1.1变化率与导数学案

1、x-x表示,称为函数f(x)从x到x的平均变化率.则平均变化率为dydx=dxx-x=1.1变化率与导数学案1.1.1变化率问题学习目标：1.理解平均变化率的概念;2.了解平均变化率的几何意义;3.会求函数在某点处附近的平均变化率.教学重点：平均变化率的概念、函数在某点处附近的平均变化率.教学难点：平均变化率的概念.教学过程：一、学习背景(2)你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？(二)平均变化率概念1.上述问题中的变化率可用式子f(x2)-f(x1)12212.若设dx=x-x,df=f(x)-f(x)(这里dx看作是对于x的一个“增量”可用x+dx代替x,同样2121112df

2、=dy=f(x)-f(x)21dff(x)-f(x)f(x+dx)-f(x)211121dx思考:观察函数f(x)的图象dx=为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现象,在数学中引入了函数,随着对函数的研究,产生了微积分,微积分的创立以自然科学中四类问题的处理直接相关:平均变化率dff(x)-f(x)21x-x21表示什么?dx=一、已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体在任意时刻的速度与加速度等;二、求曲线的切线;三、求已知函数的最大值与最小值;四、求长度、面积、体积和重心等.导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最大(小)值等问题最一般、最有效的工具.导数研究的问题即变化

3、率问题:研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度.二、新课学习(一)问题提出问题1气球膨胀率我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.三、典例分析例1已知函数f(x)=-x2+x的图象上的一点a(-1,-2)及临近一点b(-1+dx,-2+dy)则dy.从数学角度,如何描述这种现象呢?分析：(1)当v从0增加到1时,气球半径增加了h解:气球的平均膨胀率为(2)当v从1增加到2时,气球半径增加了气球的平均膨胀率为可以看出：思考:当空气容量从v1增加到v2时,气球的平均膨胀率是多少?问题2高台跳水ot在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h

4、(单位:m)与起跳后的时间t(单位:s)存在函数关系h(t)=-4.9t2+6.5t+10.如何用运动员在某些时间段内的平均速v度粗略地描述其运动状态?思考计算:0t0.5和1t2的平均速度v例2求y=x2在x=x附近的平均变化率.0解:四、课堂练习1.质点运动规律为s=t2+3,则在时间(3,3+dt)中相应的平均速度为.2.物体按照s(t)=3t2+t+4的规律作直线运动,求在4s附近的平均变化率.3.过曲线y=f(x)=x3上两点p(1,1)和q(1+dx,1+dy)作曲线的割线,求出当dx=0.1时割线的斜率.五、课堂反馈1设函数y=f(x)，当自变量x由x改变到x+dx时，函数的改变

5、量dy为（00）af(x+dx)bf(x)+dxcf(x)dxdf(x+dx)-f(x00000)探究:计算运动员在0t6549这段时间里的平均速度,并思考以下问题:(1)运动员在这段时间内是静止的吗？2一质点运动的方程为s=1-2t2，则在一段时间1,2内的平均速度为（a4b8c6d6）4在曲线y=x2+1的图象上取一点（1,2）及附近一点(1+dx,2+dy)，则dy3将半径为r的球加热，若球的半径增加dr，则球的表面积增加ds等于（）a8prdrb8prdr+4p(dr)2c4prdr+4p(dr)2d4p(dr)2dx为（）学习目标：1.了解瞬时速度、瞬时变化率的概念;2.理解导数的概

6、念,知道瞬时变化率就是导数,体会导数的思想及其内涵;3.会求函数在某点的导数.dx+2dx-2adx+1bdx-1cdx+2d2+dx-1dx教学重点：瞬时速度、瞬时变化率的概念、导数的概念.49这段时间里，平均速度是0m/s49时间段内，上升的速度越来越慢d运动员在1,2内的平均速度比在2,3的平均速度小c运动员在0,探究:计算运动员在0t655在高台跳水运动中，若运动员离水面的高度h（单位：m）与起跳后时间t（单位：s）的函数关系是th()=-4.9t2+6.5t+10，则下列说法不正确的是（）a在0t1这段时间里，平均速度是1.6m/sb在0t6565t6函数y=f(x)的平均变化率的物

