人教版高中数学【选修1-1】[知识点整理及重点题型梳理]_简单的逻辑联结词_提高

1、精品文档用心整理人教版高中数学选修1-1知识点梳理重点题型（常考知识点）巩固练习简单的逻辑联结词【学习目标】1.了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义；2.会用逻辑联结词“或”、“且”、“非”联结两个命题或改写某些数学命题，并判断命题的真假.【要点梳理】要点一、逻辑联结词“且”一般地，用逻辑联结词“且”把命题p和q联结起来得到一个新命题，记作：pq，读作：“p且q”。规定：当p，q两命题有一个命题是假命题时，pq是假命题；当p，q两命题都是真命题时，pq是真命题。要点诠释：pq的真假判定的理解：（1）与物理中的电路类比我们可以从串联电路理解联结词“且”的含义。若开关p，q的闭合与断开分别对

2、应命题p，q的真与假，则整个电路的接通与断开分别对应命题pq的真与假。（2）与集合中的交集类比交集ab=x|xa且xb中的“且”与逻辑联结词的“且”含义一样，理解时可参考交集的概念。要点二、逻辑联结词“或”一般地，用逻辑联结词“或”把命题p和q联结起来得到一个新命题，记作：pq，读资料来源于网络仅供免费交流使用精品文档用心整理作：“p或q”。规定：当p，q两命题有一个命题是真命题时，pq是真命题；当p，q两命题都是假命题时，pq是假命题。要点诠释：pq的真假判定的理解：（1）与物理中的电路类比我们可以从并联电路理解联结词“或”的含义。若开关p，q的闭合与断开对应命题的真与假，则整个电路的接通与

3、断开分别对应命题的pq的真与假。pq（2）与集合中的并集类比并集ab=x|xa或xb中的“或”与逻辑联结词的“或”含义一样，理解时可参考并集的概念。（3）“或”有三层含义，以“p或q”为例：p成立且q不成立；p不成立但q成立；p成立且q也成立。要点三、逻辑联结词“非”一般地，对一个命题p全盘否定得到一个新命题，记作：p，读作：“非p或p的否定”。规定：当p是真命题时，p必定是假命题；当p是假命题时，p必定是真命题。要点诠释：（1）逻辑联结词中的“非”相当于集合中补集的概念，谈到补集必然要说全集，谈论“非”时也应该弄清这件事是在一个什么样的范围中研究。（2）下面是一些常用词的否定：有都是至少是等

4、于属于至多一个一个一定x=1或x=2x1且x3不是不等于不属于没有不都是一个至少都没两个一定不x1且x2x1或x3资料来源于网络仅供免费交流使用精品文档用心整理有（3）否命题与命题的否定之间的区别：否命题是对原命题的条件和结论分别做否定后得到的命题（否定二次）；命题的否定是只对原命题的结论做否定（否定一次），即p.如：命题p:若x=1，则(x-1)(x+1)=0命题p的否命题：若x=/1，则(x-1)(x+1)=/0命题p的否定即p:若x=1，则(x-1)(x+1)=/0（4）“或”、“且”联结的命题的否定形式：“p或q”的否定p且q；“p且q”的否定p或q要点四、简单命题与复合命题（1）定义

5、：简单命题：不含逻辑联结词的命题叫简单命题。复合命题：由简单命题与逻辑联结词“或”、“且”、“非”构成的命题叫做复合命题。（2）复合命题的构成形式：p或q；记作：pqp且q；记作：pq非p（即命题p的否定）；记作：p（3）复合命题的真假判断pqppqpq真真假假真假真假假假真真真真真假真假假假要点诠释：当p、q同时为假时，“p或q”为假，其它情况时为真，可简称为“一真必真”；当p、q同时为真时，“p且q”为真，其它情况时为假，可简称为“一假必假”。“非p”与p的真假相反.【典型例题】类型一：复合命题的构成例1分别指出下列复合命题的形式及构成的简单命题。资料来源于网络仅供免费交流使用精品文档用心

