式,做一做,计算：,解：,例4,解析：按分式混合运算的顺序化简，再代入数值计算即可,通常购买同一品种的西瓜时，西瓜的质量越大，花费的钱越多，因此人们希望西瓜瓤占整个西瓜的比例越大越好假如我们把西瓜都看成球形，并把西瓜瓤的密度看成是均匀的，西瓜的皮厚都是d，已知球的体积公式为V4/3R3(其中R为球的半径)，求： (1)西瓜瓤与整个西瓜的体积各是多少？ (2)西瓜瓤与整个西瓜的体积比是多少？,知识应用,例

26、5,解此关键：能够根据球的体积，得到两个物体的体积比即为它们的半径的立方比,当堂练习,1.计算： 的结果为（ ）. A. b B. a C. 1 D.,B,2.,3.计算：,解：原式,原式,4.计算：,解：原式,5.先化简 ，,你喜欢的数作为a的值代入计算.,解：原式,当a=0时，原式=-2.,然后选取一个,思考：a可以取任何实数吗？,a不可以取1，2.,课堂小结,分式乘除混合运算,乘方运算,注意,(1)乘除运算属于同级运算，应按照先出现的先算的原则，不能交换运算顺序；,乘方法则,(2)当除写成乘的形式时，灵活的应用乘法交换律和结合律可起到简化运算的作用,混合运算,乘除法运算及乘方法则,先算乘

27、方，再做乘除,课后作业,1.从教材课后习题中选取； 2.从练习册中选取。,课堂感想 1、这节课你有什么收获？ 2、这节课还有什么疑惑？ 说出来和大家一起交流吧！,谢谢观赏！,再见！,15.2.2 分式的加减,第十五章 分 式,导入新课,讲授新课,当堂练习,课堂小结,第1课时 分式的加减,1.掌握分式的加减运算法则并运用其进行计算.（重点） 2.能够进行异分母的分式加减法运算（难点）,导入新课,情境引入,(2)小明在上坡和下坡上用的时间哪个更短？（只列式不计算）,小明从家（甲地）到学校（乙地）的距离是 3km. 其中有1km 的上坡路, 2km 的下坡路.小明在上坡路上的骑车速度为v km/h,

28、 在下坡路上的骑车速度为3vkm/h, 那么:,(1)从甲地到乙地总共需要的时 间为（ ）h.,甲,乙,上坡时间： 下坡时间：,帮帮小明算算时间,讲授新课,类比探究,观察下列分数加减运算的式子,你想到了什么？,请类比同分母分数的加减法，说一说同分母的分式应该如何加减?,知识要点,同分母分式的加减法则,同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减,上述法则可用式子表示为,牛刀小试,解：原式=,=,=,注意：结果要化为最简分式！,=,例1 计算：,典例精析,解：原式=,=,=,注意：结果要化为最简分式！,=,把分子看作一个整体，先用括号括起来！,（去括号）,（合并同类项）,注意：当分子是 多项式时要加

29、括号！,注意：结果要化为最简形式！,做一做,问题：,请计算 ( )， ( ).,异分母分数相加减,分数的通分,依据：分数的基本性质,转化,同分母分数相加减,异分母分数相加减，先通分， 变为同分母的分数，再加减 .,请计算 ( )， ( );,依据:分数基本性质,分数的通分,同分母分数相加减,异分母分数相加减,转化,异分母分数相加减，先通分，变为同分母的分数，再加减.,异分母分式相加减,分式的通分,依据:分式基本性质,转化,同分母分式相加减,异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减.,请思考,类比：异分母的分式应该如何加减?,知识要点,异分母分式的加减法则,异分母分式相加减，先通分，变

30、同分母的分式，再加减.,上述法则可用式子表示为,解：原式=,=,=,注意：(1-x)=-(x-1),例2 计算：,分母不同，先化为同分母.,解：原式=,先找出最简公分母，再正确通分，转化为同分母的分式相加减.,解：原式=,=,=,注意：分母是多项式先分解因式,先找出最简公分母，再正确通分，转化为同分母的分式相加减.,=,知识要点,分式的加减法的思路,通分,转化为,异分母相加减,同分母 相加减,分子（整式）相加减,分母不变,转化为,例3.计算：,法一： 原式=,法二： 原式=,把整式看成分母为“1”的分式,阅读下面题目的计算过程. = = = （1）上述计算过程，从哪一步开始错误，请写出该步的代

