人教版高中数学【选修2-1】[知识点整理及重点题型梳理]_充分条件与必要条件_提高

1、精品文档用心整理人教版高中数学选修2-1知识点梳理重点题型（常考知识点）巩固练习充分条件与必要条件编稿：张希勇审稿：李霞【学习目标】1理解充分条件、必要条件、充要条件的定义；2会求某些简单问题成立的充分条件、必要条件、充要条件；3会应用充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件表达命题之间的关系.4.能够利用命题之间的关系判定充要关系或进行充要性的证明.【要点梳理】要点一、充分条件与必要条件充要条件的概念/符号pq与pq的含义/“若p，则q”为真命题，记作：pq；“若p，则q”为假命题，记作：pq.充分条件、必要条件与充要条件若pq，称p是q的充分条件，q是p的必要条件.如

2、果既有pq，又有qp，就记作pq，这时p是q的充分必要条件，称p是q的充要条件.要点诠释：对pq的理解：指当p成立时，q一定成立，即由p通过推理可以得到q.“若p，则q”为真命题；p是q的充分条件；q是p的必要条件以上三种形式均为“pq”这一逻辑关系的表达.要点二、充分条件、必要条件与充要条件的判断从逻辑推理关系看命题“若p，则q”，其条件p与结论q之间的逻辑关系/若pq，但qp，则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件；若pq，但qp，则p是q的必要不充分条件，q是p的充分不必要条件；若pq，且qp，即pq，则p、q互为充要条件；资料来源于网络仅供免费交流使用精品文档用心整理/若pq

3、，且qp，则p是q的既不充分也不必要条件.从集合与集合间的关系看若p：xa，q：xb，若ab，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；若a是b的真子集，则p是q的充分不必要条件；若a=b，则p、q互为充要条件；若a不是b的子集且b不是a的子集，则p是q的既不充分也不必要条件.要点诠释：充要条件的判断通常有四种结论：充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件.判断方法通常按以下步骤进行：确定哪是条件，哪是结论；尝试用条件推结论，再尝试用结论推条件，最后判断条件是结论的什么条件.要点三、充要条件的证明要证明命题的条件是结论的充要条件，既要证明条件的充分性（即证原命题成立），又要证

4、明条件的必要性（即证原命题的逆命题成立）要点诠释：对于命题“若p，则q”如果p是q的充分条件，则原命题“若p，则q”与其逆否命题“若q，则p”为真命题；如果p是q的必要条件，则其逆命题“若q，则p”与其否命题“若p，则q”为真命题；如果p是q的充要条件，则四种命题均为真命题.【典型例题】类型一：充分条件、必要条件、充要条件的判定例1.“x0”的_条件/【解析】x2-10x1，故x0，但x2-10x-1，“x0”的充分而不必要条件【点评】判定充要条件的基本方法是定义法，即“定条件找推式下结论”；有时需要将条件等价转化后再判定.举一反三：【变式1】指出下列各题中，p是q的什么条件？(1)p:(x-

5、2)(x-3)=0，q:x=2；(2)p:c=0，q:抛物线y=ax2+bx+c过原点(3)p:一个四边形是矩形，q:四边形的邻边相等资料来源于网络仅供免费交流使用精品文档用心整理【答案】(1)p:x=2或x=3,q:x=2/pq且qp,p是q的必要不充分条件；(2)pq且qp,p是q的充要条件；/(3)pq且qp，p是q的既不充分条件也不必要条件.【变式2】判断下列各题中p是q的什么条件.（1）p:a0且b0,q:ab0（2）p:xy1,q:xy.【答案】（1）p是q的充分不必要条件.a0且b0时，ab0成立；反之，当ab0时，只要求a、b同号即可.必要性不成立.（2）p是q的既不充分也不必

