人教版高中数学【必修一】[知识点整理及重点题型梳理]_幂函数及图象变换_基础(1)

1、精品文档用心整理人教版高中数学必修一知识点梳理重点题型（常考知识点）巩固练习幂函数及图象变换【学习目标】1通过实例，了解幂函数的概念；结合幂函数的图象，了解它们的变化情况.2掌握幂函数的图象和性质，并能熟练运用图象和性质去解题。3掌握初等函数图象变换的常用方法【要点梳理】要点一、幂函数概念形如y=xa(ar)的函数，叫做幂函数，其中a为常数.要点诠释：幂函数必须是形如y=xa(ar)的函数，幂函数底数为单一的自变量x，系数为1，指数为常数.例如：y=3x4,y=x2+1,y=(x-2)2等都不是幂函数.要点二、幂函数的图象及性质1.作出下列函数的图象：1(1)y=x；(2)y=x2；(3)y=

2、x2；(4)y=x-1；(5)y=x3要点诠释：幂函数随着a的取值不同，它们的定义域、性质和图象也不尽相同，但它们有一些共同的性质：(1)所有的幂函数在(0，+)都有定义，并且图象都过点(1，1)；(2)a0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间0,+)上是增函数特别地，当a1时，幂函数的图象下凸；当0a1时，幂函数的图象上凸；(3)a0）、右（a0）、下（b0)单调递减且3.14p.【答案】（1）；（2）0)单调递减，且2(3)5-(2)5-(3)5.即(-2)5(-3)5.-3-3-3-3-3-3【总结升华】(1)各题中的两个数都是“同指数”的幂，因此可看作是同一个幂函数的两个不同的函数值，

3、从而可根据幂函数的单调性做出判断.(2)题(2)中，我们是利用幂函数的奇偶性，先把底数化为正数的幂解决的问题.当然，若直接利用x0资料来源于网络仅供免费交流使用f（5），求满足(a+1)3(3-2a)3的a的取值范围【答案】aa1或2精品文档用心整理上幂函数的单调性解决问题也是可以的.举一反三：【变式1】比较0.80.5，0.90.5，0.9-0.5的大小.【答案】0.80.50.90.50.9-0.5【解析】先利用幂函数y=x0.5的增减性比较0.80.5与0.90.5的大小，再根据幂函数的图象比较0.90.5与0.9-0.5的大小.+y=x0.5在(0，)上单调递增，且0.80.9，0.8

4、0.50.90.5.作出函数y=x0.5与y=x-0.5在第一象限内的图象，易知0.90.50.9-0.5.故0.80.50.90.50.9-0.5.类型四、求参数的范围例4.（2015秋黑龙江大庆期末）已知函数f(x)=xm2-2m-3（mn*）的图象关于y轴对称，且f（3）-m-m【思路点拨】根据幂函数在（0，+）上是减函数，可以确定m30，再根据的图象关于y轴对称，即可得到f（x）为偶函数，从而确定m的值，构造函数g（x）=，利用幂函数的性质，即可列出关于a的不等式，求解不等式可以求得a的取值范围根据幂函数在（0，+）上函数值随x增大而减小，得到3m90，然后根据函数图象关于y轴对称，得

5、到函数为偶函数，确定m的值，然后解不等式即可3a32【解析】函数f(x)=xm2-2m-3（mn*）在（0，+）上递减，m2-2m-30，解得1m3，mn+，m=1，2，又函数的图象关于y轴对称，f（x）为偶函数，m2-2m-3是偶数，又m=1时，m2-2m-3=3为偶数，资料来源于网络仅供免费交流使用精品文档用心整理令g(x)=x3，m=2时，m2-2m-3=3为奇数，m=1，-1g(x)=x-13在（，0）和（0，+）上均为减函数，(a+1)3(3-2a)3，解得a1，或2-m-ma+132a0，或0a+132a，或a+1032a，3a，32故a的取值范围为aa1或23a0(2)a+10(

