人教版高中数学总复习[知识梳理直线的方程和两条直线的位置关系

1、精品文档用心整理直线的方程和两条直线的位置关系【考纲要求】1、在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位置的几何要素；2、理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式；3、能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直；）4、掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式（点斜式、两点式及一般式，了解斜截式与一次函数的关系；5、能用解方程组的方法求两直线的交点坐标；6、掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离。【知识网络】直线的倾斜角和斜率直线的方程（五种形式）直线平行与垂直两条直线的位置关系距离对称问题中心对称轴对称【考点梳理】考点一：直线的倾斜

2、角与斜率1直线的倾斜角一条直线l向上的方向与x轴的正方向所成的最小正角a叫做这条直线的倾斜角（如图）：（要点诠释：1）当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为00.（2）直线l的倾斜角a的取值范围是：00a1800（或0a0时，a(0,900)；当k0时，a(900,1800)。4过两点直线的斜率已知两点a(x,y)、b(x,y)的直线l1122当x=x，即l与x垂直时，直线l的斜率不存在；12当xx，即l与x不垂直时，直线l的斜率为：k=12y-y21x-x21(x-x0)。12考点二：直线的方程1、点斜式：y-y=k(x-x)（斜率存在）00资料来源于网络仅供免费交流使用精品文档用心整

3、理2、斜截式：y=kx+b（斜率存在）3、两点式：y-y1y-y21x-x1=（直线不平行于坐标轴）x-x214、截距式：xy+=1（横纵截距存在且不为零）ab5、一般式：ax+by+c=0（a、b不同时为零）要点诠释：前四种方程的应用是有限制条件的，用直线方程的一般形式解题可避免因考虑不周而导致失误。考点三：两直线的位置关系1特殊情况下的两直线平行与垂直(1)当两条直线的斜率都不存在时，两直线的倾斜角都为900，互相平行；(2)当一条直线的斜率不存在（倾斜角为900），另一条直线的倾斜角为00时，两直线互相垂直。2斜率都存在时两直线的平行：（1）已知直线l:y=kx+b和l:y=kx+b，则

4、l/lk=k且bb111222121212（2）已知直线l：ax+by+c=0和l：ax+by+c=0(abc0,abc0)，则11112222111222alla1=122b1b2c1c2王新敞要点诠释：对于一般式方程表示的直线的位置的判定，可以先将方程转化为斜截式形式，再作判定。3斜率都存在时两直线的垂直：（1）已知直线l:y=kx+b和l:y=kx+b，则llkk=-1；1112221212（2）已知直线l：ax+by+c=0和l：ax+by+c=0，则11112222llaa+bb=01212124两条直线是否相交的判断两条直线是否有交点，就要看这两条直线方程所组成的方程组：12ax+

5、by+c=011ax+by+c=022是否有唯一解。5点到直线距离公式：点p(x,y)到直线l:ax+by+c=0的距离为：d=00ax+by+c00a2+b26两平行线间的距离公式已知两条平行直线l和l的一般式方程为l：ax+by+c=0，l：ax+by+c=0，则l与l的12112212资料来源于网络仅供免费交流使用a2+b2。设点p(x,y)关于直线y=kx+b的对称点为p(x,y)，则有，求出x、y。y+y0=kx0+x+b精品文档用心整理距离为d=c1-c2要点诠释：一般在其中一条直线l上随意地取一点m，再求出点m到另一条直线l的距离即可。12考点四：对称问题1点关于点成中心对称点关

6、于点成中心对称的对称中心恰是这两点为端点的线段的中点，因此中心对称的问题是线段中点坐标公式的应用问题。设p(x,y)，对称中心为a(a,b)，则p关于a的对称点为p(2a-x,2b-y)。00002点关于直线成轴对称。由轴对称定义知，对称轴即为两对称点连线的“垂直平分线”利用“垂直”平分”这两个条件建立方程组，就可求出对称点的坐标，一般情形如下：y-y0k=-1x-x00022特殊地，点p(x,y)关于直线x=a的对称点为p(2a-x,y)；点p(x,y)关于直线y=b的对称000000点为p(x,2b-y)。003曲线关于点、曲线关于直线的中心或轴对称。一般是转化为点的中心对称或轴对称（这里

