可靠度的例题和习题

1、结构可靠性分析例题和习题0.05,0.04,0.03，假设各杆破坏F1. 图示桁架在荷载 H乍用下，杆a,b,c的破坏概率分别为 是统计独立的，求桁架的破坏概率。解：用A, B, C分别表示杆a,b,c各自破坏的事件。有P(A)=0.05,P(B)=0.04,P(C)=0.03桁架破坏概率P(E)=P(A B C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(BC)-P(AC)+P(ABC)因为A，B，Ct目互独立，有P(AB)=P(A)P(B)=0.002,P(BC)=0.0012,P(AC)=0.0015,P(ABC)=0.00006 所以桁架破坏概率 P(E)=0.11536或者 P(

2、E)=1-P(E)=1-P( ABC)P( A B C)=P( A)P( B)P( C)=(1-0.05)(1-0.04)(1-0.03)=0.88464即得:P(E)=1-0.88464=0.115362. 由二杆组成的系统如图。若杆 1，杆2的破坏概率都是0.03，求系统的破坏概率。解：杆1,杆2的破坏事件分别记为 A1 , A。有P(E)=P(A 1 A2)=P(A 1)+P(A2)-P(A 1A2)=0.03+0.03-P(A 2 | A1)P(A 1) 可见，P (E)取决于条件概率 P(A2 | A1)，表示二杆破坏的相关性。若A1, A2相互独立，P(A2 | A1)=P(A2)

3、,SP(E)=0.06-0.03X 0.03=0.0591若 A1 , A2完全相关，P(A2 | A1)=1 , P(E)=0.06-1 X 0.03=0.03一般可有 0.03 P(E) 0.05913. 某提升机由电机、减速器、卷筒三部分组成，可靠度分别为0.98 , 0.94 , 0.92。求提升机(视为三部分串联系统)的可靠度。4. 钢制拉杆强度r-N(600,48)N/mm 2,试计算1)荷载S=450N/mn2时的失效概率。2)可靠度为R=0.99时，拉杆可承受的最大应力Smax (Pf=0.00089,S max=489N/mn?)载荷 F N(80000,1200)N，求其伸

4、长(=FL/AE)。( -(1.83,0.084)mm)注：对于独立正态变量有Z=XY时,Z=X/Y 时，z= x/ y，Z= x y，z=(x2Z=(x2 y2+ y2 x2+ x2y2+ y2 x2)/(y2)1/2；y2+ y2) 1/2/y-7. 某杆半径 r,( r=30mm, r=1.5mm)，求截面积 A的 A和 A (2833,283)mm8. 拉杆直径 D( D=30mm, D=0.3mm),材料屈服限 s( s=290N/mn?, s=52N/mm?)，求其所 能承受的拉力 F( F, F)。(204990,18140)Ny=f( 1, 2,n)+(xii)XiL i(Xi

5、i)(Xj取线性近似有：y f( 1, 2,，n);y2n (Xi)2Xii注：对于函数y=f(x i,X2，,x n),在均值点作泰勒级数展开有9.在外力S乍用下，线弹性杆的应变能为 试求U的概率密度。(假设j)2yXi Xj xXj解：FU=CS2, S= . U / C.U(u)=P(U u)=P(CS2U(u)=P(S 2 u/C)=P(- 1U(u)=F U (u)= 2JuC1U=SL/2AE=Const)L/2=S 2 L/2AE，若S服从标准正态分布,u)=P(S2 u/C)(U /C S U /C)=注意0 u).u /CUTCf(S)ds= ( uC) ( uC)(、uC)

6、(uC)、2 uC *u2C注意(x)x2/2)10.设随机变量X的概率密度函数为f (X)x/15002(3000x)/1500200 x 15001500 x 3000x 0,x3000求其数学期望和方差。1500-3000解：E(X)= xf (x)dx o x2 /15002dx何。(3000 x)x/15002dx=15002Var(X)= x E(x) f (x)dx=- + 11.某结构支承在A, B, C三个支点上。假定支点的沉降量A B,C都是独立正态变量，均值分别为2,2.5,和3cm,变异系数分别为0.2,0.2,和0.25。问1 )最大沉降量超过4cm的概率是多少？2