6、整理（1）李明是老师，赵山也是老师；（2）1是合数或质数；（3）他是运动员兼教练员；【解析】（1）这个命题是“p且q”形式，其中p：李明是老师，q：赵山是老师。（2）这个命题是“p或q”形式，其中p：1是合数，q：1是质数。（3）这个命题是“p且q”形式，其中p：他是运动员，q：他是教练员。【总结升华】正确理解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义是解题的关键。根据上述各复合命题中出现的逻辑联结词或语句的意义确定复合命题的形式。举一反三：【简单的逻辑联结词395484例1】【变式1】例1将下列各组命题用“且”联结组成新命题：（1）p：平行四边形的对角线互相平分，q：平行四边形的对角线相等；（2

7、）p：集合a是aq：集合a是ab的子集，b的子集；（3）p：x2+11，q：34.【答案】（1）pq：平行四边形的对角线互相平分且相等；（2）pq：集合a是ab的子集，且是ab的子集；（3）pq：x2+11，且34.【变式2】判断下列复合命题的形式，写出构成其的简单命题（1）1是奇数或偶数；（2）梯形不是平行四边形；（3）2是偶数也是质数.【答案】（1）p或q的形式，其中p：1是奇数，q：1是偶数；（2）非p的形式，其中p：梯形是平行四边形；（3）p且q的形式，其中p：2是偶数，q：2是质数。例2.判断下列命题中是否含有逻辑联结词“或”、“且”、“非”，若含有，请指出其中p、q的基本命题.（1

8、）正方形的对角线垂直相等；（2）2是4和6的约数；资料来源于网络仅供免费交流使用精品文档用心整理（3）不等式x2-5x+60的解为x3或x2【解析】（1）是“p且q”形式的命题，其中p：正方形的对角线互相垂直；q：正方形的对角线相等.（2）是“p且q”形式的命题，其中p：2是4的约数；q：2是6的约数.（3）是简单命题，而不是用“或”联结的复合命题【总结升华】对于用逻辑联结词“或”、“且”、“非”联结的新命题的结构特点不能仅从字面上看它是否含有“或”、“且”、“非”等逻辑联结词，而应从命题的结构来看是否用逻辑联结词联结两个命题.举一反三：【变式】分别指出下列复合命题的形式及构成的简单命题。（4

9、）李明是老师，赵山也是老师；（5）1是合数或质数；（6）他是运动员兼教练员；【答案】（1）这个命题是“p且q”形式，其中p：李明是老师，q：赵山是老师。（2）这个命题是“p或q”形式，其中p：1是合数，q：1是质数。（3）这个命题是“p且q”形式，其中p：他是运动员，q：他是教练员。例3分别指出下列复合命题的形式及构成它的简单命题，并指出复合命题的真假(1)8或6是30的约数(2)矩形的对角线互相垂直平分(3)方程x2+x+1=0无实根【解析】(1)“p或q”形式p:8是30的约数，q:6是30的约数，p假q真，该复合命题为真(2)“p且q”形式p:矩形的对角线互相垂直，q:矩形的对角线互相平

10、分，p假q真，该复合命题为假(3)“非p”形式.p:方程x2+x+1=0有实根，p假，该复合命题为真【总结升华】先判断各简单命题的真假，再依据复合命题的构成形式写出复合命题，最后判断复合命题的真假举一反三：【变式1】已知命题p、q，试写出p或q、p且q、非p的形式的命题并判断真假.资料来源于网络仅供免费交流使用精品文档用心整理(1)p:平行四边形的一组对边平行，q:平行四边形的一组对边相等(2)p：21,3,5,7，q：22,4,6,822(3)p:11，,q:11，【答案】（1）p或q：平行四边形的一组对边平行或相等（真命题）；p且q：平行四边形的一组对边平行且相等（真命题）非p：平行四边形

11、的一组对边不平行（假命题）。（2）p或q：21,3,5,7或22,4,6,8，即21,2,3,4,5,6,7,8（真命题）p且q：21,3,5,7且22,4,6,8（假命题）非p：2/1,3,5,7（真命题）22（3）p或q：11，或11，（真命题）22p且q：11，且11，（真命题）/2非p：11，（假命题）【变式2】已知命题p、q，写出p或q、p且q、非p的形式并判断真假。（1）p:=x|x21,q：x|x21.（2）p:34,q:3=4【答案】（1）p或q：=x|x21或x|x21，即x|x21（真命题），p且q：=x|x21且x|x21（假命题）|非p（p）：=/xx21（真命题），（

