人教版高中数学【必修四】[知识点整理及重点题型梳理]_同角三角函数的基本关系式_提高

1、精品文档用心整理人教版高中数学必修四知识点梳理重点题型（常考知识点）巩固练习同角三角函数基本关系【学习目标】1.借助单位圆，理解同角三角函数的基本关系式:sin2a+cos2a=1,sinacosa=tana，掌握已知一个角的三角函数值求其他三角函数值的方法；2会运用同角三角函数之间的关系求三角函数值、化简三角式或证明三角恒等式。【要点梳理】要点一：同角三角函数的基本关系式(1)平方关系：sin2a+cos2a=1(2)商数关系：sinacosa=tana(3)倒数关系：tanacota=1，sinacsca=1，cosaseca=1要点诠释：(1)这里“同角”有两层含义，一是“角相同”，二是

2、对“任意”一个角(使得函数有意义的前提下)关系式都成立；(2)sin2a是(sina)2的简写；(3)在应用平方关系时，常用到平方根，算术平方根和绝对值的概念，应注意“”的选取。要点二：同角三角函数基本关系式的变形1平方关系式的变形：sin2a=1-cos2a，cos2a=1-sin2a，12sinacosa=(sinacosa)22商数关系式的变形sina=cosatana，cosa=sinatana。【典型例题】类型一：已知某个三角函数值求其余的三角函数值例1已知tana=2，求sina，cosa的值。【思路点拨】先利用tana=sina=-2,求出sina=2cosa，然后结合sin2a

3、+cos2a=1，求出cosasina，cosa。【解析】解法一：tana=2，sina=2cosa。资料来源于网络仅供免费交流使用精品文档用心整理又sin2a+cos2a=1，由消去sina得(2cosa)2+cos2a=1，即cos2a=15。当a为第二象限角时，cosa=-5当a为第四象限角时，cosa=525，代入得sina=。5525，代入得sina=-。55解法二：tana=20，a为第二或第四象限角。sinasin2a又由tana=，平方得tan2a=。cosacos2asin2a11+1=tan2a+1=，即cos2a=cos2acos2a1+tan2a。当a为第二象限角时，c

4、osa=-1sina=tanacosa=(-2)-5。515=-1+tan2a1+(-2)25525=。当a为第四象限角时，cosa=115=1+tan2a1+(-2)25。sina=tanacosa=(-2)525=-。55【总结升华】解答此类题目的关键在于充分借助已知角的三角函数值，缩小角的范围。在解答过程中如果角a所在象限已知，则另两个三角函数值结果唯一；若角a所在象限不确定，则应分类讨论，有两种结果，需特别注意：若已知三角函数值以字母a给出，应就a所在象限讨论。举一反三：5【变式1】已知a是dabc的一个内角，且tana=-，求sina,cosa.4【思路点拨】根据tana0可得a的范

5、围：p2ap再结合同角三角函数的关系式求解.【解析】tana=-50,cosa0.4由tana=sinacosa,平方整理得cos2a=11441,cosa=-=-,1+tan2a1+tan2a41sina=tanacosa=541.41例2已知cosa=m（1m1），求sina的值。【解析】（1）当m=0时，角a的终边在y轴上，当角a的终边在y轴的正半轴上时，sina=1；资料来源于网络仅供免费交流使用精品文档用心整理当角a的终边在y轴的负半轴上时，sina=1。（2）当m=1时，角a的终边在x轴上，此时，sina=0。（3）当|m|1且m0时，sin2a=1cos2a=1m2，当角a为第一

6、象限角或第二象限角时，sina=1-m2，当角a为第三象限角或第四象限角时，sina=-1-m2。【总结升华】当角a的范围不确定时，要对角的范围进行讨论，切记不要遗漏终边落在坐标轴上的情况。类型二：利用同角关系求值【同角三角函数关系公式385948例2】例3已知：tanq+cotq=2,求：（1）sinqcosq的值；（2）sinq+cosq的值；（3）sinq-cosq的值；（4）sinq及cosq的值【思路点拨】同角三角函数基本关系是反映了各种三角函数之间的内在联系，为三角函数式的恒等变形提供了工具与方法。【答案】（1）122222,（2）2（3）0（4）或-,-2222sinqcosq【

