单位根过程和单位根检验

1、第二章 单位根过程和单位根检验第一节 单位根过程从本章开始我们进入时间序列的非平稳分析和建模研究。前面的章节的内容主要考虑的是平稳时间序列的建模和预测问题，但对于非平稳的时间序列，只有先进行差分处理，将其转换为平稳的时间序列模型。这样会损失部分信息。本章从理论上介绍非平稳时间序列的性质，讨论非平稳时间序列数据建模的伪回归问题。非平稳序列的分析建立在维纳过程（布朗运动）和泛函中心极限定理之上。一 若干定义定义1：（1）白噪声过程（white noise，如图1）。属于平稳过程。图3是日元兑美元差分序列（收益序列），近似于白噪声序列。（2）随机游走过程（random walk，如图2）。属于非平稳

2、过程。随机游走的差分过程是平稳过程（白噪声过程）。dyt =。 图1 白噪声序列（s2=1） 图2 随机游走序列（s2=1）随机游走过程是非平稳的，这是因为： 定义2：单位根过程 随机过程是一单位根过程，若为一平稳过程，且定义3：维纳过程维纳过程(wiener process)也称为布朗运动过程(brownian motion process)。设是定义在闭区间0，1上一连续变化的随机过程，若该过程满足：(a) w(0)=0；(b) 对闭区间0，1上任意一组分割，的变化量：为相互独立的随机变量；(c) 对任意，有 则称为标准维纳过程（或标准布朗运动过程）。从定义我们可以看出，标准维纳过程是一个

3、具有正态独立增量的过程。由定义显然有： 即标准维纳过程在任意时刻t服从正态分布。将标准维纳过程推广，可得到一般维纳过程的概念。令称是方差为的维纳过程。对任意，有根据上式，显然有 利用标准维纳过程还可以构造其它的连续随机过程。例如，对于，在任意时刻t，有分布：更为重要的是：维纳过程所具有的良好性质以及它相当广泛的适用性，使得它在概率极限定理，随机积分和随机微分方程等许多理论研究和实际应用中扮演着十分重要的角色。二 有关随机游走的极限分布1、泛函中心极限定理泛函中心极限定理是对一般中心极限定理的推广。在给出泛函中心极限定理之前，我们先回顾平稳随机变量序列的中心极限定理：如果随机变量序列：独立同分布

4、，且有令，则 对于白噪声序列，由于根据中心极限定理，有 下面，将以上结论推广为泛函中心极限定理。我们根据白噪声序列，构造一新统计量：设r为闭区间0，1上的任一实数，记为不超过rn的最大整数，对于给定白噪声序列的前n项：，取其前项构造统计量： 显然，当r在闭区间0，1上变化时，是0，1上的一个阶梯函数，其具体表达式为： 将乘上，再写成如下形式：由前述中心极限定理，有另一方面，对于0，1上的任意实数r，有因此，有如下极限分布： （*） 同样，有这表明，的极限分布与一般维纳过程的分布是一致的。将上述结论整理如下，就得到泛函中心极限定理。泛函中心极限定理：设序列：独立同分布，且满足r为闭区间0，1上的

5、任一实数，给定样本，取其前项构造统计量：那么，当时，统计量有如下极限： 在(*)式中令r=1，有 与一般中心极限定理对照可以看出，一般中心极限定理是泛函中心极限定理的一个特例。2.连续映射定理 连续映射定理是研究随机时间序列极限分布的有力工具，以下将其推广到泛函形式。 连续映射定理1：设并依分布收敛于某一随机变量，记为，若为连续函数，则随机变量序列依分布收敛于随机变量，记为 连续映射定理2：设为一列随机函数，为定义在上到上的连续函数，若序列，则有 下面给出非平稳时间序列分析中经常用到的有关随机游走的极限分布，所使用的基本工具就是泛函中心极限定理。2、 有关随机游走的极限分布设序列遵从随机游动过

6、程： 其中，独立同分布，且，=0。现讨论ar(1)过程：中，独立同分布，且，现讨论当参数时，最小二乘估计 的极限分布几个重要极限在由于在，为一单位根过程，则 ，设，对于任何和给定的样本部分和 为闭区间上的阶梯函数 式中，阶梯函数在上的积分可由下图定义： 则以下极限成立：（1） ；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）。证明：（1）由前述泛函中心极限定理的结论可得。（3）图中每块小矩形的面积为，这些小矩形的面积和定义为阶梯函数在上的积分。以乘上式，有： 由于，由连续映射定理，有： （4）由于的极限为维纳过程的泛函，将代入得： 因为由上结论可知 且： 故可有 随机积分 现介绍以维纳过程作用随机测度

7、，用积分元定义的随机积分。 对任意的，由标准维纳过程的性质有：，以表示在时刻的微小的时间增量，定义： ，显然：，令：为闭区间上的函数（或随机函数），考虑和式： 其中， 为闭区间上的一组分割点，并有： ，满足条件：若，的极限存在，则称函数在闭区间对于可积，并记为： 随机积分 随机游走模型中最小二乘估计的极限分布 本节讨论随机游走模型中最小二乘估计的极限分布，其中，独立同分布，且 参数的最小二乘估计为： 由前述极限结果（2），（6）可知： ；可得：所有最小二乘估计是参数的极限分布。另外，若以乘以，令，得： 推论： （i）当，由中心极限定理得： 而时，有非标准的极限分布，故时，最小二乘估计的收敛速度

