小学奥数6-2-7 溶液浓度问题(二).教师版

1、溶液浓度问题（二）教学目标1、明确溶液的质量,溶质的质量,溶剂的质量之间的关系2、浓度三角的应用3、会将复杂分数应用题及其他类型题目转化成浓度三角形式来解4、利用方程解复杂浓度问题知识精讲浓度问题的内容与我们实际的生活联系很紧密，就知识点而言它包括小学所学2个重点知识：百分数，比例。一、浓度问题中的基本量溶质：通常为盐水中的“盐”，糖水中的“糖”，酒精溶液中的“酒精”等溶剂：一般为水，部分题目中也会出现煤油等溶液：溶质和溶液的混合液体。浓度：溶质质量与溶液质量的比值。二、几个基本量之间的运算关系1、溶液=溶质+溶剂2、浓度=溶质100%=溶液溶质溶质+溶液100%形象表达：甲溶液质量=a三、解

2、浓度问题的一般方法1、寻找溶液配比前后的不变量，依靠不变量建立等量关系列方程2、十字交叉法：(甲溶液浓度大于乙溶液浓度)b甲溶液与混合溶液的浓度差=乙溶液质量ba混合溶液与乙溶液的浓度差注：十字交叉法在浓度问题中的运用也称之为浓度三角，浓度三角与十字交叉法实质上是相同的浓度三角的表示方法如下：混合浓度z%x-zz-y甲溶液浓度x%乙溶液浓度y%z-y:x-z甲溶液质量:乙溶液质量3、列方程解应用题也是解决浓度问题的重要方法2-2-7.溶液浓度问题（二）.题库教师版page1of9例题精讲模块一、利用十字交叉即浓度三角进行解题三种溶液混合多次【例1】有甲、乙、丙三个容器，容量为毫升甲容器有浓度为

3、40%的盐水400毫升；乙容器中有清水400毫升；丙容器中有浓度为20%的盐水400毫升先把甲、丙两容器中的盐水各一半倒入乙容器搅匀后，再把乙容器中的盐水200毫升倒入甲容器，200毫升倒入丙容器这时甲、乙、丙容器中盐水的浓度各是多少？【考点】溶液浓度问题【难度】4星【题型】解答【解析】列表如下：甲开始第一次第二次浓度40%40%20040%+20015%400=27.5%溶液400200400乙丙浓度020040%+20020%800=15%溶液400800浓度20%20%溶液40020015%40020020%+20015%400=17.5%400所以此时甲容器中盐水的浓度是27.5%，乙

4、容器中浓度是15%，丙容器中浓度是17.5%小结：在做有关浓度的应用题时，为了弄清楚溶质质量、溶液质量的变化，尤其是变化多次的，常用列表的方法，使它们之间的关系一目了然【答案】甲容器中盐水的浓度是27.5%，乙容器中浓度是15%，丙容器中浓度是17.5%【例2】在甲、乙、丙三缸酒精溶液中，纯酒精的含量分别占48%、62.5%和2，已知三缸酒精溶液总3量是100千克，其中甲缸酒精溶液的量等于乙、丙两缸酒精溶液的总量三缸溶液混合后，所含纯酒精的百分数将达56%那么，丙缸中纯酒精的量是多少千克？【考点】溶液浓度问题【难度】3星【题型】解答【解析】(法1)方程法设丙缸酒精溶液的重量为x千克，则乙缸为(

5、50-x)千克根据纯酒精的量可列方程：5048%+(50-x)62.5%+x23=10056%，那么乙、丙两缸酒精溶液的量之比为：2-64%:(64%-62.5%)=32:18，而它们合起来共50千克，所以丙缸酒精溶液有50=18千克，丙缸中纯酒精的量是18=12(千克)解得x=18，所以丙缸中纯酒精的量是182=12(千克)3(法2)浓度三角法由于甲缸酒精溶液为50千克，乙、丙两缸酒精溶液合起来也是50千克，所以如果将乙、丙两缸酒精溶液混合，得到的酒精溶液的浓度为56%2-48%=64%318232+183【答案】122-2-7.溶液浓度问题（二）.题库教师版page2of95=29，即第二

6、种、第三种混合物的重量比为2:1；于是此时含有c，【例3】有a、b、c三种盐水，按a与b数量之比为2:1混合，得到浓度为13%的盐水；按a与b数量之比为1:2混合，得到浓度为14%的盐水如果a、b、c数量之比为1:1:3，混合成的盐水浓度为10.2%，问盐水c的浓度是多少？【考点】溶液浓度问题【难度】3星【题型】解答【解析】a与b按数量之比为2:4混合时，浓度仍为14%，而这样的混合溶液也相当于a与b按数量之比为2:1混合后再混入三份b盐水，则b盐水浓度为(14%6-13%3)(4-1)=15%a盐水的浓度为14%3-15%2=12%再根据a、b、c三种溶液混合的情况，那么c盐水的浓度为：10