31、号_； （2）错误原因_； （3）本题的正确结果为： .,漏掉了分母,做一做,例4 计算：,解：原式,当m=1时，原式,先化简，再求值： ,其中 ,解：,做一做,例5 已知下面一列等式：,(1)请你从左边这些等式的结构特征写出它的一般性等式； (2)验证一下你写出的等式是否成立； (3)利用等式计算：,解析：(1)观察已知的四个等式，发现等式的左边是两个分数之积，这两个分数的分子都是1，后面一个分数的分母比前面一个分数的分母大1，并且第一个分数的分母与等式的序号相等，等式的右边是这两个分数之差，据此可写出一般性等式； (2)根据分式的运算法则即可验证； (3)根据(1)中的结论求解,A. B

32、C1 D2,当堂练习,1. 计算,的结果为（ ),C,2.填空：,4,3.计算:,解：(1)原式=,(2)原式=,4.先化简，再求值： ，其中x2016.,课堂小结,分式加减运算,加减法运算,注意,(1)减式的分式是多项式时，在进行运算时要适时添加括号,异分母分式相加减先转化为同分母分式的加减运算,(2)整式和分式之间进行加减运算时，则要把整式看成分母是1的分式，以便通分,(3)异分母分式进行加减运算需要先通分，关键是确定最简公分母,课后作业,1.从教材课后习题中选取； 2.从练习册中选取。,课堂感想 1、这节课你有什么收获？ 2、这节课还有什么疑惑？ 说出来和大家一起交流吧！,谢谢观赏！,再

33、见！,15.2.2 分式的加减,第十五章 分 式,导入新课,讲授新课,当堂练习,课堂小结,第2课时 分式的混合运算,八年级数学上（RJ） 教学课件,1. 明确分式混合运算的顺序.（重点） 2.熟练地进行分式的混合运算（难点）,导入新课,复习引入,分式的运算法则,讲授新课,问题：如何计算 ？,请先思考这道题包含的运算，确定运算顺序，再独立完成.,解：,先乘方，再乘除，最后加减,分式的混合运算顺序,先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号里面的.,要点归纳,计算结果要化为最简分式或整式,例1 计算：,解：原式,典例精析,先算括号里的加法，再算括号外的乘法,注：当式子中出现整式时，把整式看成

34、整体，并把分母看做“1”,解：原式,注意：分子或分母是多项式的先因式分解，不能分解的要视为整体.,做一做,解：原式,计算：,解：原式,方法总结：观察题目的结构特点，灵活运用运算律，适当运用计算技巧，可简化运算，提高速度.,例2 计算：,利用乘法分配率简化运算,用两种方法计算：,=,解：（按运算顺序） 原式,=,做一做,解：（利用乘法分配律） 原式,例3：计算,分析：把 和 看成整体，题目的实 质是平方差公式的应用.,解：原式,巧用公式,例4：先化简，再求值： 再从,4x4的范围内选取一个合适的整数x代入求值.,解析：先计算括号里的减法运算，再把除法运算转化成乘法运算，进行约分化简，最后从x的取

35、值范围内选取一数值代入即可,方法总结：把分式化成最简分式是解题的关键，通分、因式分解和约分是基本环节，注意选数时，要求分母不能为0.,先化简 ，再求值： ，其中 .,解：原式=,当 时，原式=3.,做一做,例5. 繁分式的化简：,解法1:原式,把繁分式写成分子除以分母的形式，利用除法法则化简,拓展提升,解法2：,利用分式的基本性质化简,例6.若 ，求A、B的值.,解析：先将等式两边化成同分母分式，然后对照两边的分子，可得到关于A、B的方程组.,分式的混合运算 （1）进行混合运算时，要注意运算顺序，在没有括号的情况下，按从左往右的方向，先算乘方，再算乘除，后算加减； （2）分式的混合运算，一般按

36、常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法的运算律进行灵活运算.,混合运算的特点：是整式运算、因式分解、分式运算的综合运用，综合性强.,总结归纳,当堂练习,1. 计算 的结果是（ ）,A.,B.,C.,D.,2. 化简 的结果是 .,3. 化简 的结果是 .,C,4.计算,解：原式,5. 先化简： ，当b=3时，再从-2a2 的范围内选取一个合适的整数a代入求值.,解：原式=,在-2a2中，a可取的整数为-1，0，1，而当b=3时，当a取-1时，原式的值是 ； 当a取0时，原式的值是 ； 当a取1时，原式的值是 .,课堂小结,分式混合运算,混合运算,应用,关键是明确运算种类及运算顺序,明