7、既可选特殊点，也可选任意点实施转化）4两点关于点对称、两点关于直线对称的常见结论：（1）点(x,y)关于x轴的对称点为(x,-y)；（2）点(x,y)关于y轴的对称点为(-x,y)；（3）点(x,y)关于原点的对称点为(-x,-y)；（4）点(x,y)关于直线x-y=0的对称点为(y,x)；（5）点(x,y)关于直线x+y=0的对称点为(-y,-x)。【典型例题】类型一：直线的倾斜角与斜率例1直线xcosa+3y+2=0的倾斜角的范围是appp5p,6226b0,p,p65p6c0,5pp5pd666,资料来源于网络仅供免费交流使用精品文档用心整理【思路点拨】已知条件中直线xcosa+3y+2

8、=0中的角a并不是这条直线的倾斜角.【答案】b【解析】由直线xcosa+3y+2=0，所以直线的斜率为k=-cosa3设直线的倾斜角为b，则tanb=-cosa3又因为-3cosa3-33333tanb，即-，33所以b0,p5p,p66【总结升华】本题要求正确理解直线倾斜角的概念以及倾斜角与斜率的关系。【举一反三】1【变式】已知动直线y=kx+2k+1与直线l:y=-x+2的交点在第一象限，求k的取值范围。21,【答案】：由题意可知，动直线l过定点c（-2，）ya0,2直线l与x轴，y轴分别交于点（4，），b（0，）lbac=bc=k=-,k=,由图可知kkk时，动直线与直线l交点在第一象限

9、,acbc0-112-114-(-2)60-(-2)2coax11-k为所求.62类型二：两直线的位置关系2)2)22例2四边形abcd的顶点为a(2，+22)，b(-2，c(0，-22)，d(4，试判断四边形abcd的形状【思路点拨】证明一个四边形为矩形，我们往往先证明这个四边形为平行四边形，然后再证明平行四边形的一个角为直角.【解析】ab边所在直线的斜率k2ab=2，cd边所在直线的斜率k2cd=2，bc边所在直线的斜率kda边所在直线的斜率kbcda=-2，=-2资料来源于网络仅供免费交流使用精品文档用心整理kab=kcd，kbc=k，abcd，bcda，即四边形abcd为平行四边形da

10、又kabk2bc=2(-2)=-1，abbc，即四边形abcd为矩形【答案】方法一：当a=1时，l1:x=3,l2:y=2,l1l2当a=-时，l1:y=x+,l2:x=-,显然两直线不垂直当a1且a-时，l1:y=,l2:y=【总结升华】证明不重和的的两直线平行，只需要他们的斜率相等，证明垂直，只需要他们斜率的乘积为-1.【举一反三】【变式1】直线l1:ax+(1-a)y=3与直线l2:(a-1)x+(2a+3)y=2互相垂直，求a的值。5336425553a31-a2x-x+2a-1a-12a+32a+3,k2=-1，解得a=-3k1=a1-aa1-aa-12a+3a-12a+3当a=1或

11、a=-3时，l1l2。方法二：a(a-1)+(1-a)(2a+3)=0,解得a=1或a=-3当a=1或a=-3时，l1l2。类型三：直线的方程例3过点p(2，1)作直线l与x轴、y轴正半轴交于a、b两点，求aob面积的最小值及此时直线l的方程.【思路点拨】因直线l已经过定点p(2，1)，只缺斜率，可先设出直线l的点斜式方程，且易知k0且1-2k012k-11111(1-2k)=(-4k-+4)2(-4k)-+4=4当且仅当-4k=-1故k0，b0，点p(2，1)在直线l上，故21212+=1，由均值不等式:1=+2ababab资料来源于网络仅供免费交流使用得ab8,当且仅当=2+1精品文档用心

12、整理2111xy=，即a=4，b=2时取等号，且s=ab=4，此时l方程为+=1,即:x+2y-4=0.ab2242解法三：如图，过p(2，1)作x轴与y轴的垂线pm、pn，垂足分别为m、n，设q=pam=bpn，则aob面积s=s矩形ompnpambpn11cotq+2tanq2+2cotq2tanq22cotq=2tanq,即tanq=4，当且仅当1122时，aobxy-=1【答案】由题设，设所求直线方程为+=1，由已知条件得:ab|a|=|b|1有最小值4，故此时直线l的方程为y-1=-(x-2)，即:x+2y-4=0.2.【总结升华】解法一与解法二选取了直线方程的不同形式，解法三考虑到

