高数方向导数与梯度

1、1,1.设空间曲线的方程,(1)式中的三个函数均可导.,一、空间曲线的切线与法平面,曲线在M处的切线方程,切向量：切线的方向向量称为曲线的切向量.,法平面：过M点且与切线垂直的平面.,2,2.空间曲线方程为,切线方程为,法平面方程为,3,设曲面方程为,二、曲面的切平面与法线,令,切平面方程为,法线方程为,4,其中,5,第五节 方向导数与梯度,6,实例：一块长方形的金属板，四个顶点的坐标是(1,1)，(5,1)，(1,3)，(5,3)在坐标原点处有一个火焰，它使金属板受热假定板上任意一点处的温度与该点到原点的距离成反比在(3,2)处有一个蚂蚁，问这只蚂蚁应沿什么方向爬行才能最快到达较凉快的地点？

2、,问题的实质：应沿由热变冷变化最骤烈的方向（即梯度方向）爬行,问题的提出,7,1 方向导数,定义1 (方向导数),设二元函数z = f (x, y)在点P0(x0, y0)的某一邻域,内有定义,l 是以P0(x0, y0) 为起点的射线,为其方向向量.,如果极限,8,存在,则称此极限为函数z = f (x, y)在点P0(x0, y0),记为,如果函数 f (x, y)在区域D内任何一点(x, y)处沿方向,或,的方向导数都存在,注: 方向导数是函数沿半直线方向的变化率.,则 为D内的一个函数,称为f (x, y)沿方向 的方向导函数(简称方向导数).,处沿方向 的方向导数,9,t一定为正!,

3、是函数在某点沿任何方向的变化率.,方向导数,偏导数,分别是函数在某点沿平行于坐标轴的直线,x、y可正可负！,的变化率.,10,的方向导数存在,同理, 函数,的方向导数存在,存在时,当函数,11,函数,函数,12,类似, 可定义三元函数的方向导数,对于三元函数,它在空间一点,的方向导数,定义为,其中,13,定理1,处可微,则函数,且,其中,类似地, 如果三元函数,处可微,且,其中,14,注,即为,(1),(2),计算方向导数只需知道l,的方向及函数的,偏导数.,在定点,的方向导数为,(3),(4) 关系,方向导数存在,偏导数存在,可微,15,解,令,故,其方向余弦为,例 设,处指向外侧的法向量,

4、 求函数,16,故,17,解,(1) 最大值; (2) 最小值; (3) 等于零?,并问在怎样的方向上此方向导数有,例 求函数,18,故 (1),方向导数达到最大值,方向导数达到最小值,方向导数等于 0.,和,(2),(3),19,考虑函数 定点 P0(3,1), P1(2,3).,解,求函数在 P0 沿 方向的方向导数.,练习,20,练习,求函数 在点 处沿,解,切线方向的方向向量,在此点的切线方向上,曲线,的方向导数.,21,解,此方向的方向向量为,练习,22,方向导数,最大或最小?,2 梯度的概念,问题: 函数 沿什么方向的方向导数为,方向导数取最大值,方向导数取最小值,其中,而,方向一

5、致时,方向相反时,23,定义2,记作,即,处的梯度,则梯度又可记为,引用记号,称为奈布拉算子, 或称为,向量微分算子或哈密尔顿算子,24,结论:,函数在某点的梯度是这样一个向量,它的方向与取得最大方向导数的方向一致,而它的模为方向导数的最大值.,梯度的模为,沿着 方向, 函数减少得最快.,方向：,模：,f 变化率最大的方向,f的最大变化率之值,25,此梯度也是一个向量, 其方向与取得最大方,梯度的概念可以推广到三元函数,则函数在该点的梯度为,设三元函数 在点P处可微分,向导数的方向一致, 其模为方向导数的最大值.,26,解,故,可得, 在 处梯度为,令,例 求函数 在点,处的梯度, 并问在哪些点处梯度为零?,27,解,练习,28,解 因为,正南方向, 问他应当怎样往上登才能攀登得最快?,例 一个登山者在山坡上点 处, 山坡,的高度z 近似为 若以x 轴正向为,在点 处,与梯度方向一致时,攀登最快.,如果以x轴正向为正南方向,则登山者应沿南偏东约 方向攀登, 攀登得最快.,29,1、方向导数的概念,2、梯度的概念,