7、解析】（1）由已知+=2cosqsinqsin2q+cos2qsinqcosq=2sinqcosq=12（2）(sinq+cosq)2=1+2sinqcosq=1+1=2sinq+cosq=2（3）(sinq-cosq)2=1-2sinqcosq=1-1=0sinq=cosq=sinq=-cosq=-sinq-cosq=0sinq+cosq=2（4）由，解得sinq-cosq=022或222222【总结升华】本题给出了sinq+cosq,sinq-cosq及sinqcosq三者之间的关系，三者知一求二，在求解的过程中关键是利用了sin2q+cos2q=1这个隐含条件。举一反三：，【变式1】（2

8、015春广东韶关期中）已知0xsina、cosa是方程5x2-x+m=0的两实根，求：资料来源于网络仅供免费交流使用精品文档用心整理（1）m的值；（2）求sina、cosa、tana的值；（3）sin3a+cos3a的值【答案】（1）-12543437；（2）sina=，cosa=-，tana=-；（3）553125【解析】（1）0a，sina、cosa是方程5x2-x+m=0的两实根，1msina+cosa=，sinacosa=，55(sina+cosa)2=1+2sinacosa=1+解得：m=-12；52m1=525，（2）sina+cosa=112，sinacosa=-，525(sin

9、a-cosa)2=1-2sinacosa=1+2449=2525，7sina-cosa=，5434联立解得：sina=，cosa=-，tana=-；553112（3）sina+cosa=，sinacosa=-，525原式=(sina+cosa)(sin2a-sinacosa+cos2a)no=(sia+cas)-(1asinaco=13737=525125例4（2015春河南灵宝市月考）已知tana=3，求下列各式的值：（1）4sina-cosa3sina+5cosa；1（2）2sinacosa+cos2a（【思路点拨】1）将分式的分子和分母都除以cosa，结合同角三角函数的商数关系可得关于t

10、ana的式子，再将tana=3代入即可；（2）首先利用“1的代换”将分子化成sin2a+cos2a，然后将分式的分子和分母都除以cos2a，结合同角三角函数的商数关系将原式化简成为关于tana的式子，最后将tana=3代入即可求出原式的值【答案】（1）1110；（2）147【解析】（1）原式=4sina-cosa3sina+5cosa分子分母都除以cosa，得资料来源于网络仅供免费交流使用cosa=4tana-1=43-1=113sina5cosa3tana+533+514精品文档用心整理4sinacosa-原式=cosa+cosacosa（2）原式=12sinacosa+cos2a将分子化成

11、1=sin2a+cos2a，可得原式=sin2a+cos2a2sinacosa+cos2a再将分子分母都除以cos2a，得tan2a+132+110cos2acos2a原式=sin2acos2a+=2sinacosacos2a2tana+123+17+cos2acos2a【总结升华】已知tana的值，求关于sina、cosa的齐次式的值问题如（1）题，cosa0，所以可用cosna（nn*）除之，将被求式转化为关于tana的表示式，可整体代入tana=m的值，从而完成被求式的求值；在（2）题中，求形如asin2a+bsinacosa+ccos2a的值，注意将分母的1化为1=sin2a+cos2

12、a代入，转化为关于tana的表达式后再求值。举一反三：【变式1】（1）已知tana=3，求sin2a3sinacosa+1的值；（2）已知4sinq-2cosq6=，求cos4q-sin4q的值。5cosq+3sinq11【解析】（1）tana=3，1=sin2a+cos2a，原式=sin2a-3sinacosa+(sin2a+cos2a)=22at-ana+3tan=1。=2ic2sina-3sanao+s22ssina+coa2caosa+1t2an1（2）由4sinq-2cosq64tanq-26=，得=，解得：tanq=25cosq+3sinq115+3tanq11cos4q-sin4