7、.2%(1+1+3)-12%1-15%13=8%.【答案】8%【例4】已知三种混合物由三种成分a、b、c组成，第一种仅含成分a和b，重量比为3:5；第二种只含成分b和c，重量比为1:2；第三种只含成分a和c，重量之比为2:3.以什么比例取这些混合物，才能使所得的混合物中a、b和c，这三种成分的重量比为3:5:2？【考点】溶液浓度问题【难度】4星【题型】解答【解析】注意到第一种混合物中a、b重量比与最终混合物的a、b重量比相同，均为3:5.所以，先将第二种、第三种混合物的a、b重量比调整到3:5，再将第二种、第三种混合物中a、b与第一种混合物中a、b视为单一物质d.最终配成d:c=(3+5):2

8、=4:1的物质；第二种混合物不含a,b的含量为1，第三种混合物不含b,a的含量为2，所以32=7.5倍第三355种混合物含a为3，51=15倍第二种混合物含b为5，3232+132+145即c:d=29:(45-29)=29:16,而最终混合物中c:d=1:4=29:116，所以第一种混合物的质量与后两种混合质量和之比为(116-16):45=20:9，所以三种混合物的重量比为20:6:3.【答案】20:6:3【例5】a、b、c三个试管中各盛有10克、20克、30克水把某种浓度的盐水10克倒入a中，充分混合后从a中取出10克倒入b中，再充分混合后从b中取出10克倒入c中，最后得到的盐水的浓度是

9、0.5%问开始倒入试管a中的盐水浓度是百分之几？【考点】溶液浓度问题【难度】3星【题型】解答10【解析】整个过程中盐水浓度在下降倒入a中后，浓度变为原来的=1；倒入b中后，浓度变为10+102=；倒入c中后，浓度变为b中的=所以对于一开始倒入a中的盐水a中的10110110+20310+304浓度可以用倒推的方法，0.5%111=12%，即一开始倒入a中的盐水浓度为12%432【答案】12%【例6】有两种溶液，甲溶液的酒精浓度为10%，盐浓度为30%，乙溶液中的酒精浓度为50%，盐浓度为10%现在有甲溶液1千克，那么需要多少千克乙溶液，将它与甲溶液混和后所得的溶液的酒精浓度和盐浓度相等?【考点

10、】溶液浓度问题【难度】3星【题型】解答【解析】一千克甲种溶液中含有酒精0.1千克，盐0.3千克，盐比酒精多0.2千克；而一千克乙种溶液中含有酒精0.5千克，盐0.1千克，盐比酒精少0.4千克所以只需要0.5千克的乙种酒精将其与甲溶液混合后所得溶液中两种物质含量相等，即浓度相等【答案】0.52-2-7.溶液浓度问题（二）.题库教师版page3of9【巩固】有两种溶液，甲溶液的酒精浓度为15%，盐浓度为10%，乙溶液中的酒精浓度为45%，盐浓度为5%现在有甲溶液1千克，那么需要多少千克乙溶液，将它与甲溶液混和后所得的溶液的酒精浓度是盐浓度的3倍？【考点】溶液浓度问题【难度】3星【题型】解答【解析】

11、可以这样来看，将溶液中的水剔出或者说蒸发掉，那么所得到的溶液就是盐溶在酒精中(事实上这种情况不符合物理规律，但这只是假设)这时的处理后甲溶液盐浓度为10%(15%+10%)=0.4，处理后乙溶液的盐浓度为5%(45%+5%)=0.1，需要配置的溶液的盐浓度为1(1+3)=0.25，由这些得出的条件使用十字交叉法得到两种处理后溶液的质量比应该为：(0.25-0.1):(0.4-0.25)=1:1。一千克原甲溶液中有10%+15%=25%的处理后甲溶液，即0.25千克，所以另需要0.25千克的处理后乙溶液，而每千克原乙溶液中含有5%+45%=50%的处理后乙溶液，即0.5千克，所以只需要0.5千克