7、理意义是指把y=f(x)看成物体运动方程时，在区间,t内的12教学难点：导数的概念.学习过程：一、创设情景h(一)平均变化率：(二)探究49这段时间里的平均速度,并思考以下问题:(1)运动员在这段时间内是静止的吗？7函数y=f(x)的平均变化率的几何意义是指函数y=f(x)图象上两点p(x,f(x111)、p(x22,f(x2)连线的(2)你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？探究过程:ot9正弦函数y=sinx在区间0,和,的平均变化率哪一个较大？8函数y=3x2-2x-8在x=3处有增量dx=0.5，则f(x)在x到x+dx上的平均变化率是111ppp63210甲、乙两人跑步路

8、程与时间关系以及百米赛跑路程与时间关系分别如图（1）（2）所示，试问：（1）甲、乙两人哪一个跑得较快？（2）甲、乙两人百米赛跑，问接近终点时，谁跑得较快？二、学习新知1.瞬时速度我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度.运动员的平均速度不能反映他在某一时刻的瞬时速度,那么,如何求运动员的瞬时速度呢？比如,t=2时的瞬时速度是多少？考察t=2附近的情况:11一水库的蓄水量与时间关系如图所示，试指出哪一段时间（以两个月计）蓄水效果最好？哪一段时间蓄水效果最差？思考:当dt趋近于0时,平均速度v有什么样的变化趋势？结论:limf(x+dx)-f(x)dx=limx=x0dxdx0t12在受到制动后的t

9、秒内一个飞轮上一点p旋转过的角度（单位：孤度）由函数j()=4t-0.3t2（单位：秒）给出（1）求t2秒时，p点转过的角度（2）求在2t2+dt时间段内p点转过的平均角速度，其中dt=1，dt=0.1dt=0.01小结:2.导数的概念从函数y=f(x)在x=x处的瞬时变化率是:0df00dx0dx0dx我们称它为函数y=f(x)在x=x出的导数,记作f(x)或y|00f(x+dx)-f(x)即f(x)=lim000dx0x-x.说明:(1)导数即为函数y=f(x)在x=x处的瞬时变化率;0(2)dx=x-x,当dx0时,xx,所以f(x)=lim000f(x)-f(x)001.1.2导数的概

10、念三、典例分析例1(1)求函数y=3x2在x=1处的导数.(2)求函数f(x)=-x2+x在x=-1附近的平均变化率,并求出该点处的导数.a0b3c2d3-2tx，在x=1处的导数是分析:先求df=dy=f(x+dx)-f(x),再求00解:(1)(2)dydx0dx,最后求limdydx.5函数y=x+16y=x3-1，当x=2时，limdy=dxdx07设圆的面积为a，半径为r，求面积a关于半径r的变化率。8（1）已知f(x)在x=x处的导数为a,求lim0dx0（2）若f(x0)=2,求limf(x0-h)-f(x0+h)的值.hh0f(x-dx)-f(x)00dx及limf(x0-2d

11、x)-f(x0)的值。dxdx0例2将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品,需要对原油进行冷却和加热,如果第xh时,原油的温度(单位:oc)为f(x)=x2-7x+15(0x8),计算第2h时和第6h时,原油温度的瞬时变化率,并说明它们的意义.解:注:一般地,f(x)反映了原油温度在时刻x附近的变化情况.00四、课堂练习1.质点运动规律为s=t2+3,求质点在t=3的瞬时速度为.2.求曲线y=f(x)=x3在x=1时的导数.3.例2中,计算第3h时和第5h时,原油温度的瞬时变化率,并说明它们的意义.五、课堂反馈1自变量由x变到x时，函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数（）01a在区间x

12、,x上的平均变化率b在x处的变化率c在x处的变化率d在区间x,x上的导数0101012下列各式中正确的是（）9枪弹在枪筒中运动可以看作匀速运动，如果它的加速度是a=5105m/s2，枪弹从枪口，射出的时间为1.610-3s，求枪弹射出枪口时的瞬时速度。dxbf(x0)=limay|x=x0=limdx0f(x-dx)-f(x)00dx0f(x-dx)-f(dx)0dxcy|dxdf(x00x=x0=limdx0f(x+dx)+f(x)0)=limf(x0)-f(x0-dx)dxdx03设f(x)=ax+4，若f(1)=2，则a的值（）a2b.2c3d34任一做直线运动的物体，其位移s与时间t的