37、确运 算顺序,1.同级运算自左向右进行； 2.运算律可简化运算,明确运算方法及运算技巧,技巧,注意,课后作业,1.从教材课后习题中选取； 2.从练习册中选取。,课堂感想 1、这节课你有什么收获？ 2、这节课还有什么疑惑？ 说出来和大家一起交流吧！,谢谢观赏！,再见！,15.2.3 整数指数幂,第十五章 分 式,导入新课,讲授新课,当堂练习,课堂小结,1.理解并掌握整数指数幂的运算性质.（重点） 2.会用科学记数法表示绝对值小于1的数.（重点） 3.理解负整数指数幂的性质并应用其解决实际问题（难点）,导入新课,问题引入,算一算，并分别说出每一小题所用的运算性质,（2） = ；,同底数幂的乘法：,

38、（m，n是正整数）,幂的乘方：,（m，n是正整数）,（3） = ；,积的乘方：,（n是正整数）,算一算，并分别说出每一小题所用的运算性质,（4） = ；,同底数幂的除法：,（a0，m，n是正整数且mn ）,（5） = ；,商的乘方：,（b0，n是正整数）,（6） = ；,（ ）,想一想： am中指数m可以是负整数吗？如果可以，那么负整数指数幂am表示什么？,讲授新课,问题：计算：a3 a5=? (a 0),解法1,解法2 再假设正整数指数幂的运算性质aman=amn(a0,m,n是正整数，mn)中的mn这个条件去掉，那么a3a5=a3-5=a-2.,于是得到：,（3）,（1）,（2）,深入研究

39、,知识要点,负整数指数幂的意义,一般地，我们规定：当n是正整数时，,这就是说，a-n (a0)是an的倒数.,引入负整数指数幂后，指数的取值范围就推广到全体整数.也就说前面提到的运算性质也推广到整数指数幂.,想一想：对于am，当m=7，0，-7时，你能分别说出它们的意义吗？,（1） , . （2） , .,牛刀小试,填空：,例1,Aabc Bacb Ccab Dbca,典例精析,B,方法总结：关键是理解负整数指数幂的意义，依次计算出结果当底数是分数时，只要把分子、分母颠倒，负指数就可变为正指数,计算： (1)(x3y2)2； (2)x2y2(x2y)3；,例2,解析：先进行幂的乘方，再进行幂的

40、乘除，最后将整数指数幂化成正整数指数幂,解：(1)原式x6y4,(2)原式x2y2x6y3x4y,提示：计算结果一般需化为正整数幂的形式.,计算： (3)(3x2y2)2(x2y)3； (4)(3105)3(3106)2.,例2,(4)原式(271015)(91012)3103,解：(3)原式9x4y4x6y3 9x4y4x6y39x10y7,计算：,解：,做一做,解：,(1) 根据整数指数幂的运算性质，当m,n为整数时， am an=am-n,又am a-n=am-n，因此am an=am a-n.,即同底数幂的除法可以转化为同底数幂的乘法.,(2) 特别地，,所以,即商的乘方可以转化为积的

41、乘方.,总结归纳,整数指数幂的运算性质归结为,(1)aman=am+n ( m、n是整数) ； (2)(am)n=amn ( m、n是整数) ； (3)(ab)n=anbn ( n是整数).,例3,解析：分别根据有理数的乘方、0指数幂、负整数指数幂及绝对值的性质计算出各数，再根据实数的运算法则进行计算,科学记数法：绝对值大于10的数记成a10n的形式，其中1a10，n是正整数.,忆一忆：,例如，864000可以写成 .,怎样把0.0000864用科学记数法表示？,8.64105,想一想：,探一探：,因为,所以， 0.0000864=8.64 0.00001=8.64 10-5.,类似地，我们可

42、以利用10的负整数次幂，用科学记数法表示一些绝对值较小的数，即将它们表示成a10- n的形式，其中n是正整数，1a10.,算一算： 102= _; 104= _; 108= _.,议一议： 指数与运算结果的0的个数有什么关系？,一般地，10的-n次幂，在1前面有_个0.,想一想：1021的小数点后的位数是几位？1前面有几个零？,0.01,0.0001,0.00000001,通过上面的探索，你发现了什么？:,n,用科学记数法表示一些绝对值小于1的数的方法：,即利用10的负整数次幂，把一个绝对值小于1的数表示成a10-n的形式，其中n是正整数，1 a 10. n等于原数第一个非零数字前所有零的个数