12、的乙溶液就能构成0.25千克的处理后乙溶液所以需要0.5千克的乙溶液【答案】0.5模块二、列方程解浓度问题【例7】使用甲种农药每千克要兑水20千克，使用乙种农药每千克要兑水40千克。根据农科院专家的意见，把两种农药混合使用能提高药效。现有两种农药共5千克，要配药水140千克，其中甲种农药需药_千克。【考点】溶液浓度问题【难度】3星【题型】解答【解析】设甲种农药x千克，则乙种农药（5-x）千克。列方程：x(1+20)+(5-x)(1+40)=14021x+205-41x=14020x=65x=3.25【答案】3.25【例8】甲、乙两瓶盐水，甲瓶盐水的浓度是乙瓶盐水的3倍将100克甲瓶盐水与300

13、克乙瓶盐水混合后得到浓度为15%的新盐水，那么甲瓶盐水的浓度是多少？【考点】溶液浓度问题【难度】3星【题型】解答【解析】设乙瓶盐水的浓度是x%，甲瓶盐水的浓度是3x%，有1003x%+300x%=(100+300)15%，解得x=10，即甲瓶盐水的浓度是30%【答案】30%【例9】甲、乙两只装满硫酸溶液的容器，甲容器中装有浓度为8%的硫酸溶液600千克，乙容器中装有浓度为40%的硫酸溶液400千克各取多少千克分别放入对方容器中，才能使这两个容器中的硫酸溶液的浓度一样？【考点】溶液浓度问题【难度】3星【题型】解答【解析】由于交换前后两容器中溶液的重量均没有改变，而交换一定量的硫酸溶液其目的是将原

14、来两容器中溶液的浓度由不同变为相同，而且交换前后两容器内溶液的重量之和也没有改变，根据这个条件可以先计算出两容器中的溶液浓度达到相等时的数值，从而再计算出应交换的溶液的量甲容器中纯硫酸的质量为6008%=48(千克)；乙容器中纯硫酸的质量为40040%=160(千克)；两容器中纯硫酸的质量和为48+160=208千克，硫酸溶液的质量和为600+400=1000千克两容器中溶液互换后浓度为2081000100%=20.8%，所以应交换的硫酸溶液的量为：600(20.8%-8%)(40%-8%)=240(千克)另解：假设各取x千克放入对方容器中，那么两种混合溶液中两种硫酸溶液的质量比相等，即(60

15、0-x):x=600:400，解得x=240，即各取240千克2-2-7.溶液浓度问题（二）.题库教师版page4of9ax%+by%，所以混合溶液的浓度为ax%+by%，所以ax+by，即az+b=a+，【答案】240【例10】甲容器中有浓度为20%的盐水400克，乙容器有浓度为10%的盐水600克分别从甲和乙中取出相同重量的盐水，把从甲中取出的倒入乙中，把从乙中取出的倒入甲中现在甲、乙容器中盐水浓度相同问：从甲(乙)容器取出多少克盐水倒入了另一个容器中？【考点】溶液浓度问题【难度】3星【题型】解答【解析】由于两种盐水互换后浓度相等，而在互换的过程中盐的总质量是不变的，所以互换后盐水的浓度为

16、(40020%+60010%)(400+600)=14%，而甲容器中原来浓度为20%，所以相互倒了400(20%-14%)(20%-10%)=240(克)另解：由于两种溶液的浓度不同，而混合后得到的溶液的浓度相同，只能是相混合的两种溶液的量的比是相等的这一点与两人各用两种速度走一段路程而平均速度相同中的两种速度的路程比、以及含铜率不同的两种合金熔炼成含铜率相同的合金(见第7讲相关例题)中两种合金的质量比是相似的假设相互倒了x克，那么甲容器中是由(400-x)克20%的盐水和x克10%的盐水混合，乙容器中是由x克20%的盐水和(600-x)10%的盐水混合，得到相同浓度的盐水，所以(400-x)

17、:x=x:(600-x)，解得x=240【答案】240【例11】十字交叉法的证明过程：设甲、乙两瓶溶液的质量分别为a和b，浓度分别为x%和y%（xy），将两瓶溶液混合后所得的溶液浓度为z%，求证：(x-z):(z-y)=b:a【考点】溶液浓度问题【难度】4星【题型】解答【解析】略【答案】甲溶液中溶质的质量为ax%，乙溶液中的溶质质量为by%，则混和溶液中的溶质质量为z=a+ba+ba(x-z)=b(z-y)，可见(x-z):(z-y)=b:a也可以这样来理解；由于甲溶液浓度比乙溶液浓度高，两瓶溶液混合后，浓度变为相同，相当于甲溶液拿出了a(x%-z%)的溶质给乙溶液，乙溶液则得到了b(z%-y