13、关系是s=3t-t2，则物体的初速度是（）1.1.3导数的几何意义学习目标：1.了解平均变化率与割线斜率之间的关系;dx.2.理解曲线的切线的概念;3.通过函数的图像直观地理解导数的几何意义,并会用导数的几何意义解题.教学重点：曲线的切线的概念、切线的斜率、导数的几何意义.教学难点：导数的几何意义.学习过程：一、创设情景(一)平均变化率、割线的斜率(二)瞬时速度、导数我们知道,导数表示函数y=f(x)在x=x处的瞬时变化率,反映了函数y=f(x)在x=x附近的变化情况,00导数f(x)的几何意义是什么呢？0二、学习新知(一)曲线的切线及切线的斜率如图,当p(x,f(x)(n=1,2,3,4)沿

14、着曲线f(x)趋近于点p(x,f(x)时,割线pp的变化趋势是什么？nnn00n我们发现:(三)导函数由函数y=f(x)在x=x处求导数的过程可以看到,当x=x时,f(x)是一个确定的数,那么,当x变化时,000便是x的一个函数,我们叫它为f(x)的导函数.记作:f(x)或y,即f(x)=y=limf(x+dx)-f(x)dx0注:在不致发生混淆时,导函数也简称导数.(四)函数f(x)在点x处的导数f(x)、导函数f(x)、导数之间的区别与联系00(1)(2)(3)三、典例分析例1(1)求曲线y=f(x)=x2+1在点p(1,2)处的切线方程.(2)求函数y=3x2在点(1,3)处的导数.解:

15、例2如图3.1-3,它表示跳水运动中高度随时间变化的函数h(x)=-4.9x2+6.5x+10,根据图像,请描述、比较曲线h(t)在t、t、t附近的变化情况.012解:dx=kdx0问题:(1)割线pp的斜率k与切线pt的斜率k有什么关系？nn(2)切线pt的斜率k为多少？说明:(1)设切线的倾斜角为a,那么当dx0时,割线pq的斜率,称为曲线在点p处的切线的斜率.这个概念:提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法;切线斜率的本质函数在x=x处的导数.0(2)曲线在某点处的切线:1)与该点的位置有关;2)要根据割线是否有极限位置来判断与求解.如有极限,则在此点有切线,且切线是唯一的;如不存在,则

16、在此点处无切线;3)曲线切线,并不一定与曲线只有一个交点,可以有多个,甚至可以无穷多.(二)导数的几何意义函数y=f(x)在x=x处的导数等于在该点(x,f(x)处的切线的斜率,000f(x+dx)-f(x)即f(x)=lim000说明:求曲线在某点处的切线方程的基本步骤:例3如图3.1-4,它表示人体血管中药物浓度c=f(t)(单位:mg/ml)随时间t(单位:min)变化的图象.根据图像,估计t=0.2,0.4,0.6,0.8时,血管中药物浓度的瞬时变化率(精确到0.1).a2b1c12d2解:下表给出了药物浓度瞬时变化率的估计值:t0.20.40.60.8药物浓度瞬时变化率f(t)0.4

17、0-0.7-1.4四、课堂练习1.求曲线y=f(x)=x3在点(1,1)处的切线.2.求曲线y=x在点(4,2)处的切线.五、课堂反馈1曲线y=x2在x=0处的（）a切线斜率为1b切线方程为y=2xc没有切线d切线方程为y=02已知曲线y=2x2上的一点a（2，8），则点a处的切线斜率为（）a4b16c8d23函数y=f(x)在x=x处的导数f/(x)的几何意义是（）00a在点x=x处的函数值b在点(x,f(x)处的切线与x轴所夹锐角的正切值000c曲线y=f(x)在点(x,f(x)处的切线的斜率00d点(x,f(x)与点（0，0）连线的斜率004已知曲线y=x3上过点（2，8）的切线方程为12x-ax-16=0，则实数a的值为（）a1b1c2d27已知曲线y=x2-1上的两点a（2，3），b(2+dx,3+dy)，当dx=1时，割线ab的斜率是_，当dx=0.1时，割线ab的斜率是_，曲线在点a处的切线方程是_。8如果函数f(x)在x=x处的切线的