13、图形的直观性，利用了形数结合的思想，体现了解题的“灵活性”.已知直线过一点时，常设其点斜式方程，但需注意斜率不存在的直线不能用点斜式表示，从而使用点斜式或斜截式方程时，要考虑斜率不存在的情况，以免丢解而直线在坐标轴上的截距，可正、可负，也可以为零，不能与距离混为一谈，注意如何由直线方程求其在坐标轴上的截距.【举一反三】【变式1】求通过点(1，-2)，且与两坐标轴围成的图形是等腰直角三角形的直线；12ab解之得:a=-1a=3或b=-1b=-3，故所求直线方程为:x+y+1=0或x-y-3=0.【变式2】直线l过点p(-1,4)，且在两轴上的截距之和为零，求l的方程。【答案】（1）若直线l过原点

14、，设直线l：y=kx,因为直线l过点p(-1,4)，代入上式得4=-1k，解得k=-4所以直线l的方程为；y=-4x.（2）若直线l在两轴上截距不为零，设l的方程为：xy+=1，a-a将p(-1,4)代入上式得：-14+=1，解得a=-5，a-axy+=1，即x-y+5=0,-55由（1）、（2）知：直线l的方程为y=-4x或x-y+5=0.类型三：对称问题例4求直线a:2x+y-4=0关于直线l:3x+4y-1=0对称的直线b的方程。【思路点拨】1.曲线的对称通常转化为点的中心对称或轴对称（这里既可选特殊点，也可选任意点实施转化）。2.由平面几何知识可知，若a与b关于l对称，则应具有下列几何

15、性质：（1）若点a在直线a上，则a点关于l的对称点b一定在直线b上，即l为线段ab的垂直平分线资料来源于网络仅供免费交流使用x+2y+0y0-0=4则，解得b(,-)，25y-y=4y=-24x-7y+8精品文档用心整理（abl，ab的中点在l上）；（2）设p(x,y)是所求直线b上一点，则p关于l的对称点p(x,y)的坐标适合直线a的方程；（3）若a与b相交，则l过a与b交点，只需求出交点和一个对称点，利用两点式就可以求出答案；若a/l，则b/l/a，三条直线的斜率相等，只需再求出一个对称点，利用点斜式可以求出答案。【解析】方法一：在直线a:2x+y-4=0上取一点a(2,0)，设a点于l的

16、对称点b(x,y)，0030+40-1=0224855x0-232x+y-4=0由，解得交点d(3,-2)。3x+4y-1=0由两点式可求得直线b的方程：2x+11y+16=0。方法二：设p(x,y)是所求直线b上任一点；设p关于l的对称点p(x,y)，x+xy+y7x-24y+63+4-1=0x=22则有：，解得x-x325p(x,y)在直线a:2x+y-4=0上，7x-24y+6-24x-7y+82+-4=0，整理得2x+11y+16=0，2525故所求直线b的方程：2x+11y+16=0。【总结升华】1.对称问题是高考的热点之一，一般包括点关于点对称，直线关于点对称，点关于直线对称，直线

17、关于直线对称，要掌握通解通法和记忆一些常用结论。2.求一条直线关于已知直线的对称直线，基本方法之一在直线上任取两点求其对称点，方法之二是利用相关点伴随曲线方法解决，其中方法2还可以推广，如改变直线a为二次曲线c，仍可用此方法解决。【举一反三】【变式】由点p（2，3）发出的光线射到直线x+y=-1上，反射后过点q（1，1），则反射光线所在直线的一般方程为_【答案】：4x-5y+1=0解析：设点p关于直线x+y=-1的对称点p(x,y)，则p(x,y)满足条件00002x+2y+3=-1,0+02y-30=1,x0-2解得p(-4,-3)，由直线方程的两点式可求得反射光线所在直线方程为y-1=即4x-5y+1=0类型五：综合应用-3-1-4-1(x-1)，例5.（2014秋渝中区校级期中）已知点a（1，1），b（2，2），c（4，0），d（cd垂直平分线上，求：资料来源于网络仅供免费交流使用，），点p在线段精品文档用心整理（1）线段cd垂直平分线方程；（2）|pa|2+|pb|2取得最小值时p点的坐标【解析】（1）由c（4，0），d（，），得线段cd的中点m，线段cd的垂直平分线的斜率为，线段cd垂直平分线方程为：，即x2y=0；（2）设p（2t，t），则）|pa|2+|pb|2=（2t1）2+（t1）2+（2t2）2+（t2）2=10t218t+10当t=时，|pa|