word】公式教学拒绝平庸——“方差”一课的教学与反思

1、公式教学拒绝平庸方差”一课的教学与反思2011年第 5 期数学教育研究 ?19?公式教学拒绝平庸 ”方差 ”一课的教学与反思 张卫东 （江苏省南通市通州区赵甸初级中学 226300）初中数学的公式教学是一个难点 ,更是一个隐患 ,教师 ,学生往往侧重于 ”记忆 应用 ”的平庸模式 ,普遍认为公式的由来没有必要解释 ,只需死记住公式和公式的使用环境即可 ,这样能提高学生学习的效率 ,减轻学生学习的负担 .殊不知 ,正是这样的平庸抹杀了学生的天性 .数学课程标准明确指出 :有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿与记忆 ,动手实践 ,自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式 .学习不是死搬硬套 ,活

2、学活用才是王道 .解题类的教学我们尚有补救的余地 ,但是公式类教学却 l 会给学生的思维烙下深 刻的印迹 .我们要让每个知识点的教学为学生搭建表演的舞台 ;想象的天堂 ;实战的场所 ,为培养学生的创造力提供营养 .笔者曾执教过一堂市级公开课方差 ,当初设计教学时并没有走公式教学的老路 ,先介绍再记忆 ,最后应用,而是着眼于公式的发现 ,发生,发展过程 .下面,笔者借这堂课的教学设计来浅谈数学公式教学的几点 思考.1 课堂再现 新课导入: 新课的导入是引领学生走进学习园地的重要环 节,好的设计可以直接将学生的思考带人状态 .我是这样设计的: 学校有两个很不错的射击选手 ,现在要选出一位选手出去参

3、赛 ,如何定夺 ?（以此激发学生展开积极的讨论） 众说纷纭 :（一分钟后）A 生: 看哪位选手更优秀 .师问 :什么叫做优秀 ?A 生: 看哪个打的环数多 .（教师对学生的回答加以肯定） 师 :环数多少如何计算 ?众生:总环数!B 生:不行 ,万一射击次数不一样 ,那样就不公平 .（教师微笑颔首 ）部分学生:那就用平均数 .（其他学生基本赞同 ）师出示实际数据 :面就让甲 ,乙两位选手各打 1O 靶: 甲：104951039587 乙:9578768677 让学生当裁判 ,通过计算来评判哪位选手更佳 .计算后学生容易发现 ,两人平均成绩一样 .师进引导学生 ,平均数并不能真实反映两位选手的真正

4、水平 ,该怎么办 ?通过多为学生的回答总结出以下答案 ： (1 )再赛一局.(师追问：若再赛一局还一样呢 ?再赛?永无止尽 ?) (2)选甲,因为甲的成绩中超过平均环数的次数多或者 10 环多.学生反驳 ：但是他的低环数也多 .教师引导：这说明了什么 ?(不稳定) (3)选乙,因为乙成绩均衡 ,比较平均 .通过此例关键是为了让学生学生发现乙的成绩比 甲的成绩稳定 .为了更直观地来反映两人的水平差异 ,将两人的成绩用表格形式反映出来 ,让学生观察两人成绩对应点的分布特征 ：甲比较分散 ,乙比较集中.即相对于某个折中的位置分散或集中 ,也就是说乙的点距离平均环数较近 ,而甲的较远.即甲的波动大 ,

5、乙的波动小.那么用什么来体现这个波动呢 ?如何量化 (以甲为例 )?深思熟虑 : c 生 : 用每个数据减去平均环数相加 .师:若减得是负数呢 ?C 生: 用大的减去小的 .师 :能否不管大小统一起来 ,使得减后的结果都是非负的?两生细语 :用绝对值 .此举目的就是引导学生用绝对值来反映 ,将每个数据减去平均数，再将这些绝对值相加.即:| 一 I+IXz 1+IX .依照此方法可得出，甲的波 动:22环,乙的波动:8 环.终于完成优劣的比较 ,学生也初尝自主探索解决问题的喜悦 .疑云再现: 请同学再用这种方法来比较下列两组数据的波动 大小: 甲 :7967659.975乙:9678968557

6、 学生兴致勃勃运用刚得到的方法计算 ,结果却发现,两者结果一样 .说明绝对值还不能客观反映一组数据的波动大小 .师:前面为什么用绝对值来进行计算 ?是为了保证什么?C 生: 保证结果是正数啊 !师:那还有什么运算能保证结果是正数呢 ?众生:平方.师:那将绝对值运算改成平方试试看.即用（Z ）+（z2-i）+ +（一）计算.通过计算得：甲:22,乙:20,说明用平方比用绝对 值来得更客观 ,更具有威力 .我们可以更深入思考一下 ,若单求差的平方和易因数据个数的不同而导致出现错误的判断 ,只有求得这些平方的平均数才能真实描述数据的波动特征 .所以公式还得完善成（Z 一）.+（z2 一）+,f（Z