18、%)的溶质，所以a(x%-z%)=b(z%-y%)，得到(x-z):(z-y)=b:a【例12】在浓度为x%的盐水中加入一定量的水,则变为浓度10%的新溶液.在这种新溶液中加入与前次加入的水量相等的盐,溶液浓度变为30%.求x.【考点】溶液浓度问题【难度】3星【题型】解答【解析】不妨设原来的盐水为100克，加入的水(或)盐重a克,可列方程：x100+a=10%，可得x=10+0.1a；x+a100+a+a=30%，可得x+a=30+0.6a；解得a=40，x=14【答案】x=14【巩固】一杯盐水，第一次加入一定量的水后，盐水的含盐百分比变为15%；第二次又加入同样多的水，盐水的含盐百分比变为1

19、2%；第三次再加入同样多的水，盐水的含盐百分比将变为%。【考点】溶液浓度问题【难度】3星【题型】解答【关键词】希望杯，一试，六年级【解析】抓住题中不变量-盐的重量假设第一次加入水后盐水的重量为a克，盐的重量为a15%=0.15a克，第二次加水后的总重量为0.15a0.12=1.25a克，这样就可得出加水量是1.25a-a=0.25a克，第三次加水后的重量是1.25a+0.25a=1.5a克，这时的盐水的含盐百分比是0.15a1.5a=10%【答案】10%【例13】瓶中装有浓度为15%的酒精溶液1000克，现在又分别倒入100克和400克的a、b两种酒精溶液，瓶中的浓度变成了14%已知a种酒精溶

20、液浓度是b种酒精溶液浓度的2倍，那么a种酒精溶液的浓度是百分之几？2-2-7.溶液浓度问题（二）.题库教师版page5of914%-(15%-14%)=12%z+3=yx40%+y36%+z35%=1138.5%【考点】溶液浓度问题【难度】3星【题型】解答【解析】(法1)方程法新倒入纯酒精：(1000+100+400)14%-100015%=60(克)设a种酒精溶液的浓度为x，则b种为x根据新倒入的纯酒精量，可列方程：2100x+400x=60，解得x=20%，即a种酒精溶液的浓度是20%2(法2)浓度三角法设a种酒精溶液的浓度为x，则b种为x2根据题意，假设先把100克a种酒精和400克b种

21、酒精混合，得到500克的酒精溶液，再与1000克15%的酒精溶液混合，所以a、b两种酒精混合得到的酒精溶液的浓度为1000500根据浓度三角，有(x-12%):12%-x=400:100，解得x=20%2故a种酒精溶液的浓度是20%【答案】20%【例14】a种酒精浓度为40%，b种酒精浓度为36%，c种酒精浓度为35%，它们混合在一起得到了11千克浓度为38.5%的酒精溶液，其中b种酒精比c种酒精多3千克，则a种酒精有千克【考点】溶液浓度问题【难度】2星【题型】解答【关键词】101中学【解析】设a种酒精有x千克，b种酒精有y千克，c种酒精有z千克，则：x+y+z=11解得x=7，y=3.5，z

22、=0.5，故a种酒精有7千克【答案】7【例15】一个卖牛奶的人告诉两个小学生：这儿的一个钢桶里盛着水，另一个钢桶里盛着牛奶，由于牛奶乳脂含量过高，必须用水稀释才能饮用现在我把a桶里的液体倒入b桶，使其中液体的体积翻了一番，然后我又把b桶里的液体倒进a桶，使a桶内的液体体积翻番最后，我又将a桶中的液体倒进b桶中，使b桶中液体的体积翻番此时我发现两个桶里盛有同量的液体，而在b桶中，水比牛奶多出1升现在要问你们，开始时有多少水和牛奶，而在结束时，每个桶里又有多少水和牛奶？【考点】溶液浓度问题【难度】4星【题型】解答【解析】假设一开始a桶中有液体x升，b桶中有y升第一次将a桶的液体倒入b桶后，b桶有液

23、体2y升，a桶剩(x-y)升；第二次将b桶的液体倒入a桶后，a桶有液体2(x-y)升，b桶剩(3y-x)升；第三次将a桶的液体倒入b桶后，b桶有液体(6y-2x)升，a桶剩(3x-5y)升由此时两桶的液体体积相等，得3x-5y=6y-2x，5x=11y，x:y=11:5现在还不知道a桶中装的是牛奶还是水，可以将稀释牛奶的过程列成下表：a桶b桶原a桶液体：原b桶液体原a桶液体：原b桶液体初始状态11:00:5第一次a桶倒入b桶第二次b桶倒入a桶第三次a桶倒入b桶6:05:59:32:26:25:3由上表看出，最后b桶中的液体，原a桶液体与原b桶液体的比是5:3，而题目中说“水比牛奶2-2-7.溶