12、2）p或q：34或3=4，即34（真命题），p且q：34且3=4（假命题）非p（p）：3/4，即34（假命题）.类型二：复合命题真假的判定资料来源于网络仅供免费交流使用例4.(2015辽宁)设a,b,c是非零向量，已知命题p：若ab0，bc0，则ac0；命题q：若ab,bc,，则ac，则下列命题中真命题是()精品文档用心整理apqc(p)(q)bpqdp(q)【解析】若ab0，bc0，则abbc，即(a-c)b=0，则ac0不一定成立，若ab,bc,，则ac平行，故命题q为真命题，【答案】b故命题p为假命题，则pq为真命题，pq，(p)(q)，p(q)都为假命题，故选：a【总结升华】解答这类逻

13、辑推理问题关键在于充分利用真值表进行分析，也就是由给出复合命题的真假情况，利用真值表逆向思考，从而推断出组成复合命题的简单命题的真值情况，再判断相关命题正确与否.举一反三：【简单的逻辑联结词395484例5】【变式1】已知命题p：所有有理数都是实数，命题q：正数的对数都是负数，则下列命题为真命题的是（）（a）(p)q（b）pq（c）(p)(q)（d）(p)(q)【答案】c【变式2】(2014重庆)已知命题p：对任意xr，总有2x0；q：“x1”是“x2”的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是()apqbpqcpqdpq【解析】根据指数函数的性质可知，对任意xr，总有2x0成立，即p为真命题，

14、“x1”是“x2”的必要不充分条件，即q为假命题，则pq，为真命题，故选：d【变式3】以下判断中正确的是（）a命题p是真命题时，命题“pq”一定是真命题b命题“pq”为真命题时，命题p一定是真命题c命题“pq”为假命题时，命题p一定是假命题d命题p是假命题时，命题“pq”不一定是假命题【答案】b类型三：命题的否定与否命题例5写出下列命题的否定和否命题，并判定其真假.资料来源于网络仅供免费交流使用精品文档用心整理（1）p：在整数范围内，a、b都是偶数，则a+b是偶数（2）p：若x0且y0，则x+y0【解析】(1)p：在整数范围内，a、b都是偶数，则a+b不是偶数（假命题）；p的否命题是：在整数范

15、围内，若a、b不都是偶数，则a+b不是偶数（假命题）(2)p：若x0且y0，则x+y0（假命题）；p的否命题是：若x0或y0，则x+y0（假命题）.【总结升华】“x0且y0”的否定是“x0或y0”；“a、b都是偶数的否定为“a、b不都是偶数”命题的否定和否命题是不一样的.举一反三：【变式1】命题“abc是直角三角形或等腰三角形“的否定是；【答案】abc既不是直角三角形，也不是等腰三角形【变式2】写出下列命题的否定和否命题，并判定其真假.（1）p：若x2+y2=0，则x,y全为零；（2）p：若x=3且y=5，则x+y=8.【答案】（1）p的否定：若x2+y2=0，则x,y不全为零（假命题）；p的

16、否命题：若x2+y2=/0，则x,y不全为零（真命题）/；（2）p的否定：若x=3且y=5，则x+y=8（假命题）p的否命题：若x=/3或y=/5，则x+y=/8（假命题）.【变式3】“x2+y2=/0”是指（填出符合条件的所有选项）a.x0且y0b.x0或y0c.x,y至少有一个不是0d.x,y都不是0e.x,y不都是0【答案】b、c、e；资料来源于网络仅供免费交流使用精品文档用心整理【解析】x2+y2=/0是指x,y不同时为零，即x,y至少有一个不是0，亦即x,y不都是0，x0或y0类型四：复合命题的应用例6.已知命题p：x25x60；命题q：0x4.若p是真命题，q是假命题，求实数x的取值范围【解析】由x25x60得x3或x2.命题q为假，x0或x4.则x|x3或x2x|x0或x4x|x0或x4满足条件的实