6、3)a+103-2aa+13-2a-(a+1)-(3-2a)a+1举一反三：【变式1】若(a+1)-2(3-2a)-2，求实数a的取值范围.解法1：(a+1)-2(3-2a)-2，考察y=x-2的图象，得以下四种可能情况:3-2a03-2a03-2a02分别解得:(1)-1a.(2)无解.(3)a4.3-1，(4，+).-a的取值范围是(-，1)23解法2：画出y=x-2的图象，认真观察图象，可得:越接近y轴，y值越大，即|x|越小，y值越大，即3-2a0，解|a+1|(3-2a)-2a+10-1，-得:(-，1)23+(4，).【总结升华】以上两种方法都是运用函数的单调性，但显然第二种方法更

7、好.而这种方法的应用，必须对图象的特征有深刻的认识.可见，能很好地运用数形结合是解决函数问题的重要途径.类型五、幂函数的应用例5.（2015秋湖南长沙期中）已知幂函数f(x)=xk2-2k-3(kn*)的图象关于y轴对称，且在区间（0，+）是减函数，（1）求函数f（x）的解析式；（2）若ak，比较(lna)0.7与(lna)0.6的大小【思路点拨】（1）利用幂函数的性质，结合函数的奇偶性通过kn*，求出k的值，写出函数的解析资料来源于网络仅供免费交流使用精品文档用心整理式（2）利用指数函数y=(lna)x的性质，把不等式大小比较问题转化为同底的幂比较大小，即可得出答案【答案】（1）f(x)=x

8、-4；（2）见解析【解析】（1）幂函数f(x)=xk2-2k-3(kn*)的图象关于y轴对称，所以，k2-2k-30，解得1k3，因为kn*，所以k=1，2；且幂函数f(x)=xk2-2k-3(kn*)在区间（0，+）为减函数，k=1，函数的解析式为：f(x)=x-4（2）由（1）知，a1当1ae时，0lna1，(lna)0.7(lna)0.6举一反三：1【变式1】讨论函数f(x)=xm2+m+1(mn*)的定义域、奇偶性和单调性+【答案】r，奇函数，在(-，)上单调递增【解析】（1）m2+m=m(m+1)(mn*)是正偶数，m2+m+1是正奇数函数f(x)的定义域为r（2）m2+m+1是正奇

9、数，11f(-x)=(-x)m2+m+1=-xm2+m+1=-f(x)，且定义域关于原点对称f(x)是r上的奇函数（3）10，且m2+m+1是正奇数，m2+m+1+函数f(x)在(-，)上单调递增类型六、基本初等函数图象变换资料来源于网络仅供免费交流使用精品文档用心整理例6作出下列函数的图象：(1)y=lgx，y=lg(-x)，y=-lgx；(2)y=lg|x|；(3)y=-1+lgx.【解析】(1)如图(1)；(2)如图(2)；(3)如图(3).【总结升华】要作出由对数函数组成的复合函数的图象，仍应注意变换作图法的灵活性，即先作出基本函数（对数函数）图象，再用平移、对称、旋转、伸缩等变换作图

10、法来作出函数图象即可。一般地，函数y=f(x-a)+b（a,b为实数）的图象是由函数y=f(x)的图象沿x轴向右（或向左）平移|a|个单位（此时为f(x-a)的图象），再沿y轴向上（或向下）平移|b|个单位而得。含有绝对值的函数的图象是一种对称变换，一般地，y=f(|x-a|)的图象是关于直线x=a对称的轴对称图形；函数y=|f(x)|的图象与y=f(x)的图象，在f(x)0时相同，而在f(x)0时，关于x轴对称。举一反三：【幂函数及图象变换369074例4（1）】【变式1】作出y=2x-1x+1的图象。3向左平移1个单位y=-3先画出y=-的图象，然后y=-2(x+1)-33【解析】y=2+(-)x+1x+13如下图：xxx+1向上平移2个单位y=2+(-3)x+1【变式2】作函数y=|log(x+1)|+2的图象。2【解析】作复合函数的图象时，可先作它的基本函数的图象，然后适当地变换，分步骤完成。第一步：作y=logx的图象甲。2第二步：将y=logx的图象沿x轴向左