7、)如果支点A和 B分别沉降了 2.5和3.5cm，求最大沉降差不超过 1.5cm的概率。解：1)P( ma)4)=1-p( max 4)=1-P( A 4 B 4 C 4)=1-P( A 4)P( b 4)P( C 4)1r (Xi 亍1n /1n/2_1 n、2exp2 22) exp2(Xi2i 1ln1L nln (1)nln 21n2(Xi)22 2i 1In L1In Ln12(Xi),22 2 2 4(为)nLi 1取对数求偏导12(Xi)0)2解似然方程组(Xi)2得到(Xi13.设某车间生产的螺栓直径刈服从正态分布,径为 14.9，15.1，14.9，Xi(XiX)2=0.05

8、，某日随机抽取六件产品量得直14.8， 15.2， 15.1mm,求均值的95%置信区间。解：样本均值为X = Xi /n=15mm.由 =1-0.95=0.05,查得 K 尼=1.96则均值的95%置信区间为XK /2 n/2、nn=6,= 0.05=1-(4-2)/2X 0.2(4-2.5)/2.5X 0.2(4-3)/3 X 0.25=1-(5)(3)(1.33)=1-1 X 0.9986 X 0.9082=0.09312)P(max 1.5)=P(2C 4)=(4-3)/3 X 0.25)-(2-3)/3 X 0.25)=(1.33)-(-1.33)=0.9082-0.0918=0.8

9、16412.已知服从正态分布N( , 2),x1,x 2, - ,xn为 的一组样本观察值，试用最大似然法求，2的估计量。解：似然函数为即14.8215.18 14. 已知M10标准螺栓静强度的标准差=21.5 N/mm2,今测得40个螺栓的强度样本均值为x=511 N/mm2,求置信度为95%的螺栓强度置信区间。(504.34 , 517.66 )22.0 , 18.5 ,15. 设某混凝土抗压强度服从正态分布，测得六个立方试块的抗压强度为18.0, 21.5 , 19.0 , 21.0MPa,求母体均值 的95%置信区间。(未知方差)解:由=1-0.95=0.05 ,/2=0.025 ;n

10、-1=5，查得 t 0.025 (5)=2.571样本均值为x = Xi / n=20MPa样本方差为s 2= (x i - X) 2/(n-1)=2.9则均值的95%置信区间为X t/2.n18.21321.787 16. 由材料试验测得25个钢试件屈服极限均值为X=667 N/mm2, s=27.5N/mm2,求置信度为95%的材料屈服极限的置信区间。(655.65,678.35N/mm2)17. 某零件的应力和强度都服从对数正态分布，已知s=60MPa, s=20MPa; r=100MPa,r=10MPa 求零件的可靠度。(=1.64, R=0.9495)18. 拉杆直径 D,( D=3

11、0mm, D=3mn)，屈服强度 r ( r =290N/mm?, r =25N/mn?)，拉 力F=105N,在功能函数为1)Z=( d2/4)r-F;2)Z=r-4F/d2二种情况下，试用中心点法求其可靠指标和可靠度。(0.9906 ; 0.9999)19. 某钢梁承受确定性弯矩M=128.8kN.m,抗弯截面模量 W N(v=884.9 X 10-6 m3,V v=0.05)；钢材强度f服从对数正态分布(f =262MPa,Vf=0.1)。试用中心点法和验 算点法求可靠指标及梁的失效概率Pf。解：中心点法1)由抗力写功能函数为Z=fW-M=fW-128800(N.m)Zf -128800

12、=262X 106X884.9 X10-6-128800=103043Z 2 W 2 2. 2：(心Vf2)=25920.9才 Z=3.9752)由应力写功能函数为Z=f-M/W (MPa)Z f-M/ v=262-0.1288/(884.9 X 10-6)=116.45MPaZ 2( M )2 2z 、 f(2)w、2fVf2 (也)S=27.19WZ Z=4.283验算点法W为正态变量w=884.9 X 10-6n3,v=Vwv=44.245 X10-6 m3,1 *f 为对数正态变量f =f (1-l nf+ln 1)=f (6.5634-1nf) (MPa)1 Vf2f =f* . I