13、q=(cos2q+sin2q)(cos2q-sin2q)cos2q-sin2q1-tan2q1-43=cos2q-sin2q=-。cos2q+sin2q1+tan2q1+45类型三：利用同角关系化简三角函数式1-cos4a-sin4a例5化简：。1-cos6a-sin6a【解析】解法一：原式=(cos2a+sin2a)-cos4a-sin4a(cos2a+sin2a)3-cos6a-sin6a2cos2asin2a2=。3cos2asin2a(cos2a+sin2a)3资料来源于网络仅供免费交流使用解法二：原式=解法三：原式=精品文档用心整理1-(cos4a+sin4a)1-(cos6a+si

14、n6a)1-(cos2a+sin2a)-2cos2asin2a1-(cos2a+sin2a)(cos4a-cos2asin2a+sin4a)1-1+2cos2asin2a2cos2asin2a2=。1-(cos2a+sin2a)2-3cos2asin2a3cos2asin2a3(1-cos2a)(1+cos2a)-sin4a(1-cos2a)(1+cos2a+cos4a)-sin6asin2a(1+cos2a-sin2a)sin2a(1+cos2a+cos4a-sin4a)2cos2a1+cos2a+(cos2a+sin2a)(cos2a-sin2a)2cos2a2cos2a2=。1+cos2

15、a+cos2a-sin2a3cos2a3【总结升华】以上三种解法虽然思路不同，但是主要都是应用公式sin2a+cos2a=1，解法二和解法三都是顺用公式，而解法一则是逆用公式，三种解法中，解法一最为简单。这里，所谓逆用公式sin2a+cos2a=1，实质上就是“1”的一种三角代换：“1=sin2a+cos2a”，1的三角代换在三角函数式的恒等变形过程中有着广泛的应用。举一反三：【变式1】化简,q2kp-,2kpkz；（1）1-2sinqcosqsinq-cosqp2（2）1-sin22-1-cos22；（3）cosq1-sin2q-1-cos2qsinq；（4）1+sinq1-sinq-1-s

16、inq1+sinq【答案】（1）1（2）-cos2-sin2（3）略（4）略(sinq-cosq)2|sinq-cosq|【解析】（1）原式=-1sinq-cosqsinq-cosq（2）原式=cos22-sin22=|cos2|-|sin2|=-cos2-sin2-=-2，（q在第二象限）2，（q在第四象限）（3）原式=0,(q在第一象限或第三象限)cosq|sinq|cosq|sinq资料来源于网络仅供免费交流使用（4）原式=(1+sinq)21-sin2q精品文档用心整理-(1-sinq)21-sin2q=1+sinq1-sinq-|cosq|cosq|22-2tanq(2kp+pq2k

17、p+3pp2tanq(2kp-q2kp+)=，kzp)22类型四：利用同角关系证明三角恒等式例6求证：tanasinatana+sina=tana-sinatanasina。【思路点拨】利用同角三角函数关系式对式子的左边或右边进行化简，使之与式子的另一边相同。【解析】证法一：右边=(tana+sina)(tana-sina)tan2a-sin2a=tanasina(tana-sina)(tana-sina)tanasina=tan2a-tan2acos2atan2a(1-cos2a)=(tana-sina)tanasina(tana-sina)tanasinatan2asin2atanasin

18、a=左边。(tana-sina)tanasinatana-sina证法二：左边=tanasinasina=tana-tanacosa1-cosa，tana+tanacosa1+cosa1-cos2asin2asina=右边=，tanasinasinasina(1-cosa)sina(1-cosa)1-cosa所以左边=右边，原等式成立。证法三：左边=cossina-sinasina-sinacosasin(1-cosa)sinaasinacosasin2a1-cos2a1+cosa=sina，+sina右边=cosasinasin2asinasinacosasinasina+sinacosa1+cosa=，【变式1】求证：cosx所以左边=右边，原等式成立。【总结升华】本题主要考查三角恒等式的证明方法。就一般情况而言，证明三角恒等式时，可以从左边推到右边，也可以从右边推到左边，本着化繁就简的原则，即从较繁的一边推向较简的一边；还可以将左、右两边同时推向一个中间结果；有时候改证其等价命题更为方便。但是，不管采取哪一种方式，证明时都要“盯住目标，据果变形”化简证明过程中常用的技巧有：弦切互化，运用分式的基本性质变形，分解因式