均值不等式应用

1、均值不等式应用（技巧）Wekede整理一.均值不等式2 21. (1)若 a,b R，则 a 当且仅当5 -4X，即X =1时，上式等号成立，故当 X =1时，ymax b2 _ 2ab (2)若 a,b 三 R，则 ab 乞 a 一(当且仅当 a = b 时取“二”)22. (1)若 a,b R*，则_ ab (2) 若 a,b R*，则 a b _ 2 . ab (当且仅当 a = b 时取“=”)2若a,b R*，则ab U 2 （当且仅当a二b时取“=”） 飞2丿113. 若x .0，则x 2 （当且仅当x二1时取“=”;若x小，则x2 （当且仅当x二_1时取“=”xx若x ho，贝y

2、 x +丄2即x +丄兰2或x +丄-2 （当且仅当a = b时取“=”）xxx3.若ab . 0，则1 . b 2 （当且仅当a二b时取“=”）b a_2即- b _2或b a（当且仅当a =b时取“=”2 24. 若a,b R，则（口）2乞a b （当且仅当a =b时取“=”）2 2注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的 积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”（2）求最值的条件“一正，二定，三取等”（3）均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用. 应用一：求最值例1 :求下列函数的值

3、域(1) y= 3x 2+ J2x1(2 ) y= x+ ；解:值域为6 ,(2 )当 x0 时,1 y = x +x=2;当 xv0 时， y = x+ = ( x - ) 2 jx 丄 =2xxv x值域为(m,2 U 2 , + m )解题技巧：技巧一：凑项例1 ：已知x : 5，求函数y =4x _2 的最大值。44x 5解：因4x -5 ：:0 ,所以首先要凑项,“调整”符号，又（4x_2）_-不是常数，所以对4X-2要进行拆、4x 5=4x -214x -5 -23=154x评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。技巧二：凑系数例1.当0 X 4时，求y=x(8

4、_2x)的最大值。解析：由H知，-L ,利用均值不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。 注意到2x - (8 _2x) =8为定值，故只需将y =x(8 _2x)凑上一个系数即可。丿=好2卄扣卫甘2恥步巴字与三8当 =-:，即x = 2时取等号 当x = 2时，y =x(8 _2x)的最大值为8。评注：本题无法直接运用均值不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用均值不等式求最大值。3变式：设0 ： X，求函数y =4x(3 _2x)的最大值。2山30 二 y =4x(3 _2x) =2 2x(3 _2x)空 2解：T 0 :- x 3 -2x2当

5、且仅当2x = 3 _2x,即0,3 I时等号成立。 2 3a 3b = 23ab =6当3 二彳13时等号成立，由a，b=2及3二彳13得a=b=1即当a=b=1时，3亠313的最小值是6.变式：若log 4 x log 4 y=2，求11的最小值拼求x,y的值x y技巧六：整体代换：多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错。192:已知x 0, y 0，且1，求x y的最小值。x y错解：x A。, y A 0，且+ =1，二 x + y =十吕 x + y 戶 2 J-9 2 石=12 故(x+yhn =12 。错因：解法中两次连用均值不等式，在x y _2；石

6、 等号成立条件是X = y，在1 . 9 _2亘等号成立x y xy1 Q条件是即y =9X，取等号的条件的不一致，产生错误。因此，在利用均值不等式处理问题时，列出x y等号成立条件是解题的必要步骤，而且是检验转换是否有误的一种方法。/ 、I .19| 1Qy9 x正解：丁 x 0, y =0, =1，二 x+y=(x+y)+ =上 + +106+10=16xy(xy丿 xyy9x19当且仅当一=时，上式等号成立，又一+ =1，可得x=4, y=12时，(x+yn= 16xyx ymin变式：(1)若x, y R且2x y = 1，求1 . 1的最小值x y(2)已知a,b,x,yR且-=1，