13、n(1 V；)=0.09975f初值取f = f, W = W =0. 迭代结果如下表次数Xi*X i1 f1 fi10f262.00 X 10626.13 X260.70 X-0.8954.2694.269W-6884.90 X 1044.25 X884.90 X-0.44624.269 1160.86 X 10616.05 X238.53 X-0.8035.1610.892W-6800.66 X 1044.25 X884.90 X-0.59635.161 1172.01 X 10617.16 X243.54 X-0.8165.1690.008W-6748.80 X 1044.25 X884

14、.90 X-0.57920. 某钢制薄壁容器筒体，筒体壁厚t,( t =2.6mm,t =0.043mm);半径r,( r =280mmr=4.7mm);工作压力p,( p=7.84MPa, p=0.133MPa);轴向焊缝处有一表面裂纹，深度 a=1.3 0.006mm,焊缝断裂韧性 K1c,( K1c=1951N/mn3/2 , K1c=58.8N/mm3/2),试计算焊缝强度的可靠性。( 当r/t很大时，有Ks、a =(pr/t). a,且由3原则知a=0.002)(R=0.9992)21.某钢梁承受弯矩 M N( M=1300kN.cm, M=91kN.cm),抗弯截面模量 W N(诟

15、54.72, V=2.74)cm 3,钢材强度 f-N(求可靠指标及梁的失效概率f=380MPa, f=30.4MPa),极限状态方程为 Z=fW-M=0,P f。(=3.8，解:1)由极限状态方程求得(注意单位统一,Pf =1- ( )=7.235 X 10-5 )1MPa=100N.cm/cm.)*W=-2.74ffP*g=-30.4W,-飞M =910P*V=-2.74f */ _(2.74f*)2 (30.4W*)2 9102.I*9*99f=-30.4W*/, (2.74f )2(30.4W )2 9102-(a)| * 2 * 2 21=910/ , (2.74 f )(30.4W

16、 )910设计验算点为：W= W+ W W, f)假定初值为 W*0=54.72 ,再将(b)之F*代入极限状态方程得：f*VV-M*=(380-23.378)(54.72-1.32)-(13000+382.837解上述方程得：=3.81,(另一根=66.3舍去)若 =3.81，由(b)有f*1=209.93,W*1=49.69,M =14458.61,与初值相差很大。 )假设 f *0=209.93,W*0=49.69,M *0=14458.61，作第二次迭代得：W=-0.412,f =-0.781,f*=380-23.742, W *=54.72-1.129, M *=13000+427.

17、882 ,*f, M = M+ M*0=380，代入(a),得M=0.4702(b)=0代入极限状态方程得=3.79，由(b)有f 2=290.02, W 2=50.44, M2=14621.67。4 )假设 f *0=290.02, W *0=50.44, M *0=14621.67 ;作第二次迭代得：=3.80，由(b)有：f *=289.23, W *=50.51, M *=14608.3 ;迭代收敛。5 )失效概率 Pf =1- ( )=7.235 X 10-5.22. 某拉杆承受的轴向拉力 叱厂服从正态分布，NG=142.9kN,V nG=0.07.截面抗力R也为正态分布，R=kRR

18、=1.08Rk, V氏0.08钢材强度标准值 f yk=240MPa,设计可靠指标=3.2,试确定拉杆所需的截面面积。解极限状态方程为 Z=R-N g=0,对于正态变量、线性方程有：R NG . ( rVr)2 ( ngVng )2 =0解得 R=204.18kN则抗力标准值为： R k= R/k R=204.18/1.08=189.1kN 拉杆截面积为： A=R k/f yk=788mm?.23. 钢筋混凝土受压短柱，极限状态方程为Z=g(R,NGNL)=R-NGNL=0.抗力R服从对数正态分布，R=4560kN, R=729.6kN.恒载 NG-N( NG=1159.1kN, NG=81.

