高二文科数学_复数

1、 高二文科数学 复数 1. 复数的概念及其表示形式： （）形如（）的数称为复数，分别叫做复数的实部、虚部1abiabRab?, 当时，表示实数；当时，表示虚数；babibabi?00 ?当，时，表示纯虚数，显然，纯虚数虚数，ababi?00?当，时，表示纯虚数，显然，纯虚数虚数，ababi?00?当，时，表示纯虚数，显然，纯虚数虚数，ababi?00 ?实数虚数复数?C 通常复数z的实部记作Rez；复数z的虚部记作Imz. 两个重要命题： 定理：复数是实数的充要条件是；1zzz? 定理：复数是纯虚数的充要条件是（）200zzzz? （2）复数的几何形式：复数集与平面上的点集之间能建立一一对应关

2、系，故可用平面上的点来表示复数，一般地，可用点（）表示复数，（），Za,ba+bia,bR?或用向量表示复数OZabi?. （）复数相等：且3abicdiacbd?. 00abia?且b=0 这是解决复数问题时进行虚实转化的工具： （）共轭复数：与（）互为共轭复数。4zabizabiabR?, 在复平面上，互为共轭复数的两个点关于实轴对称： 另外zz?| 注：复数的分类：0,0)0)0,0)Zabiaa?实数 (b=0)复数一般虚数(b虚数 (b纯虚数(b 虚数不能比较大小，只有等与不等。即使是3,62ii?也没有大小。 （）复数的模：设在复平面上对应的点为（），则5zabiabRZab?(,

3、),把向量的模（即线段的长度）叫做复数的模。OZOZz ?|()zab?220 积或商的模可利用模的性质（1）112nnzzzzz?LL，（2 ）?112220zzzzz? （6）共轭复数的运算性质： zzzzzzzzzzzzzzzz1212121212121212?；（） zzzzzznn?()|；22 （7）复数的模的运算性质： |zzzzzzzzOZOZ1212121212?（当与，对应的向量，同向时，右边的等号成立：当，反向时，左边的等号成立）OZOZ12? | |zzzzzz121212?（取等号的情形与以上相反） | |.zzzzzzzzzznn12121212?； （）关于复数与

4、81232ii?. iiiiiiiiinnnn4142243344411?， ?322110? ? ，；?322110?，. 注：熟记常用算式：1ii?，ii2)1(2?，ii2)1(2?，iii?11，iii?11 2. 复数的运算： （1）四则运算法则（可类比多项式的运算） 加法：()()()(),abicdiacbdiabcdR? 减法：()()()()abicdiacbdi? 乘法：()()()()abicdiacbdbcadi? 除法：转化为乘法运算()()()()()()()abicdiabicdiabicdicdicdi? 简记为“分母实数化”。 特例：()()()().abia

5、biabiiii?22221212；， （）开平方运算的平方根（）可由22:()a+bix+yia,b,x,yR ?xyiabi利用复数相等的充要条件转化为解实方程组。 （3）复数加法、减法的几何意义： 复数的加法即向量的加法，满足平行四边形法则。 复数减法即向量的减法，满足三角形法则。 z1-z2 对应的向量，是以 z2的对应点为起点，指向z1的对应点的向量，|z1-z2|表示复平面内与z1，z2对应的两点的距离，如： |z-i|表示z与i的对应的点的距离； 注：12|zzzz?z对应的点的轨迹是线段12ZZ的垂直平分线；0|zzr?， z对应的点的 轨迹是一个圆；?1212|22zzzza

6、ZZa?， z对应的点的轨迹是一个椭圆；?1212|22zzzzaZZa?， z对应的点的轨迹是双曲线。 3. 复数与方程： （1）含z的复数方程：可设出z的代数形式，利用复数相等转化为实方程组。 （2）实系数一元二次方程：ax2+bx+c=0（a0） 0时，方程有两个不等实根；=0时，方程有两个相等实根； 0，但该方程并无实根。但韦达定理以及求根公式仍适用。 注1. 解决复数问题，注意虚实转化的方法。 2. 解决复数问题，注意充分利用共轭，模的运算性质。 高二数学文科试题（复数） 一、选择题 1设,abcR?则复数()()abicdi?为实数的充要条件是（ ） （A）0adbc? （B）0a

7、cbd? （C）0acbd? （D）0adbc? 2 复数133ii?等于（ ） Ai Bi? C 3i? D 3i? 3若复数z满足方程022?z，则3z的值为（ ） A.22? B. 22? C. i 22? D. i 22? 4对于任意的两个实数对（a,b）和(c,d),规定（a,b）(c,d)当且仅当ac,bd;运算“?”为：),(),(),(adbcbdacdcba?，运算“?”为：),(),(),(dbcadcba?，设Rqp?,，若)0,5(),()2,1(?qp则?),()2,1(qp（ ） A. )0,4( B. )0,2( C.)2,0( D.)4,0(? 5 复数10(1

8、)1ii?等于（ ） A1i? B。1i? C。1i? D。1i? 63(1i) 2 ( ) （A）32i （B）32i （C）i （D）i 7i 是虚数单位，?ii1（ ） A i2121? B i2121? Ci2121? D i2121? 8如果复数2()(1)mimi?是实数，则实数m?（ ） A1 B1? C 2 D 2? 9已知复数z 满足（33i）z3i，则z（ ） A 3322i B. 3344i C. 3322i D.3344i 10 在复平面内，复数1ii?对应的点位于 ( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 二、填空题 11 已知11mnii?，m

9、ni其中，是实数，是虚数单位，mni?则_ 12在复平面内，若复数z满足|1|zzi?，则z 所对应的点的集合构成的图形是 。 13. 设x、y 为实数，且iiyix315211?，则x+y=_. 14若复数z同时满足z?z2i，?ziz（i为虚数单位），则z 15 已知1,2iz?则501001zz?的值为_ 16非空集合G关于运算?满足：（1）对任意,abG?，都有abG?； （2）存在eG?，使得对一切aG?，都有aeeaa?，则称G关于运算?为“融洽集”；现给出下列集合和运算： ?,G?非负整数为整数的加法 ?,G?偶数为整数的乘法 ?,G?平面向量为平面向量的加法 ?,G?二次三项式

10、为多项式的加法 ?,G?虚数为复数的乘法 其中G关于运算?为“融洽集”_;（写出所有“融洽集”的序号） 18已知复数z 满足2|?z，2z的虚部为 2 ， （I）求z； （II）设z，2z，2zz?在复平面对应的点分别为A，B，C，求ABC?的面积. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D A D B D A A B D D 11、2+i 12、直线y= -x 13、4 14、-1+i 15、i 16、 17、解法一 i2i21i34,i34)i21(?ww?， 4分 i3|i|i25?z. 8分 若实系数一元二次方程有虚根i3?z，则必有共轭虚根i3?z. 10,6?zzzz?， ? 所求的一个一元二次方程可以是01062?xx. 10分 解法二 设ibaw?R)(?ba、 baba2i2i34i?， 得 ?,23,24abba ?,1,2ba i2?w， 4分 以下解法同解法一. 18、解：（I）设(,)ZxyixyR? 由题意得2222()2Zxyxyxyi? ?222(1)21(2)xyxy? 故?20,x