6、要条件xy1在y0的条件下才有xy成立.充分性不成立，同理必要性也不成立.【变式3】设甲，乙，丙是三个命题，如果甲是乙的充要条件，丙是乙的充分非必要条件，那么丙是甲的（）.a、充分非必要条件b、必要非充分条件c、充要条件d、既不充分也不必要条件【答案】a；/【解析】由已知有甲乙，丙乙且乙丙./于是有丙乙甲，且甲丙（否则若甲丙，而乙甲丙，与乙丙矛盾）故丙甲且甲丙，所以丙是甲的充分非必要条件.例2.（2015天津）设xr，则“x-20”的（a）充分而不必要条件（b）必要而不充分条件（c）充要条件（d）既不充分也不必要条件【答案】a【解析】|x-2|0的解集为(-,-2)(1,+)，故资料来源于网络

7、仅供免费交流使用精品文档用心整理|x-2|0的充分不必要条件。故选：a。【总结升华】先对已知条件进行等价转化化简，然后由定义判断；不等式（解集）表示的条件之间的相互关系可以借助集合间的关系判断.举一反三：【充分条件与必要条件394804例2】【变式1】已知p：0x3，q：|x-1|2，则p是q的（）（a）充分不必要条件（b）必要不充分条件（c）充要条件（d）既不充分也不必要条件【答案】q：|x-1|2，解得-1x3，亦即q：-1xp精品文档用心整理命题“l是一条直线，是两个不同的平面，若l，l，则”是两个平面平行的一个判定定理故答案为：d【充分条件与必要条件394804例3】【变式3】设xr，

8、则条件“x2”的一个必要不充分条件为（）a.x1b.x3d.xp4”，则直线l的斜率k=tan1或k0；q：“直线l的斜率k1”，则p是q的必要不充分条件。故选b。类型二：充要条件的探求与证明例3.设x、yr，求证：|x+y|=|x|+|y|成立的充要条件是xy0.【解析】（1）充分性：若xy=0，那么x=0，y0；x0，y=0；x=0，y=0，于是|x+y|=|x|+|y|如果xy0，即x0，y0或x0，y0，当x0，y0时，|x+y|=x+y=|x|+|y|.当x0，y0时，|x+y|=(x+y)=x+(y)=|x|+|y|.总之，当xy0时，有|x+y|=|x|+|y|.（2）必要性：由

9、|x+y|=|x|+|y|及x、yr，得(x+y)2=(|x|+|y|)2，即x2+2xy+y2=x2+2|xy|+y2，|xy|=xy，xy0.综上可得|x+y|=|x|+|y|成立的充要条件是xy0.【点评】充要条件的证明关键是根据定义确定哪是已知条件，哪是结论，然后搞清楚充分性是证明哪一个命题，必要性是证明哪一个命题.判断命题的充要关系有三种方法：（1）定义法；.（2）等价法，即利用ab与ba；ba与ab；ab与ab的等价关系，对于条件或结论是不等关系（否定式）的命题，一般运用等价法资料来源于网络仅供免费交流使用精品文档用心整理（3）利用集合间的包含关系判断，若ab，则a是b的充分条件或

10、b是a的必要条件；若a=b，则a是b的充要条件.举一反三：【变式1】已知a,b,c都是实数，证明ac0是关于x的方程ax2+bx+c=0有一个正根和一个负根的充要条件.【答案】（1）充分性:若ac0，方程ax2+bx+c=0有两个相异实根，设为x1,x2,ac0,x1x2=ca0,x20，则x1x2=ca0，ac0综上可得ac0012若方程有两个负的实根，则必须满足-0ad=4-4a0a0；00),若p是q的充分不必要条件，m的取值范围.【答案】m9【解析】由x2-2x+1-m20(m0)解得1-mx1+m又由|1-x-13|2解得-2x10资料来源于网络仅供免费交流使用1-m-2,或1-m101+m10集且b不是a的子集，所以，或，解得c2，解得c2，1+c71-c7精品文档用心整理p是q的充分不必要条件，所以m0m0解得m9【点评】解决这类参数的取值范围问题，应尽量运用集合法求解，即先化简集合a、b，再由它们的因果关系，得到a与b的包含关系，进而得到相关不等式组，解之即可.举一反三：【变式1】已知命题p：1cx0)，命题q：x7或x1，并且p是q的既不充分又不必要条件，则c的取值范围是_【答案】0c2【解析】命题p对应的集合ax|1cx0，同理，命题q对应的集合bx|x7或x0，综上所述得0c2.