41任意角和弧度制及任意角的三角函数

1、要点梳理 1.任意角 （1）角的概念的推广 按旋转方向不同分为 、 、 . 按终边位置不同分为 和 . （2）终边相同的角 终边与角 相同的角可写成 .,第四章 三角函数、解三角形,4.1 任意角和弧度制及任意角的三 角函数,正角,负角,零角,象限角,轴线角,(kZ),基础知识 自主学习,（3）弧度制 1弧度的角：_ 叫做1弧度的角. 规定：正角的弧度数为 ,负角的弧度数为 ，零角的弧度数为 , ,l是以角 作为圆心角时所对圆弧的长，r为半径. 用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制.比值 与所取的r的大小 ,仅与 . 弧度与角度的换算：360= 弧度；180= 弧度. 弧长公式： , 扇形

2、面积公式：S扇形= = .,把长度等于半径长的弧所对的圆心角,无关,角的大小有关,正数,负数,零,2.任意角的三角函数 (1)任意角的三角函数定义 设 是一个任意角，角 的终边上任意一点 P(x,y),它与原点的距离为r (r0）,那么角 的正弦、余弦、正切分别是： 它们都是以角为自 ，以比值为 的函数. (2)三角函数在各象限内的符号口诀是： .,变量,函数值,一全,正、二正弦、三正切、四余弦,3.三角函数线 设角 的顶点在坐标原点,始边与x轴正半轴重 合,终边与单位圆相交于点P，过P作PM垂直于x 轴于M,则点M是点P在x轴上的 .由三角 函数的定义知，点P的坐标为 , 即 ,其中 = ,

3、 单位圆与x轴的正半轴交于点A,单位圆在A点 的切线与 的终边或其反向延长线相交于点 T，则 .我们把有向线段OM、 MP、AT叫做 的 、 、 .,OM,MP,AT,余弦线,正弦线,正切线,正射影,4.同角三角函数的基本关系 (1)平方关系： . (2)商数关系: .,MP,OM,AT,基础自测 1.若 =k180+45 (kZ)，则 在（ ） A.第一或第三象限 B.第一或第二象限 C.第二或第四象限 D.第三或第四象限 解析 当k=2m+1 (mZ)时， =2m180+225=m360+225,故 为 第三象限角；当k=2m (mZ)时， =m360+45,故 为第一象限角.,A,2.角

4、 终边过点(-1,2),则cos 等于（ ）,解析,C,3.已知角 的终边经过点( ，-1),则角 的最 小正值是（ ）,解析,B,4.已知扇形的周长是6 cm，面积是2 cm2，则扇形 的圆心角的弧度数是（ ） A.1 B.4 C.1或4 D.2或4 解析 设此扇形的半径为r，弧长为l，,C,5.已知 为第四象限角，且 解 为第四象限角，且,题型一 三角函数的定义 已知角 的终边在直线3x+4y=0上,求 的值.,【例1】,解,题型分类 深度剖析,某角的三角函数值只与该角终边所在 位置有关，当终边确定时三角函数值就相应确定. 但若终边落在某条直线上时，这时终边实际上有 两个，因此对应的函数值

5、有两组要分别求解. 知能迁移1 设 为第四象限角,其终边上的一个 点是P（x，- ），且 解 为第四象限角，x0，且,题型二 三角函数值的符号及判定 (1)如果点P(sin cos ，2cos )位 于第三象限，试判断角 所在的象限. (2)若 是第二象限角，试判断 的符 号.,解,(1)熟练掌握三角函数的符号法则是解决 此类问题的关键. (2)由三角函数符号判断角所在象限,在写角的集合时, 注意终边相同的角.,知能迁移2 若 则 角 的终边落在 （ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 解析,C,题型三 三角函数线及其应用 在单位圆中画出适合下列条件的角 的 终边的范围

6、,并由此写出角 的集合:,解 (1)作直线 交单位圆于A、B 两点,连结OA、OB，则OA与OB围 成的区域即为角 的终边的范围, 故满足条件的角 的集合为,(2)作直线 交单位圆于C、D两点, 连结OC、OD,则OC与OD围成的区域 (图中阴影部分)即为角 终边的范围. 故满足条件的角 的集合为,本题的实质是解三角不等式的问题： （1）可以运用单位圆及三角函数线； （2）也可以用三角函数图象. 体现了数形结合的数学思想方法.,知能迁移3 求下列函数的定义域：,解,由三角函数线画出x满足条件的终边 范围(如图阴影所示).,利用三角函数线画出x满足条件的终边范围(如右图阴影),题型四 同角三角函

7、数的基本关系式 （12分）已知 是三角形的内角，且 （1）求tan 的值； （2） 用tan 表示出来，并求其值. （1）由,解题示范 解 (1)方法一,2分,3分,6分,方法二,3分,6分,(1)对于 这三个式子,已知其中一个式子的值,其余二式的 值可求.转化的公式为 (2)关于sin x,cos x的齐次式,往往化为关于 tan x的式子.,10分,12分,知能迁移4 分别求 的值：,解,思想方法 感悟提高 方法与技巧 1.在利用三角函数定义时,点P可取终边上任一点, 如有可能则取终边与单位圆的交点.|OP|=r一定 是正值. 2.在解决 的问题时,常 常用到 3.在解简单的三角不等式时，利用单位圆及三角 函数线是一个小技巧.,失误与防范 1.注意易混概念的区别：第一象限角、锐角、小