19、1kN),活载 N_服从极值1型分布，NL=765.5kN, NL=222kN,求可靠指标。解：1)当量正态化抗力 R为对数正态，有 |nr=1 n r R 2 =8.4124,|nr=(In(1 V,) =0.159Vr2*I*r=R(1-I nR + |nR),r =R lnR,若取 R*0= R=4560, 则 R =4503, R =725活载 Nl为极值 1 型，有 =0.78 NL=172.9, k=NL-0.5772 =665.6若取 N*L0= nl=765.5贝U:N_；N*L)=-exp(叫k)03)e=0.001851*NL(N L)=exp-exp(-x-k/*F NL

20、(N L)/fnl = -1 n_=N_*-)=0.5704*NL(N l)=212.2NL =727.72)计算公式及第一次迭代g=1g=-1g =-1RP*NgP*NlIp*R=-R / JR22NgN =-0.9543NG=nGJ r22N GN =0.10675NL=nl/JT2NgN2 =0.2793N L-1 Fnl(n*l)因为是线性方程,故有:=（R- NG NL）/p 门 =3.443 验算点为：R *= R + R r =2120.7NG = NGh NG N（=1188.9*II叱=NL + NL NL =931.783）第二次迭代：（取第一次结果为验算点初值）I*I*r

21、=R（1-I nR + In R ）=3717.8, R =R “ R=337.19* *fnN l）=0.001, F nN l）=0.80786NL= -1 F NL（N L）f NL（N L）=273.7 NL =nL -1 F NL（n L）NL =694.2R=-0.76322,NG=0.18357,NL=0.61951;=4.22验算点为：R *=2631.8, N G* =1221.9, NL*=1410。4 ）五次迭代后的结果为：=3.96, P f =3.747 X 10-5。R *=3009.8, N 6=1194.1, N L* =1815.624. 钢筋混凝土受压短柱，

22、极限状态方程为Z=g(R,NGNL)=R-NGNL=O。抗力R服从对数正态分布，VR=0.17 ;恒载Ng-N( NG=636kN,VNG=0.07),活载NL服从极值1型分布，NL=840kN,VNL=0.29,求可靠指标 =3.7时的截面抗力均值r解：恒、活载标准差分别为：nG3 nGNG=44.52,nL= NlVnL=243.6当量正态化(公式同前题)。对于极值 1 型荷载 NL,有： =0.78 nl=190.08, k=NL-0.5772 =730.37。1 )第一次计算假定初值为 NL = NL=840, N G= NG=636.有：f NL（N*L）=0.001686, FnL

23、（N*L）=0.57037NL = -1 FnL（N L）f NL（N l）=232.9 -1 F NL（N l） NL =798.66* * * 一,NL =1_ -由极限状态方程得r =R lnR=R V1 n（1VR2） =249.13g=1 g=-1 gRp*Ngp*NlR=-R =NG +NL =1476,且有：=-1p*R / . r2訂n2l =-0.7243NG., r22ngn2l =0.1294NL / -舄訂=0.6772N G = NG NG N（=657.32（=3.7）*IINGNL5验算点为：NL = NL + NL NL =13822*= Ng*+ NL* =2

24、039.52 )以后各次迭代结果迭代次数变量验算点 初值X* f x(x )*Fx(x )1x1xx验算点*X*RR1476.0249.13-0.72432039.5563.51Ng636.044.52636.00.1294657.32叱840.00.0016860.57037232.9798.660.67721382.2R2039.5344.2-0.61982478.9439.42Ng657.3244.52636.00.0802649.2叱1382.20.00016480.9682433.3578.430.78051829.7R2478.9418.42-0.58992607.6128.73N

25、g649.244.52636.00.06277646.34Nl1829.70.000016020.9970570.97260.670.80501961.3R2607.6440.14-0.58602620.3912.794ng646.3444.52636.00.05927645.76Nl1961.30.000008030.9985607.03159.630.80811974.63R2620.39442.3-0.58602620.950.565ng645.7644.52636.00.05898645.71Nl1974.630.000007510.9986610.02151.30.80811975.