43、（特别注意：包括小数点前面这个零）.,知识要点,例4 用小数表示下列各数： (1)2107；(2)3.14105； (3)7.08103；(4)2.17101.,解析：小数点向左移动相应的位数即可,解：(1)21070.0000002； (2)3.141050.0000314； (3)7.081030.00708； (4)2.171010.217.,1.用科学记数法表示： （1）0.000 03； （2）-0.000 006 4； （3）0.000 0314； 2.用科学记数法填空： （1）1 s是1 s的1 000 000倍，则1 s_s； （2）1 mg_kg；（3）1 m _m； （4）

44、1 nm_ m ；（5）1 cm2_ m2 ； （6）1 ml _m3.,练一练,例5 纳米是非常小的长度单位，1nm=10-9m.把1nm3的物体放到乒乓球上，就如同把乒乓球放到地球上，1mm3的空间可以放多少个1nm3的物体（物体之间隙忽略不计）？,典例精析,答：1mm3的空间可以放1018个1nm3的物体.,解：,1018是一个非常大的数，它是1亿（即108）的100亿（即1010）倍.,当堂练习,1.填空：(-3)2(-3)-2=( )；10310-2=( ); a-2a3=( );a3a-4=( ). 2.计算：(1)0.10.13 (2)(-5)2 008(-5)2 010 (3)

45、10010-110-2 (4)x-2x-3x2,1,10,a7,4.下列是用科学记数法表示的数，写出原来的数. （1）2108 （2）7.001106,3.计算：,（1）（2106） （3.2103） （2）（2106）2 （104）3.,答案:（1）0.000 000 02 （2）0.000 007 001,= 6.410-3；,= 4,5.比较大小： （1）3.01104_9.5103 （2）3.01104_3.10104,6.用科学记数法把0.000 009 405表示成 9.40510n，那么n= .,-6,课堂小结,整数指数幂运算,整数 指数幂,1.零指数幂：当a0时，a0=1.,2

46、.负整数指数幂：当n是正整数时，a-n=,整数指数幂的运算性质： （1）aman=am+n（m，n为整数，a0） （2）（ab）m=ambm（m为整数，a0，b0） （3）（am）n=amn（m，n为整数，a0）,用科学记数法表示绝对值小于1的数,绝对值小于1的数用科学记数法表示为a10-n的形式，1a 10，n为原数第1个不为0的数字前面所有0的个数（包括小数点前面那个0）.,课后作业,1.从教材课后习题中选取； 2.从练习册中选取。,课堂感想 1、这节课你有什么收获？ 2、这节课还有什么疑惑？ 说出来和大家一起交流吧！,谢谢观赏！,再见！,15.3 分式方程,第十五章 分 式,导入新课,讲

47、授新课,当堂练习,课堂小结,第1课时 分式方程及其解法,1.掌握解分式方程的基本思路和解法.（重点） 2.理解分式方程时可能无解的原因.（难点）,导入新课,问题引入,一艘轮船在静水中的最大航速为30千米/时，它沿江以最大航速顺流航行90千米所用时间，与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等.设江水的流速为x千米/时，根据题意可列方程 .,这个程是我们以前学过的方程吗？它与一元一次 方程有什么区别？,讲授新课,定义： 此方程的分母中含有未知数x，像这样分母中含未知数的方程叫做分式方程.,知识要点,判一判 下列方程中，哪些是分式方程？哪些是整式方程？,整式方程,分式方程,方法总结:判断一个方程是否

48、为分式方程，主要是看分母中是否含有未知数(注意：不是未知数),你能试着解这个分式方程吗？,（2）怎样去分母？,（3）在方程两边乘什么样的式子才能把每一个分母都约去？,（4）这样做的依据是什么？,解分式方程最关键的问题是什么？,（1）如何把它转化为整式方程呢？,“去分母”,方程各分母最简公分母是：（30+x）(30-x),解：方程两边同乘（30+x)(30-x)，得,检验：将x=6代入原分式方程中，左边= =右边， 因此x=6是原分式方程的解.,90（30-x)=60(30+x)，,解得 x=6.,x=6是原分式方程的解吗？,下面我们再讨论一个分式方程：,解：方程两边同乘(x+5)(x-5)，得