24、液浓度问题（二）.题库教师版page6of9多1升”，所以原a桶中是水，原b桶中是牛奶因为在5:3中，“5-3”相当于1升，所以2个单位相当于1升由此得到，开始时，a桶中有11升水，b桶中有5升牛奶；结束时，a桶中有3升水和1升牛奶，b桶中有5升水和3升牛2222(z4)-(z4)=20%，解得z=4所以最后a桶中的酒精含量是44100%=60%奶【答案】a桶中有3升水和1升牛奶，b桶中有5升水和3升牛奶22【巩固】有a，b两个桶，分别盛着水和某含量的酒精溶液先把a桶液体倒入b桶，使b桶中的液体翻番；再将b桶液体倒入a桶，使a桶中的液体翻番此时，a，b两桶的液体体积相等，并且a桶的酒精含量比b

25、桶的酒精含量高20%问：最后a桶中的酒精含量是多少？【考点】溶液浓度问题【难度】3星【题型】解答【解析】因为最后a桶的酒精含量高于b桶，所以一开始a桶盛的是酒精溶液设一开始a桶中有液体x，b桶中有y第一次从a桶倒入b桶后，b桶有2y，a桶剩(x-y)；第二次从b桶倒入a桶，a桶有2(x-y)，b桶剩(3y-x)由2(x-y)=3y-x，得x:y=5:3再设开始a桶中有纯酒精z，则有水(5-z)将酒精稀释过程列成表(如图)：由题意知，323555【答案】60%【例16】a、b、c三瓶盐水的浓度分别为20%、18%、16%，它们混合后得到100克浓度为18.8%的盐水如果b瓶盐水比c瓶盐水多30克

26、，那么a瓶盐水有多少克？【考点】溶液浓度问题【难度】3星【题型】解答【解析】设c瓶盐水有x克，则b瓶盐水为x+30克，a瓶盐水为100-(x+x+30)=70-2x克则(70-2x)20%+(x+30)18%+x16%=10018.8%，解得x=10所以a瓶盐水为：70-210=50(克)【答案】50模块三、浓度三角解分数应用题【例17】某班有学生48人，女生占全班的37.5，后来又转来女生若干人，这时人数恰好是占全班人数的40，问转来几名女生？【考点】溶液浓度问题【难度】3星【题型】解答【解析】浓度差之比124，48241=2人,重量之比241这是一道变换单位“1”的分数应用题需抓住男生人数

27、这个不变量，如果按浓度问题做，就简单多了。转来2名女生。【答案】2【例18】小明到商店买红、黑两种笔共66支红笔每支定价5元，黑笔每支定价9元由于买的数量较多，商店就给予优惠，红笔按定价85%付钱，黑笔按定价80%付钱，如果他付的钱比按定价少付了18%，那么他买了红笔多少支？【考点】溶液浓度问题【难度】2星【题型】解答【解析】浓度倒三角的妙用红笔按85%优惠，黑笔按80%优惠，结果少付18%，相当于按82%优惠，可类似浓度问题进行配比，得到红、黑两种笔的总价之比为(82%-80%):(85%-82%)=2:3，而2-2-7.溶液浓度问题（二）.题库教师版page7of966=36支红笔红、黑两

28、种笔的单价分别为5元和9元，所以这两种笔的数量之比为2:3=6:5，所以他买了5965+6【例19】有两包糖，每包糖内都装有奶糖，水果糖和巧克力糖已知：第一包糖的粒数是第二包的；【解析】由于第一包糖的粒数是第二包糖的，不妨设设第二包有糖30块，则第一包有糖20块设巧克通过以上例题，我们可以看出，只要我们在解题时善于抓住事物间的联系，进行适当转化，就能发现其中的规律，找到解决问题的巧妙方法。【答案】3623在第一包糖中，奶糖占25%，在第二包糖中，水果糖占50%；巧克力在第一包糖中所占的百分比是在第二包糖中所占的百分比的两倍当两包糖合在一起时，巧克力糖占28%，那么，水果糖所占的百分比等于多少？【考点】溶液浓度问题【难度】3星【题型】解答23力糖在第二包糖中所占的百分比为x，则巧克力糖在第一包糖中所占的百分比为2x，根据题意，有：202x+30x=28%(30+20)，解得x=20%，所以巧克力糖在第一包中占的百分比为40%，那么，在第一包糖中，水果糖占1-25%-40%=35%当两包糖合在一起时，水果糖所占的百分比是：(2035%+3050%)(20+30)=44%【答案】44%【巩固】有两包糖，第一包糖由奶糖和水果糖组成，其中1为奶糖；第二包糖由酥糖和水果糖组成，其4中1为酥糖将两包糖混合后，水果糖占78%，那么奶糖与