26、24注意到抗力R为对数正态，有:*II3)结果为：R = R + R R =2620.95 ;lnR=ln【1Vr2)，I*-r =R (1-lnR +ln r=R*.I n(1 V,)故得：扌-0.586(由表中结果知)。r=R/TQF exp(-R、ln(1 V,)=3833.5kN式中，R* =2620.95, V r=0.17,=0.17,25. 悬臂木梁跨长 L=3.6m,允许挠度为1/200。允许失效概率 Pf =0.115( =1.2).已知均布载荷q为极值1型变量，q=3kN/m, V q=0.17,木料弹性模量 E N( E=17000MPa,V=0.21),截面惯性矩I N

27、( I未知，V =0.20)，试确定计算公式q-q* L4/8E * Iq + q* * *=0I =q1 *q , E = E+ E*L/8E1E,* 1 = I+ I I =|(1 +I V|)I =*I /(1+ Ii vi ),q*(q(E*e)2(q* I)2* * *q=:q/ ,E=-(q /e ) E5I=-(q /I ) |/ .=L/200=0.018m极值 1 型变量 q当量正态化，有 =0.78 q=0.78 X 3000 X 0.17=397.8(N/m),解：功能函数为 Z= -qL4/8EIk=q-0.5772=2770(N/m)*1 r zqk(q k)q(q

28、)=exp()eFq(q )=exp-exp(-q-k/q= -1【Fq(q*)/fq(q ),q =q - -l* Fq(q ) q .迭代求解结果为1 =3.0675 X 10-4 n4=30675cm4.26.图中结构体系由二拉杆组成，各杆抗力F为随机变量，密度函数如图。承受拉力S=)1.1kN,Vs=.求系统破坏概率。解设二杆统计独立，各杆抗力分布函数为FR：r)=(r-1)/2 1r 3破坏概率为：Pf1 =FR：r=1.1)=0.05系统破坏概率为Pf =1- (1-P fi )=0.0975(上限)若设二杆完全相关，则系统破坏概率为Pf =max(Pfi )=0.05 (下限)2

29、7.图中所示桁架之各杆失效概率为：Pf1 =Pf2 =0.002,P f3 =Pf4=0.0012,P f5 =0.003，假定各杆独立，求桁架的破坏概率Pf。解 桁架是静定的，为串联系统,任一杆破坏即为系统破坏。故系统破坏概率为f=1-(1-P f, )=1-(100.02)2(1-0.0012) 2X 0.003=0.0094由于各杆破坏概率很小，系统破坏概率可近似为P f =1- (1-Pfi )% =2 X 0.002+2 X 0.0012+0.003=0.009428.由三根钢丝组成的超静定系统如图。拉力S,S=60kN,变异系数Vs=0.25。单根钢丝抗拉力为R,R=37.5kN，

30、变异系数VFF0.15.假定R, S均服从对数正态分布，求系统损坏概率及其中一根钢丝拉断后的损坏概率。解：假定拉力S由三根钢丝均匀承受,Si=20kN, VS,=0.25每根钢丝的破坏概率为：Pfi =1- ( fi )=1- (ln R ln Si. VrVSi )=1-(2.16)=1-0.9846=0.0154体系的损坏概率为：0.0154Ff 3X 0.0154=0.0462如果体系中一根钢丝已断，剩余二根钢丝的荷载为Si=30kN, VS,=0.25此时，钢丝的破坏概率为:P fi =1- ( fi )=1- (In r In sJVS2)=1-(0.77)=1-0.7794=0.2

31、206由剩余二根钢丝组成的体系的损坏概率为：29.图示体系中若已知0.2206Pf 1-(1-0.2206) 2=0.3925( F不能视为小量，故用此式)V丈0.15 ;假定RS均服从对数正态分布，且各钢丝的破坏是独立且同分布的,S=140kN, VS=0.25 ;单根钢丝抗拉力为 R,且 R=88.5kN，试讨论下述二种情况下系统的破坏模式及相应的系统破坏概率。1 )钢丝为冷拔钢丝，脆性材料，R为抗拉强度。2 )钢丝为理想塑性材料，R为屈服强度。解：1)体系有六种破坏模式，即钢丝破坏次序为1 231322132 31321312任何一种模式的破坏都造成体系的破坏，故体系是这六种破坏模式的串联。第一根钢丝