8、为，称为参数的超一致估计量。（ii）的极限是标准维纳过程的泛函，有非标准的极限分布。由于，故 的极限分布 不对称（iii）由于的极限分布非标准，传统的计算分布的临界值方法不适用，由蒙特卡洛模拟方法计算临界值。参数的t统计量的极限分布 若一阶自回归过程：平稳，参数的假设可以由统计量检验，其中为的最小二乘估计，是的方差的最小二乘估计，当为真时， 若，将的表达式代入，得：，当为真时 ，也是服从非标准的极限分布。3带常数项的随机游走过程的极限分布 在随机过程 中，若独立同分布，且对任何，则称服从带常数项的随机游走。带常数项的随机游走的增长率是一非零常数和随机干扰的和，适合描述带趋势的经济变量，如国民生

9、产总值等。以下我们考虑在这种情形下对参数和的最小二乘估计，讨论其在假设的情形下的极限分布。 由于多了一个常数项，带常数项的随机游走具有非常不同的统计性质，将往后不断迭代，得： 此处：，根据前面的极限定理可以证明： ，和的极限分布有以下特点： 它们有正态的极限分布，但在不带常数项的情形下，的分布是非标准和非对称的； （2）和都为一致的估计量，但有不同的收敛速度； （3）的收敛速度为，而在不带常数项的情形下，的收敛速度为三、有关单位根过程的极限分布 与随机游走比较，单位根过程更具有一般性，其中是一平稳过程，有无穷阶的表示形式： 其中，为独立同分布，且为滞后算子，为无穷阶的滞后多项式，其系数满足条件

10、： 大多数常见的平稳过程都有这种表示形式。下面将参数和的最小二乘估计及极限分布推广到一般的单位根过程，先介绍分解引理。引理：分解设为一平稳过程，可表示为，其中，为独立同分布，且为滞后算子，为无穷阶的滞后多项式，其系数满足条件： 则的部分和有分解： ， 其中由分解引理，平稳过程的部分和可分解为两部分，其中以概率与同阶（）；另一部分以概率与常数同阶（），这样如以乘，并令，只有第一部分有非退化的极限分布，第二部分以概率趋向于零。利用分解引理，可将泛函中心极限定理推广到一般的单位根过程。1、 一般形式的泛函中心极限定理设序列：为一平稳过程，它有无穷阶ma表示形式： 其系数满足条件： 独立同分布，且满足

11、r为闭区间0，1上的任一实数，记，构造如下统计量： 那么，当时，统计量有如下极限： 根据该定理，可以得到有关单位根过程的极限分布。2、有关单位根过程的极限分布假设序列遵从单位根过程： (6.1.5)其中平稳过程满足一般形式泛函中心极限定理中的条件。令 若，那么，下列极限成立：（1） ；（2） ；（3） ;（4） ;（5） ;（6） ；（7） ；（8） ;（9） ；（10） .上述结论的证明较为繁琐，在此从略。3时间序列的去势问题 图4 随机趋势非平稳序列（m = 0.1） 图5 随机趋势非平稳序列（m = -0.1）（1）随机趋势非平稳过程（stochastic trend process）或

12、差分平稳过程（difference- stationary process）、有漂移项的非平稳过程（non-stationary process with drift）。见图4和5。属于非平稳过程。yt = m + yt-1 + ut , ut iid(0, s2)迭代变换，yt = m + (m + yt-2 + ut-1) + ut = = y0 + m t += m t +因为随机趋势过程是由一个确定性时间趋势mt和一个随机游走组合而成，所以随机趋势过程由确定性时间趋势所主导，表现出很强的趋势性。yt围绕着mt变化，但不会回到mt。趋势的方向完全由m的符号决定。m为正时，趋势向上（见图5

13、）；m为负时，趋势向下（见图6）。对yt做一阶差分，dyt = m + ut，为平稳过程。差分平稳过程由此得名。e(dyt) = m。当yt表示对数变量时，e(dyt)表示平均增长率。随机趋势非平稳过程的差分过程是平稳过程。dyt = m + ut 。 图6 退势平稳序列（m =0, a=0.1） 图8 确定性趋势非平稳序列（m =0.1, a=0.1）（2）趋势平稳过程（trend-stationary process）或退势平稳过程（见图7）。属于非平稳过程。 yt = m + a t + ut, ut iid(0, s2)因为该过程是由确定性趋势m + a t和平稳随机过程ut组成，所以

14、称为趋势平稳过程。趋势平稳过程由确定性时间趋势t所主导。减去确定性时间趋势项at之后，过程变为平稳过程，所以也称退势平稳过程。趋势平稳过程的差分过程是过度差分过程。dyt = a + ut - ut-1 。所以应该用退势的方法获得平稳过程。yt - a t = m + ut。（3）确定性趋势非平稳过程（non-stationary process with deterministic trend）（如图8）。属于非平稳过程。 yt = m + a t + yt-1+ ut, ut iid(0, s2)确定性趋势非平稳过程中含有随机趋势、确定性趋势并含有单位根成分。过程由确定性时间趋势所主导。减去确定性时间趋势项之后，过程仍是非平稳过程。这种过程的时间趋势性比随机趋势非平稳过程和退势平稳过程更强烈、明显。 确定性趋势非平稳过程的差分过程是退势平稳过程，dyt = m + a t + ut。确定性趋势非平稳过程的退势过程是非平稳过程，yt - a t = m + yt-1+ ut。只有既差分又退势才能得到平稳过程，dyt - a t = m + ut。图9 对数的中国国民收入序列 图10 中国人口序列图9是对数的中国国民收入序列，近似于随机趋势非平稳序列和退势平稳序列。图10是中国人口序列，近似于确定