7、一）.拨云见日:20?数学教育研究 2011年第 5 期 经过师生的不懈努力 ,终于完善了数据波动的判断方法 .这个判断一组数据波动大小的公式就叫做方差即用（Z 一）+（-z2 一 z）.+ +（z-）来, 衡量这组数据的波动大小 ,并把它叫做这组数据的方差，记作S.组数据方差越大，说明这组数据波动越大 .教师要剖析公式中每一个元素的意义 ,以便学生理解和掌握 .回归主题 :选哪位选手参赛 ?这样做使学生深刻体会到数学来源于实践 ,又反过来作用实践 ,不仅使学生对学习数学产生浓厚的兴趣 ,而且培养了学生应用数学的意识 .小试牛刀 :（例题 ,略）总结,拓展:（略） 深度思考 :若两组数据的平均

8、数和方差都相同 ,又运用什么量来比较两组数据的波动大小呢 ?此问旨在拓展学生的思维 ,让学生不拘泥于书本的学习 ,数学世界还有很辽阔的边疆等待我们去开发 .2教学设计的出发点新课程标准指出 :统计观念主要表现在 :能从统计的角度思考与数据信息有关的问题 ;能通过收集数据 ,描述数据 ,分析数据的过程作出合理的决策 ,认识到统计对决策的作用 ;能对数据的来源 ,处理数据的方法 ,以及由此得到的结果进行合理的质疑 .所以我们进行统计知识教学时不能偷工减料 ,不能死教公式 ,因为轻易得到的公式学生不易记忆而且不利于学生运用 ,更主要是抹杀了学生探究天性 ,学生易产生食之无味的感受.而通过自身劳动和思

9、维的百转千回得到的结论学生会倍加珍惜 ,更能熟记并灵活运用 .统计知识是对数据的收集 ,整理 ,描述和分析数据的枯燥过程 ,但是却是今后生活生产中避免不了的问题 ,应用较为广泛 .所以课堂设计时要关注学生的学习热情 ,鼓励学生的合理质疑 ,增加学生活动环节 ,在活泼的气氛中活学 ,活用公式.3公式教学的几点思考3.1 公式教学应该关注文化背景 公式概念类的学习是枯燥的 ,课堂的引入尤显珍贵,老师可以借助与之有关的数学小故事 ,数学史等为我们的课堂服务 ,这样可以激发学生的学习兴趣 ,让学生了解数学知识的历史文化背景 ,陶冶学生的情操 ,通过挖掘数学人文价值 ,塑造学生健全的人格 .更重要的目的

10、是通过这一途径培养学生探秘数学世界的兴趣和 信心 ,挖掘学生的创新能力 ,开发学生思维 .3.2 公式教学应该强调避死就活 要求学生不死记公式 ,首先教师要做到不死教公式,要将公式的来龙去脉一五一十引导给学生 ,推导的思维过程完全暴露给学生 ,激发出的矛盾呈现给学生 .只有理解才能产生永恒的记忆 ,只有深刻的记忆才能产生灵活运用的可能 .如本节方差课的教学 ,方差是个较易遗忘的长段公式 ,如仅靠死记肯定不行 ,更谈不上灵活运用 .我们公式教学的目的不仅是为了教会公式,更是为了让学生经历探索公式的思维历程 ,培养学生的创新思维 .3.3 公式教学应该渗透思想方法 每一个公式的得来和推导都蕴含着丰

11、富的思想方 法,推导公式的过程就是强化公式和丰富思想方法的 过程 .如平方差公式中蕴含数形结合的思想方法 ;因式分解中的十字相乘公式z+( P+q)x+q (+)(z +q)就体现出整体思想和待定系数方法等.教学时有必要浓墨重彩地去修饰公式 ,让一个公式更加丰满 .3.4 公式教学应该注重拓展应用 公式的学习最终还是服务于生活生产或者后续学 习,所以教学公式时要克服局限性 ,要将视野放宽眺远,关注公式本身的同时还要关注公式的变形用 ,如平方差,完全平方的逆向运用 ;如弧长公式与扇形面积公式的关系和互推功能 .善于对比公式与公式之间的逻辑关系和潜在同构，如扇形面积变形公式S 一 IR就是三角形面积公式S 一詆边滴的拓展；球面三角 形内角和与平面三角形内角和之间的敌对关系 .多方面拓展的结合有助于拓宽学生视野 ,培养学生探究新事物的兴趣 .总之数学教学是个严谨的活动 ,公式教学更是科学性 ,原则性很强的探索过程 .我们教师不能贪图方便而压抑了孩子的创新意识 ,公式教学要拒绝平庸 ,应还孩子们一个丰富多彩的鲜活空间 . 责任编校王蓓 2 一 n一 4（5 一.） OJ42（2 一 n）+（5 一 n）>o l>z解之得:一 5&It; 口 4数学思想方法是数学思想和数学方法的总称 .数学思想是对数学知识与方法形成的规律性的理性认 识,是解决数学问题的根本策略 .数学