7、求x y的最小值x y2技巧七、已知x, y为正实数，且 x 2+ 冷 =1,求x 1 + y2的最大值.分析：因条件和结论分别是二次和一次，故采用公式 同时还应化简 珂1 + y 2中y2前面的系数为2卜; 分别看成两个因式:yx + 22y22即 x、1 + y 2 =Q2 x 寸技巧八：已知a, b为正实数，2b+ ab+ a= 30,求函数分析：这是一个二元函数的最值问题，通常有两个途径， 性或基本不等式求解，对本题来说，这种途径是可行的； 件中既有和的形式，又有积的形式，不能一步到位求出最值, 的途径进行。1y= ab的最小值.一是通过消元，转化为一元函数问题二是直接用基本 不等式，

8、对本题来说， 考虑用基本不等式放缩后，再通过解不等式，再用单调因已知条存30-2b法一：a = b+1,由 a 0 得，0v bv 15230 2b 2 b + 30 bab= b+1b=b+ 12令 t= b+1, 1v t v 16, ab= 2t + 34t 31 = 2 (t + 乎)+ 34 v t +16 =8/ abw 18 y :当且仅当t= 4，即b= 3, a = 6时，等号成立。18法二：由已知得：令u= ab 则 ab w 3 2 ,30 ab = a+ 2bv a+ 2b2 2 ab 30 ab2 2 abu2 + 2 2 u 30w 0, 5 2 w u 18点评：

9、本题考查不等式a b _、ab ( a,b R )的应用、不等式的解法及运算能力；如何由已知不等2式ab二a 2b 30 ( a,bR )出发求得ab的范围，关键是寻找到a b与ab之间的关系，由此想到不等a -4- Ki式. ab ( a, b R )，这样将已知条件转换为含ab的不等式，进而解得 ab的范围.2 变式：1.已知a0, b0, ab (a + b)= 1，求a + b的最小值。2.若直角三角形周长为1,求它的面积最大值。技巧九、取平方5、已知x, y为正实数，3x+ 2y= 10,求函数 W = ；3x +事2丫解法一：若利用算术平均与平方平均之间的不等关系,a+ bw2 2

10、的最值.a 2+ b 2，本题很简单3x + 2y w 2( 3x ) 2 +(2y ) 2 = 2 3x+ 2y = 2 5解法二：条件与结论均为和的形式，设法直接用基本不等式，应通过平方化函数式为积的形式，再向“和 为定值”条件靠拢。W0, W2= 3x+ 2y+ 2 3x 2y = 10 + 2 3x 2y w 10+ ( 3x )2 ( 2y )2 = 10+ (3x+ 2y) = 20 W w 20 = 2 5变式：求函数y =2x匚代5=2x( 1 ：x ：5)的最大值。2x -1与5 2x的和为定值。解析：注意到2y= (i2x _1、5 2x)2 =4 2., (2 x -1)

11、(5 2 x)空 4 (2 x 1) (5 2 x)二 8又y 0 ,所以0 ： y乞22当且仅当2x-1=5 - 2x，即 x故 ymax。评注：本题将解析式两边平方构造出 总之，我们利用均值不等式求最值时, 极创造条件利用均值不等式。应用二：利用均值不等式证明不等式二-时取等号。2“和为定值”，为利用均值不等式创造了条件。一定要注意“一正二定三相等”，同时还要注意一些变形技巧，积y max2 2 21 .已知a, b, c为两两不相等的实数，求证：a b c ab bc ca1)正数 a, b, c 满足 a+ b+ c = 1，求证：(1 a)(1 b)(1 c) 8abc且a亠b亠c

12、=1。求证：1-1 1-1 1-18la八b 八c丿分析：不等式右边数字11 a b -,-c 2 bc1 二二 aaaa8,使我们联想到左边因式分别使用均值不等式可得三个，可由此变形入手。解：a、b、c 三 R ，a b c =1。1-1 ab c_2 bc。同理丄_1 一涯abb“ 2”连乘，又丄_1三。cc上述三个不等式两边均为正，分别相乘，得当且仅当1=b = c时取等号。3应用三：均值不等式与恒成立问题19例：已知x 0, y 0且1，求使不等式x亠y _ m恒成立的实数 m的取值范围。x y解：令 x y = k, x 0, y 0,x y 9x 9y10 y 9x1. 1k kx kykxky103,2。. k _ 16kk应用四:均值定理在比较大小中的应用:例：若a b1, P 二,lg a lg b, Q1(lg a - Ig b