49、,x+5=10，,解得 x=5.,x=5是原分式方程的解吗？,检验：将x=5代入原方程中，分母x-5和x2-25的值都为0，相应的分式无意义.因此x=5虽是整式方程x+5=10的解，但不是原分式方程 的解，实际上，这个分式方程无解.,想一想： 上面两个分式方程中，为什么 去分母后所得整式方程的解就是原分式方程的解， 而 去分母后所得整式方程的解却不是原分式方程的解呢？,真相揭秘： 分式两边同乘了不为0的式子,所得整式方程的解与分式方程的解相同.,我们再来观察去分母的过程:,真相揭秘：分式两边同乘了等于0的式子,所得整式方程的解使分母为0,这个整式方程的解就不是原分式方程的解.,解分式方程时，去

50、分母后所得整式方程的解有可能使原方程的分母为0，所以分式方程的解必须检验,怎样检验？,这个整式方程的解是不是原分式的解呢？,分式方程解的检验-必不可少的步骤,检验方法： 将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解.,1.在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程. 2.解这个整式方程. 3.把整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解，否则须舍去。 4.写出原方程的根.,简记为：“一化二解三检验”.,知识要点,“去分母法”解分式方程的步骤,典例精析,例1 解方程,解：

51、 方程两边乘x(x-3),得,2x=3x-9.,解得,x=9.,检验：当x=9时，x(x-3) 0.,所以，原分式方程的解为x=9.,例2 解方程,解： 方程两边乘(x-1)(x+2),得,x(x+2)-(x-1)(x+2)=3.,解得,x=1.,检验：当x=1时， (x-1)(x+2) =0, 因此x=1不是原分式方程的解.,所以，原分式方程无解.,用框图的方式总结为：,否,是,例3,关于x的方程 的解是正数，则a的取值范围是_,解析：去分母得2xax1，解得xa1，关于x的方程 的解是正数，x0且x1，a10且a11，解得a1且a2，a的取值范围是a1且a2.,方法总结：求出方程的解(用未

52、知字母表示)，然后根据解的正负性，列关于未知字母的不等式求解，特别注意分母不能为0.,a1且a2,若关于x的分式方程 无解，求m的值,例4,解析：先把分式方程化为整式方程，再分两种情况讨论求解：一元一次方程无解与分式方程有增根,解：方程两边都乘以(x2)(x2)得2(x2)mx3(x2)，即(m1)x10. 当m10时，此方程无解，此时m1； 方程有增根，则x2或x2， 当x2时，代入(m1)x10得(m1)210，m4； 当x2时，代入(m1)x10得(m1)(2)10，解得m6， m的值是1，4或6.,方法总结：分式方程无解与分式方程有增根所表达的意义是不一样的 分式方程有增根仅仅针对使最

53、简公分母为0的数，分式方程无解不但包括使最简公分母为0的数，而且还包括分式方程化为整式方程后，使整式方程无解的数,当堂练习,D,2. 要把方程 化为整式方程，方程两边可以同乘以（ ）,A. 3y-6 B. 3y C. 3 (3y-6) D. 3y (y-2),1.下列关于x的方程中，是分式方程的是() A. B. C. D.,D,3. 解分式方程 时，去分母后得到的整式方程是（ ） A.2（x-8)+5x=16(x-7) B.2(x-8)+5x=8 C.2(x-8)-5x=16(x-7) D.2(x-8)-5x=8,A,4若关于x的分式方程 无解，则m的值为 ( ) A1，5 B1 C1.5或

54、2 D0.5或1.5,D,5. 解方程：,解：去分母，得,解得,检验：把 代入,所以原方程的解为,课堂小结,分式 方程,定义,分母中含有未知数的方程叫做分式方程,注意,(1)去分母时，原方程的整式部分漏乘,步骤 （去分母法）,一化（分式方程转化为整式方程）； 二解（整式方程）； 三检验（代入最简公分母看是否为零）,(2)约去分母后，分子是多项式时,没有添括号(因分数线有括号的作用）,(3)忘记检验,课后作业,1.从教材课后习题中选取； 2.从练习册中选取。,课堂感想 1、这节课你有什么收获？ 2、这节课还有什么疑惑？ 说出来和大家一起交流吧！,谢谢观赏！,再见！,15.3 分式方程,第十五章

55、分 式,导入新课,讲授新课,当堂练习,课堂小结,第2课时 分式方程的应用,1.理解数量关系正确列出分式方程.（难点） 2.在不同的实际问题中能审明题意设未知数，列分式方程解决实际问题.（重点）,导入新课,问题引入,1.解分式方程的基本思路是什么？ 2.解分式方程有哪几个步骤？ 3.验根有哪几种方法？,分式方程,整式方程,转化 去分母,一化二解三检验,有两种方法：第一种是代入最简公分母；第二种代入原分式方程.通常使用第一种方法.,4.我们现在所学过的应用题有哪几种类型？每种类型的基本公式是什么？,基本上有4种：,（1）行程问题： 路程=速度时间以及它的两个变式；,（2）数字问题： 在数字问题中要

56、掌握十进制数的表示法；,（3）工程问题： 工作量=工时工效以及它的两个变式；,（4）利润问题： 批发成本=批发数量批发价；批发数量=批发成本批发价；打折销售价=定价折数；销售利润=销售收入一批发成本；每本销售利润=定价一批发价；每本打折销售利润=打折销售价一批发价，利润率=利润进价。,讲授新课,例1 两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工1个月完成总工程的三分之一，这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成.哪个队的施工速度快？,表格法分析如下：,等量关系：,甲队完成的工作总量+乙队完成的工作总量=“1”,设乙单独完成这项工程需要x天.,解：设乙单独 完成这项工程需要x个月.

57、记工作总量为1，甲的工作效率是 ，根据题意得,即,方程两边都乘以6x,得,解得 x=1.,检验：当x=1时，6x0. 所以，原分式方程的解为x=1. 由上可知，若乙队单独施工1个月可以完成全部任务，而甲队单独施工需3个月才可以完成全部任务，所以乙队的施工速度快.,想一想：本题的等量关系还可以怎么找？,甲队单独完成的工作总量+两队合作完成的工作总量=“1”,此时表格怎么列，方程又怎么列呢？,设乙单独 完成这项工程需要x天.则乙队的工作效率是 甲队的工作效率是 ，合作的工作效率是 .,此时方程是：,1,表格为“3行4列”,知识要点,工程问题,1.题中有“单独”字眼通常可知工作效率；,2.通常间接设

58、元，如 单独完成需 x（单位时间），则可表示出其工作效率；,4.解题方法：可概括为“321”，即3指该类问题中三量关系，如工程问题有工作效率，工作时间，工作量；2指该类问题中的“两个主人公”如甲队和乙队，或“甲单独和两队合作”；1指该问题中的一个等量关系.如工程问题中等量关系是：两个主人公工作总量之和=全部工作总量.,3.弄清基本的数量关系.如本题中的“合作的工效=甲乙两队工作效率的和”.,抗洪抢险时，需要在一定时间内筑起拦洪大坝，甲队单独做正好按期完成，而乙队由于人少，单独做则超期3个小时才能完成现甲、乙两队合作2个小时后，甲队又有新任务，余下的由乙队单独做，刚好按期完成求甲、乙两队单独完成

59、全部工程各需多少小时？,解析：设甲队单独完成需要x小时，则乙队需要(x3)小时，根据等量关系“甲工效2乙工效甲队单独完成需要时间1”列方程,做一做,解：设甲队单独完成需要x小时，则乙队需要(x3)小时 由题意得 . 解得x6. 经检验x6是方程的解x39.,答：甲单独完成全部工程需6小时，乙单独完成全部工程需9小时,解决工程问题的思路方法：各部分工作量之和等于1，常从工作量和工作时间上考虑相等关系,例2 朋友们约着一起开着2辆车自驾去黄山玩，其中面包车为领队，小轿车车紧随其后，他们同时出发，当面包车车行驶了200公里时，发现小轿车车只行驶了180公里，若面包车的行驶速度比小轿车快10km/h,请问面包车，小轿车的速度分别为多少km/h？,0,180,200,200,180,x+10,x,分析：设小轿车的速度为x千米/小时,面包车的时间=小轿车的时间,等量关系：,列表格如下：,解：设小轿车的速度为x千米/小时，则面包车速度为x+10千米/小时，依题意得,解得x90,经检验，x90是原方程的解， 且x=90，x+10=100，符合题意.,答：面包车的速度为